[고전역학] 5. 진동(1: 선형 복원력, 조화운동)

[고전역학] 5. 진동(1: 선형 복원력, 조화운동)

1차원에서 움직이는 물체의 진동운동은 물체가 원점(원래 위치)에서 어느 한 쪽으로 이동하면 원래 위치로 되돌리려는 힘 복원력 \(F(x)\)가 작용한다. 여기서는 복원력이 변위의 함수인 경우에 대해서만 다룰 것이다. 복원력을 \(x\)에 대해 테일러 전개하면$$F(x)=F(0)+\frac{F'(0)}{1!}x+\frac{F''(0)}{2!}x^{2}+\frac{F'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots$$이고 원점을 평형점이라고 하면 \(F(0)=0\)이다. 이때 입자의 이동거리 \(x\)가 아주 작다고 하면, \(x^{2}\)이상의 고차항을 무시할 수 있으므로 다음의 근사식$$F(x)=-kx$$를 얻고, 여기서 \(\displaystyle k=-F'(0)\)이다. \(F(x)=-kx\)로 나타내어지는 물리계는 훅의 법칙(Hooke's law)을 따르고 이때 \(k\)는 용수철 상수(spring constant)(또는 탄성계수)이다. 이러한 운동을 단조화 운동(simple harmonic motion)이라고 한다.

(단조화 진동(운동)의 모형)

복원력을 받는 물체의 운동방정식은$$m\ddot{x}+kx=0$$이고$$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$이다. 이 방정식의 해는$$x=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})$$이고,$$\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$$은 이 운동의 각진동수(anglar frequency), \(A\)를 이 운동의 진폭(amplitude)이라 하고, 각진동수 \(\omega_{0}\)와는 무관하다. \(\phi_{0}\)은 위상각(phase angle)으로 \(t=0\)일 때의 변위 \(x\)를 결정한다(\(x(0)=A\sin\phi_{0}\)).

위상이 \(2\pi\)만큼 증가하는데 걸리는 시간을 \(T_{0}\)라고 하면$$\omega_{0}(t+T_{0})+\phi_{0}=\omega_{0}t+\phi_{0}+2\pi$$이므로 \(\displaystyle T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)이고 이 \(T_{0}\)를 운동의 주기(period)라고 한다.

주기의 역수를 진동수(frequency)라고 하고 단위는 \(s^{-1}\)이지만 헤르츠(Hz)로 나타내고 즉, \(1\text{Hz}=1\text{s}^{-1}\)이며$$f_{0}=\frac{1}{T_{0}}$$로 나타낸다. \(f_{0}\)는 시간마다 진동 과정을 반복하는 횟수이고 진동수 \(f_{0}\)와 각진동수 \(\omega_{0}\)의 관계는 다음과 같다.$$\begin{align*}2\pi f_{0}&=\omega_{0}\\f_{0}&=\frac{1}{T_{0}}=\frac{1}{2\pi\omega_{0}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\end{align*}$$

단조화 운동을 나타내는 식인 \(x=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})\)는 두 개의 상수 \(A\)(진폭)와 \(\phi_{0}\)(위상각)를 포함한다.$$v(t)=\dot{x}(t)=\omega_{0}A\cos(\omega_{0}t+\phi_{0})$$에서 \(v(0)=v_{0}=\omega_{0}A\)이므로 \(\displaystyle A=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\)이고, \(x(0)=A\sin\phi_{0}\)이므로 앞의 식과 결합하면$$\tan\phi_{0}=\frac{\omega_{0}x_{0}}{v_{0}}$$이고$$A^{2}=x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}}$$이다. 여기서 \(v_{0}\) 또는 \(x_{0}\)를 \(0\)으로 두어서 \(A\)와 \(\phi_{0}\)의 값을 구할 수 있다.

다음 그림의 벡터 \(\mathbf{A}\)는 일정한 각속도 \(\omega_{0}\)로 회전하고 있다.

벡터 \(\mathbf{A}\)의 끝점 \(\mathbf{P}\)를 \(x\)축에 투영하면$$x=A\cos(\omega_{0}t+\theta_{0})$$이고, \(y\)축에 투영하면$$x=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})$$이다. \(\displaystyle\phi_{0}-\theta_{0}=\frac{\pi}{2}\)라고 하면,$$\begin{align*}\cos(\omega_{0}t+\theta_{0})&=\cos\left(\omega_{0}t+\phi_{0}-\frac{\pi}{2}\right)\\&=\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})\end{align*}$$이므로 \(x\)축에 투영하나 \(y\)축에 투영하나 결과는 같다.$$\begin{align*}x(t)&=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})\\&=A\sin\phi_{0}\cos\omega_{0}t+A\cos\phi_{0}\sin\omega_{0}t\\&=C\cos\omega_{0}t+D\sin\omega_{0}t\end{align*}$$이고 이때$$\tan\phi_{0}=\frac{C}{D},\,A^{2}=C^{2}+D^{2}$$이다.

다음 그림처럼 용수철에 질량이 \(m\)인 물체가 수직으로 매달려 있다고 하자.(아랫방향이 +방향)

그러면 이 물체에 작용하는 힘은 복원력과 중력이므로$$F=-k(X-X_{e})+mg$$이고$$F=-k(X_{e}'-X_{e})+mg=0$$이므로 새로운 평형점 \(X_{e}'\)에 대해$$X_{e}'=X_{e}+\frac{mg}{k}$$이다. 그러므로$$x=X-X_{e}'=X-X_{e}-\frac{mg}{k}$$라고 하면$$F=-kx$$이고, 이 물체에 대한 운동방정식은$$m\ddot{x}+kx=0$$이다. 이 방정식의 해인 \(x\)는 수평으로 움직이는 단조화 진동의 경우와 같다.

용수철에 질량이 \(m\)인 물체를 매달아 수직으로 매달면(아랫방향이 +방향), \(D_{1}\)만큼 늘어나면서 평형을 이루어 정지한다. 그러면$$F=-kD_{1}+mg=0$$이므로 탄성계수는$$k=\frac{mg}{D_{1}}$$이고 각진동수는$$\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}$$이다. 이 평형 위치에서 \(D_{2}\)만큼 더 아래로 잡아당기면, 운동을 \(x(t)=A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t\)라고 했을 때,$$\dot{x}=-A\omega_{0}\sin\omega_{0}t+B\omega_{0}\cos\omega_{0}t$$이고, 초기조건에 의해$$x_{0}=D_{2}=A,\,v_{0}=0=B\omega_{0}$$이므로$$\begin{align*}x(t)&=D_{2}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}t\right)\\ \dot{x}(t)&=-D_{2}\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}t\right)\\ \ddot{x}(t)&=-\frac{D_{2}g}{D_{1}}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}t\right)\end{align*}$$이다.

단진자(simple pendulum)은 길이가 \(l\)인 가볍고 늘어나지 않는 끈의 끝에 질량이 \(m\)인 물체를 매달아 흔들리게 하는 장치이다.(아래그림 참고)

물체가 받는 복원력은 운동경로를 따라 중력 \(m\mathbf{g}\)가 각도 \(\theta\)가 증가하는 방향으로 작용하는 성분인 \(-mg\sin\theta\)이다. 이 물체에 대한 운동방정식은$$m\ddot{s}=-mg\sin\theta$$이고 여기서 \(s=l\theta\)이고, \(\theta\)가 작으면 \(\sin\theta\)를 \(\theta\)로 근사시켜서 다음과 같은 운동방정식을 얻는다.$$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0,\,\ddot{s}+\frac{g}{l}s=0$$이 운동은 직선이 아닌 곡선 경로에서 일어나지만 \(\sin\theta\)를 \(\theta\)로 근사시킬 수 있는 \(\theta\)의 범위 안에서 물체의 운동은 각진동수가 \(\displaystyle\omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{l}}\)이고, 주기가 \(\displaystyle T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)인 단조화 진동이라고 볼 수 있다.

복원력 \(F=-kx\)를 받는 입자에 대해 평형위치 \(x=0\)에서 어떤 위치 \(x\)까지 입자를 움직일 때, 외력 \(F_{\text{ext}}\)가 한 일 \(W\)를 구하면 \(F_{\text{ext}}=-F=kx\)이므로$$W=\int_{0}^{x}{F_{\text{ext}}ds}=\int_{0}^{x}{ksds}=\frac{1}{2}kx^{2}$$이고, 훅의 법칙을 따르는 용수철은 일 \(W=V(x)\)가 위치에너지로 저장된다.$$F=-\frac{dV}{dx}=-kx$$이고 조화운동을 하는 물체의 총 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합, 즉$$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$$이고, 총 에너지 \(E\)는 상수이다.$$\dot{x}=\pm\sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{k}{m}x^{2}}$$이므로$$t=\int_{0}^{x}{\frac{1}{\sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{k}{m}s^{2}}}ds}=\mp\sqrt{\frac{m}{k}}\cos^{-1}\left(\frac{x}{A}\right)+C$$이고, 여기서 \(C\)는 적분상수, \(\displaystyle A=\sqrt{\frac{2E}{k}}\)는 진폭이다. 이때 \(\dot{x}\)가 실수이려면 \(-A\leq x\leq A\)이어야 한다.(아래 그림 참고)

이 에너지 방정식을 통해서 \(x=0\)에서의 속도의 최댓값 \(v_{\max}\)를 알 수 있고, 다음 식을 만족한다.$$E=\frac{1}{2}mv_{\max}^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}$$입자가 진동할 때, 운동에너지와 위치에너지는 항상 변하고, 총 에너지가 일정하므로 중심 \(x=0\)과 \(\dot{x}=\pm v_{\max}\)에서는 모두 운동에너지만 갖고, 꼭짓점인 \(\dot{x}=0\)과 \(x=\pm A\)에서는 모두 위치에너지만 갖는다.

앞에서 다루었던 단진자의 위치에너지는$$V(\theta)=mgh=mgl(1-\cos\theta)$$이고, 코사인의 멱급수 전개$$\cos\theta=1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots$$에서\(\theta\)가 작으면 \(\cos\theta\)를 \(\displaystyle1-\frac{\theta^{2}}{2}\)로 근사시킬 수 있으므로$$V(\theta)=\frac{1}{2}mgl\theta^{2},\,V(s)=\frac{1}{2}\frac{mg}{l}s^{2}$$이고, 총 에너지는$$E=\frac{1}{2}\dot{s}^{2}+\frac{1}{2}\frac{mg}{l}s^{2}$$이다.

단조화 운동을 하는 물체의 운동에너지와 위치에너지, 총 에너지의 평균값들을 구하면$$\begin{align*}x&=A\sin(\omega_{0}t)\\ \dot{x}&=\omega_{0}A\cos(\omega_{0}t)\end{align*}$$(\(\phi_{0}=0\))이므로$$\begin{align*}\langle K\rangle&=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}{\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\right)dt}=\frac{1}{T_{0}}\left(\int_{0}^{T_{0}}{\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}\cos^{2}\omega_{0}tdt}\right)\\&=\frac{1}{4}m\omega_{0}^{2}A^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\\ \langle V\rangle&=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}{\left(\frac{1}{2}kx^{2}\right)dt}=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}{\left(\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}\omega_{0}t\right)dt}\\&=\frac{1}{4}m\omega_{0}^{2}A^{2}=\frac{1}{4}kA^{2}\\ \langle E\rangle&=\langle K\rangle+\langle V\rangle=\frac{1}{2}kA^{2}\end{align*}$$이다.

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning