[고전역학] 11. 만유인력(2: 중력 위치 에너지)

[고전역학] 11. 만유인력(2: 중력 위치 에너지)

질량이 $M$인 입자가 중력장 안에서 정해진 경로를 따라 질량이 $m$인 시험 입자를 움직이는데 필요한 일을 $W$라고 하자.(아래 그림 참고)

시험 입자에 작용하는 힘은 $\displaystyle\mathbf{F}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}$이므로 시험 입자에 그 반대방향의 힘 $-\mathbf{F}$가 작용되어야 한다. 그러므로 $$dW=-\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}\cdot d\mathbf{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}dr$$ 이고 따라서 $$W=\int_{r_{1}}^{r_{2}}{G\frac{Mm}{r^{2}}dr}=-GMm\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right)$$ ($r_{1},\,r_{2}$는 질량이 $M$인 입자에서 경로의 각 끝점까지의 거리)이다. 

이 위치에너지는 시험 입자를 임의의 기준점 $r_{1}$에서 $r_{2}$까지 움직이는데 쓴 일로 정의할 수 있다. 기준점을 무한대($r_{1}=\infty,\,r_{2}=r$)로 하면, 두 입자가 무한대 거리만큼 떨어져 있을 때는 중력이 없어지기 때문에 $$V(r)=\int_{\infty}^{r}{G\frac{Mm}{s^{2}}ds}=-G\frac{Mm}{r}$$ 이다.

장(field)의 개념을 도입해 힘과 위치에너지는 원거리 작용이 아닌 기존의 장 내부에서 물체의 국소적 작용으로 인해 일어난다고 할 수 있다. 이를 위해 중력 퍼텐셜(gravitational potential) $\Phi$를 다음과 같이 정의하자. $$\Phi=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\frac{V}{m}}$$ $\Phi$는 단위 질량당 중력 퍼텐셜 에너지이다. 극한 $m\,\rightarrow\,\infty$을 취하는 이유는 정의하고자 하는 물리량이 시험 입자와 독립적이기 위해서이다. 장이 존재하는지 확인하려면 질량이 $m$인 시험입자를 점 $(x,\,y,\,z)$에 놓는다. 그러면 그 시험입자의 위치에너지는 $$V(x,\,y,\,z)=m\Phi(x,\,y,\,z)$$ 이다.

질량이 $M$인 입자에서 $r$만큼 떨어진 지점의 중력 퍼텐셜은 $$\Phi=-G\frac{M}{r}$$ 이고, 질량이 $M_{1},\,\cdots,\,M_{i},\,\cdots$인 입자가 각각 $\mathbf{r}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{r}_{i},\,\cdots$인 지점에 놓여있을 때의 임의의 점 $\mathbf{r}(x,\,y,\,z)$에서의 중력 퍼텐셜은 $$\Phi(x,\,y,\,z)=\sum{\Phi_{i}}=-G\sum{\frac{M_{i}}{s_{i}}}\,(s_{i}=|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}|)$$ 이다.

앞에서 중력 퍼텐셜을 정의했듯이 중력장의 세기(gravitational field intensity)를 $$\mathbf{g}=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\mathbf{F}}{m}}$$ 으로 정의할 수 있고, 따라서 중력장은 점 $(x,\,y,\,z)$에 놓여 있는 입자에 작용하는 단위 질량당 중력이다. 어떤 입자가 중력 $\mathbf{F}=m\mathbf{g}$을 받으면, $\mathbf{g}$가 존재하게 하는 물질이 주위에 존재한다.

장의 세기와 퍼텐셜의 관계는 다음과 같다. $$\mathbf{g}=-\nabla\Phi\,(\mathbf{F}=-\nabla V)$$

균일한 질량 분포를 갖는 구 껍질의 퍼텐셜을 구하면

$dM=2\pi\rho R^{2}\sin\theta d\theta,\,rR\sin\theta d\theta=sds\,(s^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta)$이므로 $$\begin{align*}\Phi&=-G\int{\frac{dM}{s}}\\&=-G\frac{2\pi\rho R^{2}}{rR}\int_{r-R}^{r+R}{ds}\\&=-\frac{GM}{r}\end{align*}$$ 이다.

질량이 $M$이고 반지름이 $R$인 가느다란 고리의 퍼텐셜과 중력장을 구하자.

고리의 선밀도를 $\mu$라고 하면 $dM=\mu Rd\theta$이므로 고리 중심에서의 퍼텐셜은 $$\Phi=-G\int_{0}^{2\pi}{\frac{\mu R}{s}d\theta}$$ 이고 $s^{2}=R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta$이므로 $$\begin{align*}\Phi&=-2R\mu G\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta}}d\theta}\\&=-\frac{2R\mu G}{r}\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{R^{2}}{r^{2}}-2\frac{R}{r}\cos\theta}}d\theta}\end{align*}$$ 이 적분에서 $r>R$인 경우, 피적분 함수를 $\displaystyle x^{2}-2x\cos\theta\left(x=\frac{R}{r}\right)$의 멱급수로 전개하면 $$\begin{align*}\Phi&=-2x\mu G\int_{0}^{\pi}{\left\{1-\frac{1}{2}\left(x^{2}-2x\cos\theta\right)+\frac{3}{8}\left(x^{2}-2x\cos\theta\right)^{2}+\cdots\right\}d\theta}\\&=-2x\mu G\int_{0}^{\pi}{\left(1-\frac{1}{2}x^{2}+x\cos\theta+\frac{3}{2}x^{2}\cos^{2}\theta-\frac{3}{2}x^{3}\cos\theta+\frac{3}{8}x^{4}+\cdots\right)d\theta}\end{align*}$$ 이고, $x^{3}$이상의 항들을 무시하면 $$\begin{align*}\Phi&=-2x\mu G\left(\pi+\frac{x^{2}}{4}\pi+\cdots\right)\\&=-\frac{2\pi R\mu G}{r}\left(1+\frac{R^{2}}{4r^{2}}+\cdots\right)\\&=-\frac{GM}{r}\left(1+\frac{R^{2}}{4r^{2}}+\cdots\right)\end{align*}$$ 이므로 $$\mathbf{g}=-\frac{\partial\Phi}{\partial r}\mathbf{e}_{r}=-\frac{GM}{r^{2}}\left(1+\frac{3}{4}\left(\frac{R}{r}\right)^{2}+\cdots\right)\mathbf{e}_{r}$$ 이다. 이 중력장은 제곱의 역수에 반비례하는 형태가 아니나 $r\gg R$이면, 위 식의 괄호속 항은 $1$에 가까워져서 제곱의 역수에 반비례한다고 할 수 있게 된다.

고리 중심 부근에서의 퍼텐셜은 $r<R$인 경우이므로 피적분함수를 $\displaystyle x=\frac{r}{R}$로 나타내어 멱급수 전개하면 $$\begin{align*}\Phi&=-\frac{GM}{R}\left(1+\frac{r^{2}}{4R^{2}}+\cdots\right)\\ \mathbf{g}&=\frac{GM}{2R^{3}}\mathbf{e}_{r}+\cdots\end{align*}$$ 이다.

등방성의 중심력장은 $$\mathbf{F}=f(r)\mathbf{e}_{r}$$ ($\mathbf{e}_{r}$은 단위 반지름 벡터)의 형태로 나타낼 수 있고 $$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{e}_{r}&\mathbf{e}_{\theta}r&\mathbf{e}_{\phi}r\sin\theta\\ \frac{\partial}{\partial r}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial\phi}\\F_{r}&rF_{\theta}&rF_{\phi}\sin\theta\end{matrix}\right|=\frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\phi}-\frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}=\mathbf{0}$$ 이므로 중심력장은 보존장이고 위치에너지는 $$V(r)=-\int_{r_{\text{ref}}}^{r}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=-\int_{r_{\text{ref}}}^{r}{f(r)dr}$$ ($r_{\text{ref}}$는 위치에너지가 $0$이 되는 점에서의 $r$값, 보통 무한대의 값을 갖는다)이며 $$f(r)=-\frac{dV(r)}{dr}$$ 이다.

극좌표계에서 $$\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}$$ 이고, 중심력은 보존력이므로 $$E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})+V(r)$$ 은 상수이다. 여기서 $\displaystyle u=\frac{1}{r}$라고 하면 $$E=\frac{1}{2}ml^{2}\left\{\left(\frac{du}{d\theta}\right)^{2}+u^{2}\right\}+V\left(\frac{1}{u}\right)$$ 로 나타낼 수 있고, 이 방정식을 궤도의 에너지 방정식(energy equation of the orbit)라고 한다.

거리의 제곱에 반비례하는 힘에 대한 위치에너지는 $$V(r)=-\frac{k}{r}=-ku$$ 이므로 궤도의 에너지 방정식 $$\frac{1}{2}ml^{2}\left\{\left(\frac{du}{d\theta}\right)^{2}+u^{2}\right\}-ku=E$$ 로부터 $$\left(\frac{du}{d\theta}\right)+u^{2}=\frac{2E}{ml^{2}}+\frac{2ku}{ml^{2}}$$ 이고 $$\frac{du}{d\theta}=\sqrt{\frac{2E}{m;^{2}}+\frac{2ku}{ml^{2}}-u^{2}}$$ 를 얻는다. 변수분리법을 이용하면 $$d\theta=\frac{1}{\sqrt{\frac{2E}{ml^{2}}+\frac{2ku}{ml^{2}}-u^{2}}}du$$ 이고 다음의 적분공식 $$\int{\frac{1}{\sqrt{au^{2}+bu+c}}du}=\frac{1}{\sqrt{-a}}\cos^{-1}\left(-\frac{b+2au}{\sqrt{b^{2}-4ac}}\right)$$ 을 이용하여 전개하면 $$\frac{1}{r}=\frac{k}{ml^{2}}\left\{\sqrt{1+\frac{2Eml^{2}}{k}}\cos(\theta-\theta_{0})+1\right\}$$ 을 얻고 따라서 $$r=\frac{\frac{ml^{2}}{k}}{1+\sqrt{1+\frac{2Eml^{2}}{k^{2}}\cos(\theta-\theta_{0})}}$$ 이다. 이 곡선의 이심률은 $$\epsilon=\sqrt{1+\frac{2Eml^{2}}{k^{2}}}$$ 이고 $\displaystyle\alpha=\frac{ml^{2}}{k}=(1-\epsilon^{2})a$이므로 $$-\frac{2E}{k}=\frac{1-\epsilon^{2}}{\alpha}=\frac{1}{a}$$ 이고 $$E=-\frac{k}{2a}$$ 이다. 따라서

$E<0,\,\epsilon<1$이면 닫힌궤도(타원 또는 원)

$E=0,\,\epsilon=1$이면 포물선 궤도

$E>0,\,\epsilon>1$이면 쌍곡선 궤도

이고 $E=T+V$는 일정하므로 닫힌궤도의 경우는 $T<|V|$, 열린궤도(포물선, 쌍곡선 궤도)의 경우 $T\geq|V|$이다.

등방성 중심력장에서 움직이는 입자의 각운동량은 등속운동이므로 일반적인 에너지 방정식은 $$E=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^{2}+\frac{l^{2}}{r^{2}}\right)+V(r)$$ 이고 $$E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+U(r)\,\left(U(r)=\frac{ml^{2}}{2r^{2}}+V(r)\right)$$ 로 나타낼 수 있다. 여기서 $U(r)$은 유효 위치에너지(effective potential energy)라고 하고, $\displaystyle\frac{ml^{2}}{2r^{2}}$는 원심 위치에너지(centrifugal potential energy)라고 한다. 반지름 방향 운동의 전향점은 $\dot{r}=0$일 때의 $r$값이다. 그러면 이 $r$값은 방정식 $$U(r)-E=\frac{ml^{2}}{2r^{2}}+V(r)-E=0$$ 의 해가 되고 허용 범위는 $U(r)\leq E$이다.

위 그래프는 $\displaystyle U(r)=\frac{ml^{2}}{2r^{2}}-\frac{k}{r}$의 그래프이고 $U(r)=E$의 해는 다음의 2차방정식 $$-2Er^{2}-2kr+ml^{2}=0$$ 의 해이고, 그 해는 $$r=\frac{k\pm\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}}{-2E}$$ 이다.

$E<0$일 때 궤도에 속박되어 있고, 그 궤도는 근지점이 $\displaystyle r=\frac{k-\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}}{-2E}$이고, 원지점이 $\displaystyle r=\frac{k+\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}}{-2E}$인 타원이다.

$\displaystyle E=-\frac{k^{2}}{2ml^{2}}$(가장 낮은 에너지)일 때 궤도는 원궤도이고 $\displaystyle r=-\frac{k}{2E}$이다.

$E\geq0$일 때 $\displaystyle r=\frac{\sqrt{k^{2}+2Eml^{2}}-k}{2E}$이고, $E=0$이면 포물선, $E>0$이면 쌍곡선이다.(아래 그림 참고)

인력형 중심력장에서 원형궤도는 가능하나 모든 중심력장이 안정한 원형궤도를 만드는 것은 아니다. 운동방정식 $m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})=f(r)$에서 $\displaystyle\dot{\theta}=\frac{l}{r^{2}}$이므로 반지름 방향 방정식은 $$m\ddot{r}=\frac{ml^{2}}{r^{3}}+f(r)$$ 이다. 원궤도에 대해서 $r$은 상수이고 $\ddot{r}=0$이므로 원궤도의 반지름을 $a$라고 하면 $r=a$에서의 힘은 $$-\frac{ml^{2}}{a^{3}}=f(a)$$ 이다. 반지름 방향의 운동을 나타내기 위해 $x=r-a$라고 하자, 그러면 $$\begin{align*}m\ddot{x}&=\frac{ml^{2}}{(x+a)^{3}}+f(x+a)\\&=\frac{ml^{2}}{a^{3}}\left(1-3\frac{x}{a}+\cdots\right)+\{f(a)+f'(a)x+\cdots\}\end{align*}$$ 이고 $x^{2}$이상의 항을 무시하고 $\displaystyle-\frac{ml^{2}}{a^{3}}=f(a)$를 대입하면 $$m\ddot{x}+\left\{\frac{-3}{a}f(a)-f'(a)\right\}=0$$ 이다.

$\displaystyle-\frac{3}{a}f(a)-f'(a)>0$이면, 위 방정식은 단조화 진동자와 같게 되고, $r=a$인 원 주위에서 조화운동을 하며 원궤도는 안정하다.

$\displaystyle-\frac{3}{a}f(a)-f'(a)<0$이면, 반지름 방향으로 진동이 없어져서 $x$는 시간이 지나면서 무한대가 된다(불안정한 궤도).

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning