[고전역학] 11. 만유인력(2: 중력 위치 에너지)

[고전역학] 11. 만유인력(2: 중력 위치 에너지)

질량이 \(M\)인 입자가 중력장 안에서 정해진 경로를 따라 질량이 \(m\)인 시험 입자를 움직이는데 필요한 일을 \(W\)라고 하자.(아래 그림 참고)

시험 입자에 작용하는 힘은 \(\displaystyle\mathbf{F}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}\)이므로 시험 입자에 그 반대방향의 힘 \(-\mathbf{F}\)가 작용되어야 한다. 그러므로$$dW=-\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}\cdot d\mathbf{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}dr$$이고 따라서$$W=\int_{r_{1}}^{r_{2}}{G\frac{Mm}{r^{2}}dr}=-GMm\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right)$$(\(r_{1},\,r_{2}\)는 질량이 \(M\)인 입자에서 경로의 각 끝점까지의 거리)이다. 

이 위치에너지는 시험 입자를 임의의 기준점 \(r_{1}\)에서 \(r_{2}\)까지 움직이는데 쓴 일로 정의할 수 있다. 기준점을 무한대(\(r_{1}=\infty,\,r_{2}=r\))로 하면, 두 입자가 무한대 거리만큼 떨어져 있을 때는 중력이 없어지기 때문에$$V(r)=\int_{\infty}^{r}{G\frac{Mm}{s^{2}}ds}=-G\frac{Mm}{r}$$이다.

장(field)의 개념을 도입해 힘과 위치에너지는 원거리 작용이 아닌 기존의 장 내부에서 물체의 국소적 작용으로 인해 일어난다고 할 수 있다. 이를 위해 중력 퍼텐셜(gravitational potential) \(\Phi\)를 다음과 같이 정의하자.$$\Phi=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\frac{V}{m}}$$\(\Phi\)는 단위 질량당 중력 퍼텐셜 에너지이다. 극한 \(m\,\rightarrow\,\infty\)을 취하는 이유는 정의하고자 하는 물리량이 시험 입자와 독립적이기 위해서이다. 장이 존재하는지 확인하려면 질량이 \(m\)인 시험입자를 점 \((x,\,y,\,z)\)에 놓는다. 그러면 그 시험입자의 위치에너지는$$V(x,\,y,\,z)=m\Phi(x,\,y,\,z)$$이다.

질량이 \(M\)인 입자에서 \(r\)만큼 떨어진 지점의 중력 퍼텐셜은$$\Phi=-G\frac{M}{r}$$이고, 질량이 \(M_{1},\,\cdots,\,M_{i},\,\cdots\)인 입자가 각각 \(\mathbf{r}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{r}_{i},\,\cdots\)인 지점에 놓여있을 때의 임의의 점 \(\mathbf{r}(x,\,y,\,z)\)에서의 중력 퍼텐셜은$$\Phi(x,\,y,\,z)=\sum{\Phi_{i}}=-G\sum{\frac{M_{i}}{s_{i}}}\,(s_{i}=|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}|)$$이다.

앞에서 중력 퍼텐셜을 정의했듯이 중력장의 세기(gravitational field intensity)를$$\mathbf{g}=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\mathbf{F}}{m}}$$으로 정의할 수 있고, 따라서 중력장은 점 \((x,\,y,\,z)\)에 놓여 있는 입자에 작용하는 단위 질량당 중력이다. 어떤 입자가 중력 \(\mathbf{F}=m\mathbf{g}\)을 받으면, \(\mathbf{g}\)가 존재하게 하는 물질이 주위에 존재한다.

장의 세기와 퍼텐셜의 관계는 다음과 같다.$$\mathbf{g}=-\nabla\Phi\,(\mathbf{F}=-\nabla V)$$

균일한 질량 분포를 갖는 구 껍질의 퍼텐셜을 구하면

\(dM=2\pi\rho R^{2}\sin\theta d\theta,\,rR\sin\theta d\theta=sds\,(s^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta)\)이므로$$\begin{align*}\Phi&=-G\int{\frac{dM}{s}}\\&=-G\frac{2\pi\rho R^{2}}{rR}\int_{r-R}^{r+R}{ds}\\&=-\frac{GM}{r}\end{align*}$$이다.

질량이 \(M\)이고 반지름이 \(R\)인 가느다란 고리의 퍼텐셜과 중력장을 구하자.

고리의 선밀도를 \(\mu\)라고 하면 \(dM=\mu Rd\theta\)이므로 고리 중심에서의 퍼텐셜은$$\Phi=-G\int_{0}^{2\pi}{\frac{\mu R}{s}d\theta}$$이고 \(s^{2}=R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta\)이므로$$\begin{align*}\Phi&=-2R\mu G\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta}}d\theta}\\&=-\frac{2R\mu G}{r}\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{R^{2}}{r^{2}}-2\frac{R}{r}\cos\theta}}d\theta}\end{align*}$$이 적분에서 \(r>R\)인 경우, 피적분 함수를 \(\displaystyle x^{2}-2x\cos\theta\left(x=\frac{R}{r}\right)\)의 멱급수로 전개하면$$\begin{align*}\Phi&=-2x\mu G\int_{0}^{\pi}{\left\{1-\frac{1}{2}\left(x^{2}-2x\cos\theta\right)+\frac{3}{8}\left(x^{2}-2x\cos\theta\right)^{2}+\cdots\right\}d\theta}\\&=-2x\mu G\int_{0}^{\pi}{\left(1-\frac{1}{2}x^{2}+x\cos\theta+\frac{3}{2}x^{2}\cos^{2}\theta-\frac{3}{2}x^{3}\cos\theta+\frac{3}{8}x^{4}+\cdots\right)d\theta}\end{align*}$$이고, \(x^{3}\)이상의 항들을 무시하면$$\begin{align*}\Phi&=-2x\mu G\left(\pi+\frac{x^{2}}{4}\pi+\cdots\right)\\&=-\frac{2\pi R\mu G}{r}\left(1+\frac{R^{2}}{4r^{2}}+\cdots\right)\\&=-\frac{GM}{r}\left(1+\frac{R^{2}}{4r^{2}}+\cdots\right)\end{align*}$$이므로$$\mathbf{g}=-\frac{\partial\Phi}{\partial r}\mathbf{e}_{r}=-\frac{GM}{r^{2}}\left(1+\frac{3}{4}\left(\frac{R}{r}\right)^{2}+\cdots\right)\mathbf{e}_{r}$$이다. 이 중력장은 제곱의 역수에 반비례하는 형태가 아니나 \(r\gg R\)이면, 위 식의 괄호속 항은 \(1\)에 가까워져서 제곱의 역수에 반비례한다고 할 수 있게 된다.

고리 중심 부근에서의 퍼텐셜은 \(r<R\)인 경우이므로 피적분함수를 \(\displaystyle x=\frac{r}{R}\)로 나타내어 멱급수 전개하면$$\begin{align*}\Phi&=-\frac{GM}{R}\left(1+\frac{r^{2}}{4R^{2}}+\cdots\right)\\ \mathbf{g}&=\frac{GM}{2R^{3}}\mathbf{e}_{r}+\cdots\end{align*}$$이다.

등방성의 중심력장은$$\mathbf{F}=f(r)\mathbf{e}_{r}$$(\(\mathbf{e}_{r}\)은 단위 반지름 벡터)의 형태로 나타낼 수 있고$$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{e}_{r}&\mathbf{e}_{\theta}r&\mathbf{e}_{\phi}r\sin\theta\\ \frac{\partial}{\partial r}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial\phi}\\F_{r}&rF_{\theta}&rF_{\phi}\sin\theta\end{matrix}\right|=\frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\phi}-\frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}=\mathbf{0}$$이므로 중심력장은 보존장이고 위치에너지는$$V(r)=-\int_{r_{\text{ref}}}^{r}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=-\int_{r_{\text{ref}}}^{r}{f(r)dr}$$(\(r_{\text{ref}}\)는 위치에너지가 \(0\)이 되는 점에서의 \(r\)값, 보통 무한대의 값을 갖는다)이며$$f(r)=-\frac{dV(r)}{dr}$$이다.

극좌표계에서$$\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}$$이고, 중심력은 보존력이므로$$E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})+V(r)$$은 상수이다. 여기서 \(\displaystyle u=\frac{1}{r}\)라고 하면$$E=\frac{1}{2}ml^{2}\left\{\left(\frac{du}{d\theta}\right)^{2}+u^{2}\right\}+V\left(\frac{1}{u}\right)$$로 나타낼 수 있고, 이 방정식을 궤도의 에너지 방정식(energy equation of the orbit)라고 한다.

거리의 제곱에 반비례하는 힘에 대한 위치에너지는$$V(r)=-\frac{k}{r}=-ku$$이므로 궤도의 에너지 방정식$$\frac{1}{2}ml^{2}\left\{\left(\frac{du}{d\theta}\right)^{2}+u^{2}\right\}-ku=E$$로부터$$\left(\frac{du}{d\theta}\right)+u^{2}=\frac{2E}{ml^{2}}+\frac{2ku}{ml^{2}}$$이고$$\frac{du}{d\theta}=\sqrt{\frac{2E}{m;^{2}}+\frac{2ku}{ml^{2}}-u^{2}}$$를 얻는다. 변수분리법을 이용하면$$d\theta=\frac{1}{\sqrt{\frac{2E}{ml^{2}}+\frac{2ku}{ml^{2}}-u^{2}}}du$$이고 다음의 적분공식$$\int{\frac{1}{\sqrt{au^{2}+bu+c}}du}=\frac{1}{\sqrt{-a}}\cos^{-1}\left(-\frac{b+2au}{\sqrt{b^{2}-4ac}}\right)$$을 이용하여 전개하면$$\frac{1}{r}=\frac{k}{ml^{2}}\left\{\sqrt{1+\frac{2Eml^{2}}{k}}\cos(\theta-\theta_{0})+1\right\}$$을 얻고 따라서$$r=\frac{\frac{ml^{2}}{k}}{1+\sqrt{1+\frac{2Eml^{2}}{k^{2}}\cos(\theta-\theta_{0})}}$$이다. 이 곡선의 이심률은$$\epsilon=\sqrt{1+\frac{2Eml^{2}}{k^{2}}}$$이고 \(\displaystyle\alpha=\frac{ml^{2}}{k}=(1-\epsilon^{2})a\)이므로$$-\frac{2E}{k}=\frac{1-\epsilon^{2}}{\alpha}=\frac{1}{a}$$이고$$E=-\frac{k}{2a}$$이다. 따라서

\(E<0,\,\epsilon<1\)이면 닫힌궤도(타원 또는 원)

\(E=0,\,\epsilon=1\)이면 포물선 궤도

\(E>0,\,\epsilon>1\)이면 쌍곡선 궤도

이고 \(E=T+V\)는 일정하므로 닫힌궤도의 경우는 \(T<|V|\), 열린궤도(포물선, 쌍곡선 궤도)의 경우 \(T\geq|V|\)이다.

등방성 중심력장에서 움직이는 입자의 각운동량은 등속운동이므로 일반적인 에너지 방정식은$$E=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^{2}+\frac{l^{2}}{r^{2}}\right)+V(r)$$이고$$E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+U(r)\,\left(U(r)=\frac{ml^{2}}{2r^{2}}+V(r)\right)$$로 나타낼 수 있다. 여기서 \(U(r)\)은 유효 위치에너지(effective potential energy)라고 하고, \(\displaystyle\frac{ml^{2}}{2r^{2}}\)는 원심 위치에너지(centrifugal potential energy)라고 한다. 반지름 방향 운동의 전향점은 \(\dot{r}=0\)일 때의 \(r\)값이다. 그러면 이 \(r\)값은 방정식$$U(r)-E=\frac{ml^{2}}{2r^{2}}+V(r)-E=0$$의 해가 되고 허용 범위는 \(U(r)\leq E\)이다.

위 그래프는 \(\displaystyle U(r)=\frac{ml^{2}}{2r^{2}}-\frac{k}{r}\)의 그래프이고 \(U(r)=E\)의 해는 다음의 2차방정식$$-2Er^{2}-2kr+ml^{2}=0$$의 해이고, 그 해는$$r=\frac{k\pm\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}}{-2E}$$이다.

\(E<0\)일 때 궤도에 속박되어 있고, 그 궤도는 근지점이 \(\displaystyle r=\frac{k-\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}}{-2E}\)이고, 원지점이 \(\displaystyle r=\frac{k+\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}}{-2E}\)인 타원이다.

\(\displaystyle E=-\frac{k^{2}}{2ml^{2}}\)(가장 낮은 에너지)일 때 궤도는 원궤도이고 \(\displaystyle r=-\frac{k}{2E}\)이다.

\(E\geq0\)일 때 \(\displaystyle r=\frac{\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}-k}{2E}\)이고, \(E=0\)이면 포물선, \(E>0\)이면 쌍곡선이다.(아래 그림 참고)

인력형 중심력장에서 원형궤도는 가능하나 모든 중심력장이 안정한 원형궤도를 만드는 것은 아니다. 운동방정식 \(m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})=f(r)\)에서 \(\displaystyle\dot{\theta}=\frac{l}{r^{2}}\)이므로 반지름 방향 방정식은$$m\ddot{r}=\frac{ml^{2}}{r^{3}}+f(r)$$이다. 원궤도에 대해서 \(r\)은 상수이고 \(\ddot{r}=0\)이므로 원궤도의 반지름을 \(a\)라고 하면 \(r=a\)에서의 힘은$$-\frac{ml^{2}}{a^{3}}=f(a)$$이다. 반지름 방향의 운동을 나타내기 위해 \(x=r-a\)라고 하자, 그러면$$\begin{align*}m\ddot{x}&=\frac{ml^{2}}{(x+a)^{3}}+f(x+a)\\&=\frac{ml^{2}}{a^{3}}\left(1-3\frac{x}{a}+\cdots\right)+\{f(a)+f'(a)x+\cdots\}\end{align*}$$이고 \(x^{2}\)이상의 항을 무시하고 \(\displaystyle-\frac{ml^{2}}{a^{3}}=f(a)\)를 대입하면$$m\ddot{x}+\left\{\frac{-3}{a}f(a)-f'(a)\right\}=0$$이다.

\(\displaystyle-\frac{3}{a}f(a)-f'(a)>0\)이면, 위 방정식은 단조화 진동자와 같게 되고, \(r=a\)인 원 주위에서 조화운동을 하며 원궤도는 안정하다.

\(\displaystyle-\frac{3}{a}f(a)-f'(a)<0\)이면, 반지름 방향으로 진동이 없어져서 \(x\)는 시간이 지나면서 무한대가 된다(불안정한 궤도).

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning