[고전역학] 5. 진동(1: 선형 복원력, 조화운동)

[고전역학] 5. 진동(1: 선형 복원력, 조화운동)

1차원에서 움직이는 물체의 진동운동은 물체가 원점(원래 위치)에서 어느 한 쪽으로 이동하면 원래 위치로 되돌리려는 힘 복원력 $F(x)$가 작용한다. 여기서는 복원력이 변위의 함수인 경우에 대해서만 다룰 것이다. 복원력을 $x$에 대해 테일러 전개하면 $$F(x)=F(0)+\frac{F'(0)}{1!}x+\frac{F''(0)}{2!}x^{2}+\frac{F'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots$$ 이고 원점을 평형점이라고 하면 $F(0)=0$이다. 이때 입자의 이동거리 $x$가 아주 작다고 하면, $x^{2}$이상의 고차항을 무시할 수 있으므로 다음의 근사식 $$F(x)=-kx$$ 를 얻고, 여기서 $\displaystyle k=-F'(0)$이다. $F(x)=-kx$로 나타내어지는 물리계는 훅의 법칙(Hooke's law)을 따르고 이때 $k$는 용수철 상수(spring constant)(또는 탄성계수)이다. 이러한 운동을 단조화 운동(simple harmonic motion)이라고 한다.

(단조화 진동(운동)의 모형)

복원력을 받는 물체의 운동방정식은 $$m\ddot{x}+kx=0$$ 이고 $$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ 이다. 이 방정식의 해는 $$x=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})$$ 이고, $$\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ 은 이 운동의 각진동수(anglar frequency), $A$를 이 운동의 진폭(amplitude)이라 하고, 각진동수 $\omega_{0}$와는 무관하다. $\phi_{0}$은 위상각(phase angle)으로 $t=0$일 때의 변위 $x$를 결정한다($x(0)=A\sin\phi_{0}$).

위상이 $2\pi$만큼 증가하는데 걸리는 시간을 $T_{0}$라고 하면 $$\omega_{0}(t+T_{0})+\phi_{0}=\omega_{0}t+\phi_{0}+2\pi$$ 이므로 $\displaystyle T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}$이고 이 $T_{0}$를 운동의 주기(period)라고 한다.

주기의 역수를 진동수(frequency)라고 하고 단위는 $s^{-1}$이지만 헤르츠(Hz)로 나타내고 즉, $1\text{Hz}=1\text{s}^{-1}$이며 $$f_{0}=\frac{1}{T_{0}}$$ 로 나타낸다. $f_{0}$는 시간마다 진동 과정을 반복하는 횟수이고 진동수 $f_{0}$와 각진동수 $\omega_{0}$의 관계는 다음과 같다. $$\begin{align*}2\pi f_{0}&=\omega_{0}\\f_{0}&=\frac{1}{T_{0}}=\frac{1}{2\pi\omega_{0}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\end{align*}$$

단조화 운동을 나타내는 식인 $x=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})$는 두 개의 상수 $A$(진폭)와 $\phi_{0}$(위상각)를 포함한다. $$v(t)=\dot{x}(t)=\omega_{0}A\cos(\omega_{0}t+\phi_{0})$$ 에서 $v(0)=v_{0}=\omega_{0}A$이므로 $\displaystyle A=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}$이고, $x(0)=A\sin\phi_{0}$이므로 앞의 식과 결합하면 $$\tan\phi_{0}=\frac{\omega_{0}x_{0}}{v_{0}}$$ 이고 $$A^{2}=x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}}$$ 이다. 여기서 $v_{0}$ 또는 $x_{0}$를 $0$으로 두어서 $A$와 $\phi_{0}$의 값을 구할 수 있다.

다음 그림의 벡터 $\mathbf{A}$는 일정한 각속도 $\omega_{0}$로 회전하고 있다.

벡터 $\mathbf{A}$의 끝점 $\mathbf{P}$를 $x$축에 투영하면 $$x=A\cos(\omega_{0}t+\theta_{0})$$ 이고, $y$축에 투영하면 $$x=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})$$ 이다. $\displaystyle\phi_{0}-\theta_{0}=\frac{\pi}{2}$라고 하면, $$\begin{align*}\cos(\omega_{0}t+\theta_{0})&=\cos\left(\omega_{0}t+\phi_{0}-\frac{\pi}{2}\right)\\&=\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})\end{align*}$$ 이므로 $x$축에 투영하나 $y$축에 투영하나 결과는 같다. $$\begin{align*}x(t)&=A\sin(\omega_{0}t+\phi_{0})\\&=A\sin\phi_{0}\cos\omega_{0}t+A\cos\phi_{0}\sin\omega_{0}t\\&=C\cos\omega_{0}t+D\sin\omega_{0}t\end{align*}$$ 이고 이때 $$\tan\phi_{0}=\frac{C}{D},\,A^{2}=C^{2}+D^{2}$$ 이다.

다음 그림처럼 용수철에 질량이 $m$인 물체가 수직으로 매달려 있다고 하자.(아랫방향이 +방향)

그러면 이 물체에 작용하는 힘은 복원력과 중력이므로 $$F=-k(X-X_{e})+mg$$ 이고 $$F=-k(X_{e}'-X_{e})+mg=0$$ 이므로 새로운 평형점 $X_{e}'$에 대해 $$X_{e}'=X_{e}+\frac{mg}{k}$$ 이다. 그러므로 $$x=X-X_{e}'=X-X_{e}-\frac{mg}{k}$$ 라고 하면 $$F=-kx$$ 이고, 이 물체에 대한 운동방정식은 $$m\ddot{x}+kx=0$$ 이다. 이 방정식의 해인 $x$는 수평으로 움직이는 단조화 진동의 경우와 같다.

용수철에 질량이 $m$인 물체를 매달아 수직으로 매달면(아랫방향이 +방향), $D_{1}$만큼 늘어나면서 평형을 이루어 정지한다. 그러면 $$F=-kD_{1}+mg=0$$ 이므로 탄성계수는 $$k=\frac{mg}{D_{1}}$$ 이고 각진동수는 $$\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}$$ 이다. 이 평형 위치에서 $D_{2}$만큼 더 아래로 잡아당기면, 운동을 $x(t)=A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t$라고 했을 때, $$\dot{x}=-A\omega_{0}\sin\omega_{0}t+B\omega_{0}\cos\omega_{0}t$$ 이고, 초기조건에 의해 $$x_{0}=D_{2}=A,\,v_{0}=0=B\omega_{0}$$ 이므로 $$\begin{align*}x(t)&=D_{2}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}t\right)\\ \dot{x}(t)&=-D_{2}\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}t\right)\\ \ddot{x}(t)&=-\frac{D_{2}g}{D_{1}}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{D_{1}}}t\right)\end{align*}$$ 이다.

단진자(simple pendulum)은 길이가 $l$인 가볍고 늘어나지 않는 끈의 끝에 질량이 $m$인 물체를 매달아 흔들리게 하는 장치이다.(아래그림 참고)

물체가 받는 복원력은 운동경로를 따라 중력 $m\mathbf{g}$가 각도 $\theta$가 증가하는 방향으로 작용하는 성분인 $-mg\sin\theta$이다. 이 물체에 대한 운동방정식은 $$m\ddot{s}=-mg\sin\theta$$ 이고 여기서 $s=l\theta$이고, $\theta$가 작으면 $\sin\theta$를 $\theta$로 근사시켜서 다음과 같은 운동방정식을 얻는다. $$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0,\,\ddot{s}+\frac{g}{l}s=0$$ 이 운동은 직선이 아닌 곡선 경로에서 일어나지만 $\sin\theta$를 $\theta$로 근사시킬 수 있는 $\theta$의 범위 안에서 물체의 운동은 각진동수가 $\displaystyle\omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{l}}$이고, 주기가 $\displaystyle T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$인 단조화 진동이라고 볼 수 있다.

복원력 $F=-kx$를 받는 입자에 대해 평형위치 $x=0$에서 어떤 위치 $x$까지 입자를 움직일 때, 외력 $F_{\text{ext}}$가 한 일 $W$를 구하면 $F_{\text{ext}}=-F=kx$이므로 $$W=\int_{0}^{x}{F_{\text{ext}}ds}=\int_{0}^{x}{ksds}=\frac{1}{2}kx^{2}$$ 이고, 훅의 법칙을 따르는 용수철은 일 $W=V(x)$가 위치에너지로 저장된다. $$F=-\frac{dV}{dx}=-kx$$ 이고 조화운동을 하는 물체의 총 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합, 즉 $$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$$ 이고, 총 에너지 $E$는 상수이다. $$\dot{x}=\pm\sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{k}{m}x^{2}}$$ 이므로 $$t=\int_{0}^{x}{\frac{1}{\sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{k}{m}s^{2}}}ds}=\mp\sqrt{\frac{m}{k}}\cos^{-1}\left(\frac{x}{A}\right)+C$$ 이고, 여기서 $C$는 적분상수, $\displaystyle A=\sqrt{\frac{2E}{k}}$는 진폭이다. 이때 $\dot{x}$가 실수이려면 $-A\leq x\leq A$이어야 한다.(아래 그림 참고)

이 에너지 방정식을 통해서 $x=0$에서의 속도의 최댓값 $v_{\max}$를 알 수 있고, 다음 식을 만족한다. $$E=\frac{1}{2}mv_{\max}^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}$$ 입자가 진동할 때, 운동에너지와 위치에너지는 항상 변하고, 총 에너지가 일정하므로 중심 $x=0$과 $\dot{x}=\pm v_{\max}$에서는 모두 운동에너지만 갖고, 꼭짓점인 $\dot{x}=0$과 $x=\pm A$에서는 모두 위치에너지만 갖는다.

앞에서 다루었던 단진자의 위치에너지는 $$V(\theta)=mgh=mgl(1-\cos\theta)$$ 이고, 코사인의 멱급수 전개 $$\cos\theta=1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots$$ 에서$\theta$가 작으면 $\cos\theta$를 $\displaystyle1-\frac{\theta^{2}}{2}$로 근사시킬 수 있으므로 $$V(\theta)=\frac{1}{2}mgl\theta^{2},\,V(s)=\frac{1}{2}\frac{mg}{l}s^{2}$$ 이고, 총 에너지는 $$E=\frac{1}{2}\dot{s}^{2}+\frac{1}{2}\frac{mg}{l}s^{2}$$ 이다.

단조화 운동을 하는 물체의 운동에너지와 위치에너지, 총 에너지의 평균값들을 구하면 $$\begin{align*}x&=A\sin(\omega_{0}t)\\ \dot{x}&=\omega_{0}A\cos(\omega_{0}t)\end{align*}$$ ($\phi_{0}=0$)이므로 $$\begin{align*}\langle K\rangle&=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}{\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\right)dt}=\frac{1}{T_{0}}\left(\int_{0}^{T_{0}}{\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}\cos^{2}\omega_{0}tdt}\right)\\&=\frac{1}{4}m\omega_{0}^{2}A^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\\ \langle V\rangle&=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}{\left(\frac{1}{2}kx^{2}\right)dt}=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}{\left(\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}\omega_{0}t\right)dt}\\&=\frac{1}{4}m\omega_{0}^{2}A^{2}=\frac{1}{4}kA^{2}\\ \langle E\rangle&=\langle K\rangle+\langle V\rangle=\frac{1}{2}kA^{2}\end{align*}$$ 이다.

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning