[고전역학] 9. 비관성 기준계(2: 지구의 회전효과, 푸코 진자)

[고전역학] 9. 비관성 기준계(2: 지구의 회전효과, 푸코 진자)

지구는 매일 $360^{\circ}$ 회전하기 때문에 각속도는 $7.27\times10^{-5}\text{rad/s}$이고, 회전 효과는 미미해 보이나 지구의 회전으로 인해 적도 부분이 약간 팽창한다(적도 부위의 지구반지름은 북극보다 13마일 더 길다).

연추선(plumb line)은 지표면에서 수직 방향을 결정하는 선이고 수평면에 수직이나 지구의 회전으로 인해 정확히 지구 중심을 통과하지 않는다.

위 그림은 연추선에 원점을 두고 지표면에 대해 고정된 국소 좌표계를 나타낸 것이다. 이 좌표계의 병진운동은 $$\rho=r_{e}\cos\lambda$$ 인 원주(원기둥)를 따라 일어난다($r_{e}$는 지구반지름, $\lambda$는 연추의 위도). 연추는 국소 좌표계에서 정지해 있으므로 연추의 가속도 $\mathbf{a}=\mathbf{0}$이고 $\mathbf{r}'=\mathbf{0}$이므로 원심력도 $\mathbf{0}$이다. 또한 $\dot{\pmb{\omega}}=\mathbf{0}$이므로 가로 힘도 $\mathbf{0}$이고, $\mathbf{v}'=\mathbf{0}$이므로 코리올리 힘 또한 $\mathbf{0}$이다. 그러면 실제 힘 $\mathbf{F}$와 가속으로 인해 발생하는 관성력 $-m\mathbf{A}_{0}$뿐이고 $$\mathbf{F}-m\mathbf{A}_{0}=\mathbf{0}$$ 이다. 관성력의 방향은 국소 좌표계의 가속 방향과 반대이고 $|-m\mathbf{A}_{0}|=m\omega^{2}r_{e}\cos\lambda$이다. 

연추선에 작용하는 장력 $\mathbf{T}$와 실제 중력 $m\mathbf{g}_{0}$, 관성력 $-m\mathbf{A}_{0}$은 서로 평형을 이룬다고 본다. 즉, $$(\mathbf{T}+m\mathbf{g}_{0})-m\mathbf{A}_{0}=\mathbf{0}$$ 이고 연추가 매달려 있을 때, 장력 $\mathbf{T}$는 국소 중력 $m\mathbf{g}$와 평형을 이루고 있고, 국소 중력 $m\mathbf{g}$는 실제 중력 $m\mathbf{g}_{0}$과 관성력 $-m\mathbf{A}_{0}$의 벡터합이므로 $$m\mathbf{g}=m\mathbf{g}_{0}-m\mathbf{A}_{0}=\mathbf{0}$$ 이고 따라서 $\mathbf{g}=\mathbf{g}_{0}-\mathbf{A}_{0}$이다. 실제 중력 $m\mathbf{g}_{0}$는 지구 중심으로 향하고, 관성력 $-m\mathbf{A}_{0}$는 지구 축에서 멀어지는 방향이여서 연추선의 방향은 지구 중심 방향에서 각도 $\epsilon$만큼 벌어진다. 위의 오른쪽 그림에서 사인법칙을 적용하면 $$\frac{\sin\epsilon}{m\omega^{2}r_{e}\cos\lambda}=\frac{\sin\epsilon}{|-m\mathbf{A}_{0}|}=\frac{\sin\lambda}{mg}$$ 이고 $\epsilon$이 작으므로 $$\sin\epsilon\approx\epsilon=\frac{\omega^{2}r_{e}}{g}\cos\lambda\sin\lambda=\frac{\omega^{2}r_{e}}{2g}\sin2\lambda$$ 이다.

지구 표면에서 포사체의 운동

지구 표면에서의 포사체의 운동방정식은 $$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}+m\mathbf{g}-2m\pmb{\omega}\times\dot{\mathbf{r}}-m\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')\,(\mathbf{g}=\mathbf{g}_{0}-\mathbf{A}_{0})$$ 이고 $\mathbf{F}$는 중력 이외에 작용하는 실제의 힘들이다. 이때 공기저항을 무시하면 $\mathbf{F}=\mathbf{0}$이고, $-m\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')$은 크기가 아주 작기 때문에 무시할 수 있다. 그러면 운동방정식에는 중력과 코리올리힘만 남게 된다. $$m\ddot{\mathbf{r}}=m\mathbf{g}-2m\pmb{\omega}\times\dot{\mathbf{r}}$$ 이 방정식을 풀기 위해 아래 그림처럼 좌표계를 정한다.

그러면 중력가속도는 $$\mathbf{g}=-g\mathbf{k}$$ 이고 $$\omega_{x'}=0,\,\omega_{y'}=\omega\cos\lambda,\,\omega_{z'}=\omega\sin\lambda$$ 이므로 $$\pmb{\omega}\times\dot{\mathbf{r}'}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}'&\mathbf{j}'&\mathbf{k}'\\ \omega_{x'}&\omega_{y'}&\omega_{z'}\\ \dot{x'}&\dot{y'}&\dot{z'}\end{matrix}\right|=(\omega\dot{z'}\cos\lambda-\omega\dot{y'}\sin\lambda)\mathbf{i}'+(\omega\dot{x'}\sin\lambda)\mathbf{j}'+(-\omega\dot{x'}\cos\lambda)\mathbf{k}'$$ 이고 $$\begin{align*}\ddot{x'}&=-2\omega(\dot{z'}\cos\lambda-\dot{y'}\sin\lambda)\\ \ddot{y'}&=-2\omega(\dot{x'}\sin\lambda)\\ \ddot{z'}&=-g+2\omega\dot{x'}\cos\lambda\end{align*}$$ 이다. 이 결과들을 시간에 대해 적분하면 $$\begin{align*}\dot{x'}&=-2\omega(z'\cos\lambda-y'\sin\lambda)+\dot{x'}_{0}\\ \dot{y'}&=-2\omega x'\sin\lambda+\dot{y'}_{0}\\ dot{z'}&=-gt+2\omega x'\cos\lambda+\dot{z'}_{0}\end{align*}$$ 이고 이 결과들을 앞의 가속도에 대입한 다음 시간에 대해 두번 적분하고 $\omega^{2}$항을 무시하면 $$\begin{align*}x'(t)&=\frac{1}{3}\omega gt^{3}\cos\lambda-\omega t^{2}(\dot{z_{0}}\cos\lambda-\dot{y_{0}'}\sin\lambda)+\dot{x_{0}'}t+x_{0}'\\ y'(t)&=\dot{y_{0}'}t-\omega\dot{x_{0}'} t^{2}\sin\lambda+\dot{y_{0}'}\\z'(t)&=-\frac{1}{2}gt^{2}+\dot{z_{0}'}t+\omega\dot{x_{0}'}t^{2}\cos\lambda+z_{0}'\end{align*}$$ 을 얻는다.

어떤 물체를 지면에서 높이 $h$인 곳에서 낙하시켰다고 하자. 그러면 $\dot{x_{0}'}=\dot{y_{0}'}=\dot{z_{0}'}=0$이고 초기 위치를 $\dot{x_{0}'}=\dot{y_{0}'}=0,\,\dot{z_{0}'}=h$라고 하면 $$\begin{align*}x'(t)&=\frac{1}{3}\omega gt^{3}\cos\lambda\\ y'(t)&=0\\ z'(t)&=-\frac{1}{2}gt^{2}+h\end{align*}$$ 이고 물체는 낙하하면서 동쪽으로 유동한다. 지면에 도달하는 시간은 $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2h}{g}}$이므로, 이 시간을 $x'(t)$에 대입하면 동쪽으로 유동한 거리는 다음과 같다. $$x_{h}'=\frac{1}{3}\omega\sqrt{\frac{8h^{3}}{g}}\cos\lambda$$

푸코 진자

아래의 그림은 푸코 진자(Foucault pendulum)이다.

진자의 추에 작용하는 힘은 중력 $m\mathbf{g}$와 줄의 장력 $\mathbf{S}$이므로 운동방정식은 $$m\ddot{\mathbf{r}'}=m\mathbf{g}+\mathbf{S}-2m\pmb{\omega}\times\dot{\mathbf{r}'}$$ 이다(원심력 $-m\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')$의 영향은 미미해서 무시했다.). 장력 벡터 $\mathbf{S}$의 방향코사인은 각각 $$-\frac{x'}{l},\,-\frac{y'}{l},\,-\frac{(l-z')}{l}$$ 이므로 $\displaystyle S_{x}=-x'\frac{S}{l},\,S_{y}=-y'\frac{S}{l}$이고 $$\begin{align*}m\ddot{x'}&=-\frac{x'}{l}S-2m\omega(\dot{z'}\cos\lambda-\dot{y'}\sin\lambda)\\ m\ddot{y}&=-\frac{y'}{l}S-2m\omega\dot{x'}\sin\lambda\end{align*}$$ 이다. 진자의 진폭이 매우 작아 장력 $\mathbf{S}$가 거의 일정하게 $m\mathbf{g}$로 유지된다고 하고 $\dot{z'}$도 무시할 수 있다고 하면 $$\begin{align*}\ddot{x}&=-\frac{g}{l}x'+2\omega'\dot{y'}\\ \ddot{y}&=-\frac{g}{l}y'-2\omega'\dot{x'}\end{align*}$$ ($\omega'=\omega\sin\lambda=\omega_{z}$는 관측 지점에서 잰 지구 각속도의 수직 성분이다)이다.

이 문제를 해결하기 위해서 수직축에 대해 $-\omega'$의 각속도로 회전하여 지구 회전에 따른 수직성분을 상쇄시켜야 한다. 그러면 $$\begin{align*}x'&=x\cos\omega't+y\sin\omega't\\y'&=-x\sin\omega't+y\cos\omega't\end{align*}$$ 이 식들을 앞의 운동방정식에 대입해서 $\omega'^{2}$항들을 제거하고 정리하면 $$\left(\ddot{x}+\frac{g}{l}x\right)\cos\omega't+\left(\ddot{y}+\frac{g}{l}y\right)\sin\omega't=0$$ 이고 다음의 두 식을 얻는다. $$\begin{align*}\ddot{x}+\frac{g}{l}x&=0\\ \ddot{y}+\frac{g}{l}y&=0\end{align*}$$ 이 식으로부터 $xy$평면에 투영된 궤도는 고정된 방향을 가진 타원이 되고, 지구의 고정된 좌표계에서는 $\omega'=\omega'\sin\lambda$의 각속도로 타원 궤도를 따라 세차운동(precession)을 한다.

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning