[고전역학] 6. 진동(2: 감쇠 조화운동, 강제 조화진동)

[고전역학] 6. 진동(2: 감쇠 조화운동, 강제 조화진동)

여기서는 공기 저항으로 인한 마찰을 고려할 것이다. 다음 그림의 감쇠 조화 진동자에서

평형점으로부터의 변위를 $x$라고 하면, 물체가 받는 복원력이 $-kx$, 저항으로 인한 마찰력(retarding force)은 $-c\dot{x}$($c$는 비례상수)이므로 이 물체의 운동방정식은 $m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}$이고 $$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$ 이다. 이 운동방정식을 $$\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ 으로 나타낼 수 있고, 감쇠인자(damping factor) $\gamma$를 $$\gamma=\frac{c}{2m}$$ 으로 정의하고, 각진동수 $\displaystyle\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$을 이용하여 이 운동방정식을 $$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0$$ 이다. $q=\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}$라고 하면, $\gamma>q$이고 이 운동방정식의 해는 $$x(t)=A_{1}e^{-(\gamma-q)t}+A_{2}e^{-(\gamma+q)t}$$ 이다.

$q$가 실수이고 $q>0$이면, 과다감쇠(overdamping)이고, $x(t)=A_{1}e^{-(\gamma-q)t}+A_{2}e^{-(\gamma+q)t}$이다.

$q$가 실수이고 $q=0$이면, 임계감쇠(critical damping)이고, $x(t)=(At+B)e^{-\gamma t}$이다.

$q$가 허수이면($\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}<0$), 미급감쇠(underdamping)이고, $$\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c^{2}}{4m^{2}}}$$ 로 놓고, 오일러 항등식 $e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t$를 이용하여 $$x(t)=e^{-\gamma t}A\cos(\omega_{d}t+\theta_{0})$$ 또는 $$x(t)=e^{-\gamma t}A\sin(\omega_{d}t+\phi_{0})$$ 으로 나타낼 수 있으며, 주기는 $$T_{d}=\frac{2\pi}{\omega_{d}}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}}$$ 이다.

(과다감쇠, 임계감쇠, 미급감쇠 조화 진동자의 그래프) 

감쇠 조화 진동자에서 총 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합 $$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$$ 이고, $$\frac{dE}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x}=(m\ddot{x}+kx)\dot{x}$$ 이며 $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$이므로 $m\ddot{x}+kx=-c\dot{x}$이고 따라서 $$\frac{dE}{dt}=-c\dot{x}^{2}$$ 이다. 이것은 총 에너지가 시간에 따라 감소해서 역학적 에너지가 마찰열의 형태로 소실됨을 나타낸다.

미급감쇠인 조화진동자의 에너지 손실률은 진동자의 Q인자(quality factor)라는 $Q$값으로 나타낼 수 있다. Q인자는 한 진동주기 $T_{d}$동안 진동자의 전체 에너지를 손실된 에너지로 나눈 다음, $2\pi$를 곱한 값으로 정의된다. $$\frac{dE}{dt}=-c\dot{x}^{2}$$ 이므로 $\dot{x}$를 계산해야 한다. $$x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega_{d}t+\phi_{0})$$ 이고, $$\dot{x}=-Ae^{\gamma t}(\gamma\sin(\omega_{d}t+\phi_{0})-\omega_{d}\cos(\omega_{d}t+\phi_{0}))$$ 이므로 한 주기 $\displaystyle T_{d}=\frac{2\pi}{\omega_{d}}$동안 진동자가 잃은 에너지는 $$\Delta E=\int_{0}^{T_{d}}{\frac{dE}{dt}dt}$$ 이다. $\theta=\omega_{d}t+\phi_{0}$이라고 하면 $$\begin{align*}\Delta E&=\frac{1}{\omega_{d}}\int_{0}^{2\pi}{\frac{dE}{dt}d\theta}=\frac{1}{\omega_{d}}\int_{0}^{2\pi}{e^{-2\gamma t}(\gamma^{2}\sin^{2}\theta-2\gamma\omega_{d}\sin\theta\cos\theta+\omega_{d}^{2}\cos^{2}\theta)d\theta}\end{align*}$$ 이고, 한 주기 동안 $e^{-2\gamma t}$의 값이 크게 변하지 않아 상수취급 할 수 있기 때문에 바깥으로 빼낼 수 있다. 이 적분을 계산하면 $$\begin{align*}\Delta E&=-\frac{cA^{2}}{\omega_{d}}e^{-2\gamma t}\int_{0}^{2\pi}{(\gamma^{2}\sin^{2}\theta-2\gamma\omega_{d}\sin\theta\cos\theta+\omega_{d}^{2}\cos^{2}\theta)d\theta}\\&=-\frac{cA^{2}}{\omega_{d}}\pi e^{-2\gamma t}(\gamma^{2}+\omega_{d}^{2})\\&=-cA^{2}e^{-2\gamma t}\omega_{0}^{2}\left(\frac{\pi}{\omega_{d}}\right)\\&=-\gamma m\omega_{0}^{2}A^{2}e^{-2\gamma t}T_{d}\\&=\left(\frac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\frac{T_{d}}{\tau}\,\left(\gamma=\frac{1}{2\tau}\right)\end{align*}$$ 이므로 $$\frac{\Delta E}{E}=\frac{T_{d}}{\tau},\,E=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}e^{-\frac{t}{\tau}}$$ 이다. 따라서 Q인자 $Q$는 다음과 같다. $$Q=\frac{2\pi}{\frac{T_{d}}{\tau}}=\frac{2\pi\tau}{\frac{2\pi}{\omega_{d}}}=\omega_{d}\tau=\frac{\omega_{d}}{2\gamma}$$

어떤 조화진동을 하는 물체에 $F_{0}\cos\omega t$의 구동력(driving force)을 가해주면 이 물체의 운동방정식은 다음과 같다. $$m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}+F_{0}\cos\omega t$$ 구동력의 진동수 $\omega$가 물체의 고유진동수 $\omega$와 같게 되면, 공명(resonance)현상이 일어난다(그네를 밀 때, 적당히 때를 맞추어서 밀면 진동 폭이 상당히 커진다). 

감쇠가 없는 조화진동을 하는 물체는 고유 진동수 $\displaystyle\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$로 진동한다. 실제로는 저항(마찰)이 존재해서 시간이 지나면 운동을 멈추게 된다. 구동력을 받는 조화진동을 하는 물체는 진동수가 $\omega_{d}$인 진동을 하다가 시간이 지나면 구동 진동수 $\omega$로 진동하게 된다. 이것은 두 진동수가 중첩되었다가 하나는 소멸하고, 다른 하나는 지속된다. 소멸하는 운동을 과도상태(transient state), 구동 진동수로 계속되는 운동을 정상상태(steady state)라고 한다. 과도상태는 동차해를 갖고, 정상상태는 비동차해를 갖는다.

이 운동방정식의 해를 구하기 위해 구동력을 $F=F_{0}e^{i\omega t}$, 정상상태의 해로 $x(t)=Ae^{i(\omega t-\phi)}$라고 하면 $$m\frac{d^{2}}{dt^{2}}(Ae^{i(\omega t-\phi)})+c\frac{d}{dt}(Ae^{i(\omega t-\phi)})+kAe^{i(\omega t-\phi)}=F_{0}e^{i\omega t}$$ 이므로 $$-m\omega^{2}A+i\omega cA+kA=F_{0}e^{i\phi}=F_{0}(\cos\phi+i\sin\phi)$$ 이고 실수부와 허수부를 분리하면 $$\begin{align*}A(k-m\omega^{2})&=F_{0}\cos\phi\\c\omega A&=F_{0}\sin\phi\end{align*}$$ 이다. 이때 $$\tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{c\omega}{k-m\omega^{2}}$$ 이고 $$A^{2}(k-m\omega^{2})^{2}+c^{2}\omega^{2}A^{2}=F_{0}^{2}$$ 이므로 정상상태진동의 진폭 $A(\omega)$는 $$A(\omega)=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+c^{2}\omega^{2}}}$$ 이때 $\displaystyle\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m},\,\gamma=\frac{c}{2m}$이므로 $$\begin{align*}\tan\phi&=\frac{2\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\\A(\omega)&=\frac{F_{0}}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\frac{dA}{d\omega}=0$이 되게 하는 $\omega$를 공명진동수라고 하고, $\omega_{r}$로 나타낸다. 이때 $$\omega_{r}^{2}=\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}$$ 가 성립한다. 강제 진동이 없으면 $\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}$이므로 $$\omega_{r}^{2}=\omega_{d}^{2}-\gamma^{2}$$ 이다. $\displaystyle\gamma>\frac{\omega_{0}}{\sqrt{2}}$이면, 이 때의 진폭이 $\omega$의 감소함수가 되기 때문에 공명이 일어나지 않는다. $\displaystyle\gamma^{2}=\frac{\omega_{0}^{2}}{2}$일 때를 고려하면 $$A(\omega)=\frac{F_{0}}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+2\omega_{0}^{2}\omega^{2}}}=\frac{F_{0}}{m\sqrt{\omega_{0}^{4}+\omega^{4}}}$$ 이므로 $\omega$의 감소함수이다.

(진폭과 위상차의 그래프)

공명 상태에서의 정상상태 해가 갖는 진폭 $A_{\max}$는 $$A_{\max}=\frac{F_{0}}{2m\gamma\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}}$$ 이고, 감쇠가 약한 경우는 $$A_{\max}\simeq\frac{F_{0}}{2m\gamma\omega_{0}}$$ 으로 나타낼 수 있다.

(기계가 떨리는 진동의 전달을 최소화하기 위해 고무와 용수철을 사용한다.)

감쇠가 약한 경우, $\gamma\ll\omega_{0}$이므로 $$\begin{align*}\omega_{0}^{2}-\omega^{2}&=(\omega_{0}+\omega)(\omega_{0}-\omega)\\&\simeq2\omega_{0}(\omega_{0}-\omega)\\4\gamma^{2}\omega^{2}&\simeq4\gamma^{2}\omega_{0}^{2}\end{align*}$$ 이고 $$A(\omega)=\frac{A_{\max}\gamma}{\sqrt{(\omega_{0}-\omega)^{2}+\gamma^{2}}}$$ 이다. $|\omega_{0}-\omega|=\gamma$이면, $\displaystyle A^{2}=\frac{1}{2}A_{\max}^{2}$이다. 

앞에서 언급했던 Q인자를 여기에서는 강제 진동자의 에너지 손실률로 볼 수 있고, 감쇠가 약한 경우 $$Q=\frac{\omega_{d}}{2\gamma}\approx\frac{\omega_{0}}{2\gamma}$$ 이다. 그러므로 $$\Delta\omega=2\gamma\approx\frac{\omega_{0}}{Q}$$ 이고 $\omega=2\pi f$이므로 $$\frac{\Delta\omega}{\omega_{0}}=\frac{\Delta f}{f_{0}}\simeq\frac{1}{Q}$$ 이다. 여기서 $\Delta\omega$는 최대 진폭의 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707$배인 진폭의 곡선 상의 점들 사이의 진동수 간격이다. 

*전기회로와 역학계의 비교

	역학계		전기계
$x$	변위	$q$	전하량
$\dot{x}$	속도	$\dot{q}=i$	전류
$m$	질량	$L$	인덕턴스
$\displaystyle\frac{1}{k}$	역학적 컴플라이언스(compliance)	$C$	전기용량
$c$	감쇠 저항	$R$	저항
$F$	힘	$V$	전압

다음의 회로는 교류 기전력 $E_{0}\sin\omega t$를 사용하는 직렬 RLC회로이다.

각 회로 소자에 걸리는 전압은 $$V_{L}=L\frac{dI}{dt}=L\ddot{q},\,V_{R}=RI=R\dot{q},\,V_{C}=\frac{q}{C}$$ 이므로 키르히호프 법칙에 의해 $$L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=E_{0}\sin\omega t$$ 이고, 이 회로에 흐르는 전류는 $$I=-\frac{E_{0}}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}\sin(\omega t-\phi)$$ 이므로 $$\begin{align*}V_{L}&=L\frac{dI}{dt}=-\frac{\omega LE_{0}}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}\cos(\omega t-\phi)\\&=V(\omega)\cos(\omega t-\phi)\end{align*}$$ 이다. $V_{L}$이 최대가 되게 하는 구동진동수(역학에서는 공명진동수) $\omega_{\max}$를 구하자. $$\frac{dV(\omega)}{d\omega}=\frac{\displaystyle LE_{0}\left(R^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{2}{\omega^{2}C^{2}}\right)}{\displaystyle \left\{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}$$ 이므로 $$\omega_{\max}=\frac{1}{\displaystyle\sqrt{LC-\frac{R^{2}C^{2}}{2}}}$$ 이다.

 

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning