[고전역학] 3. 뉴턴역학(1: 뉴턴의 운동법칙과 운동방정식)

[고전역학] 3. 뉴턴역학(1: 뉴턴의 운동법칙과 운동방정식)

역학(mechanics)은 입자와 입자계의 운동을 수학적으로 기술하는 물리학 분야 중 하나이다. 역학을 다루기 위해서는 거리와 시간 같은 개념이 필요하다. 거리와 시간을 조합해서 입자의 속도(velocity), 가속도(acceleration)를 정의할 수 있다. 

뉴턴은 1687년에 프린키피아(Principia, 자연철학의 수학적 원리)를 통해 소위 뉴턴의 운동법칙이라 불리우는 운동에 관한 세 가지 법칙을 제시했다. 

I. 외부에서 힘이 작용하지 않는 한, 물체는 정지해 있거나 일정한 운동을 계속한다.(관성의 법칙)

II. 물체의 운동량의 시간에 대한 변화율은 가해지는 힘 \(\mathbf{F}\)에 비례한다.(\(\mathbf{F}=m\mathbf{a}\))

III. 두 물체가 서로 힘을 미칠 때, 이 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.(작용 반작용의 법칙)  

관성의 법칙은 정지 또는 등속직선운동을 하는 물체는 힘을 받지 않음을 뜻한다. 운동량(momentum)(또는 선운동량)은 질량(mass)과 속도의 곱인$$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$$로 정의되고 따라서 뉴턴의 운동 제 2법칙은$$\mathbf{F}=k\frac{d}{dt}\mathbf{p}=km\mathbf{a}$$이다. 힘의 SI 단위계 정의는 "\(1\text{kg}\)의 질량에 \(1\text{m/s}^{2}\)의 가속도를 주는 힘"이므로 \(k=1\)이고 힘의 단위는 \(1\text{N}\)(newton, 뉴턴)이다. 또한 뉴턴의 운동 제 2법칙을 다음과 같이 나타낼 수 있고$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$$이 식의 좌변의 힘 \(\mathbf{F}\)는 질량 \(m\)인 물체에 작용하는 알짜힘(net force)이고 알짜힘은 물체에 작용하는 여러 힘들의 벡터합의 결과이다.

작용 반작용의 법칙은 외부에서 작용하는 알짜 힘이 없는 고립계에서 두 물체가 서로에 미치는 힘이 각각 \(\mathbf{F}_{1},\,\mathbf{F}_{2}\)일 때,$$\mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2}$$를 나타낸다. 이때 \(\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}=\mathbf{0}\)이고, 힘은 운동량의 시간에 대한 변화율(뉴턴의 운동 제 2법칙)이므로$$\frac{d}{dt}(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2})=\mathbf{0}$$이고 따라서 \(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}=\mathbf{c}\)(\(\mathbf{c}\)는 상수벡터)가 되어 작용 반작용의 법칙이 상호작용하는 두 물체의 총 운동량이 변하지 않는다는것을 뜻한다. 이것을 운동량 보존의 법칙(law of conservation of momentum)이라고 하며 뉴턴 역학을 적용할 수 없는 상대론적 영역에서도 성립한다.

뉴턴의 운동법칙이 의미가 있으려면 물체의 운동을 측정하는 기준계를 선택해야 한다. 뉴턴의 운동법칙이 성립하는 기준계를 관성계(inertial frame)라고 한다. 

어떤 기준계에서 뉴턴의 운동법칙이 성립하면, 이 계에 대해서 가속도가 0인 일정한 운동을 하는 어떤 계에서도 그 법칙은 성립한다. 그 이유는 뉴턴의 운동 제 2법칙인 \(\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{r}}\)에 의해 일정한 속도로 좌표가 변환해도 방정식에 영향을 주지 않기 때문이다. 이것을 갈릴레이 불변성(Galilean invariance) 또는 뉴턴의 상대성 원리(principle of Newtonian relativity)라고 한다. 

현실의 물리적인 세계에서 물리적인 대상의 운동을 정확히 기술하는 것은 어려우므로 이상화와 근사를 통해서 운동을 해석한다. 이것은 보통 물체의 운동에 중대한 영향을 주지 않는 한, 물체에 작용하는 작은 힘은 무시하고 운동을 해석함을 뜻한다.

뉴턴의 운동 제 2법칙$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{r}}$$을 이용하여 물체의 운동방정식을 세워 물체의 운동을 해석할 수 있다. 물체의 운동의 해석은 다음의 순서를 따라서 해석한다.

1. 해석하려는 물체에 작용하는 힘, 속도(주어진 물리량) 등을 확실하게 나타내어 문제의 윤곽을 파악한다.

2. 유효한 방정식을 세우고 무엇이 결정되어야 하는지 파악한다. 이때, 대수, 미적분을 다룰 수 있어야 한다.

3. 방정식의 해를 구한다.

일정한 힘이 작용하는 등가속도 운동을 하는 물체

직선 상에서 등가속도 직선운동을 하는 물체의 가속도는$$\ddot{x}=\frac{dv}{dt}=\frac{F}{m}=a$$이므로$$\begin{align*}\dot{x}&=\int_{0}^{t}{\ddot{x}d\tau}=v=v_{0}+at\\x&=\int_{0}^{t}{\dot{x}d\tau}=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\end{align*}$$이고, 이때 다음 등식이 성립한다.$$v^{2}-v_{0}^{2}=2a(x-x_{0})$$지표면에서 자유낙하하는 물체에 대해 공기저항을 무시하면, 작용하는 힘이 중력 \(m\mathbf{g}\)(\(\mathbf{g}\)는 중력가속도)뿐이므로 가속도는 일정하고, 그 크기는 \(g=9.8\text{m/s}^{2}\)이다.

경사면 위에 놓여있는 물체

위의 그림은 수평에 대해 각도 \(\theta\)로 기울어진 평면 위에 질량이 \(m\)인 물체가 놓여있는 것을 나타낸 것이다. 꼭대기의 높이가 \(h\), 운동마찰계수가 \(\mu_{k}\)이고, 물체가 처음에 꼭대기에 정지 상태로 있었다가 운동을 시작한다고 하자. 물체의 가속도를 구하시오.

풀이:

경사면 아래 방향을 \(x\)축의 양의 방향으로 정하고, \(x\)축과 수직인 축을 \(y\)축이라고 하자.(아래 그림 참고)

그러면 물체의 \(y\)축 방향으로 작용하는 힘은 수직항력 \(\mathbf{N}\)과 중력의 \(y\)축 방향 성분 \(mg\cos\theta\)이고, \(y\)축 상에서 정지상태이므로 \(N=mg\sin\)이다. \(x\)축 방향으로 작용하는 힘은 중력의 \(x\)축 방향 성분 \(mg\sin\theta\)와 운동마찰력 \(\mu_{k}mg\cos\theta\)이므로 \(x\)축 방향의 알짜힘은$$m\ddot{x}=mg\sin\theta-\mu_{k}mg\cos\theta$$이고 따라서 가속도는$$\ddot{x}=g(\sin\theta-\mu_{k}\cos\theta)$$이다.

여기서 마찰력을 무시한다면 가속도는 \(g\sin\theta\)이고 물체가 \(x\)만큼 내려갔을 때, \(\displaystyle x=\frac{h}{\sin\theta}\)이므로$$v^{2}=2(g\sin\theta)\left(\frac{h}{\sin\theta}\right)=2gh$$이다. 

다시 마찰력이 존재한다고 하고, 물체가 정지상태를 유지하고 있다고 하자. 물체가 움직이게 하기 위해 각도에 변화를 주려고 한다. 만약 물체가 특정 각도 \(\theta'\)에서 움직이기 시작했다면 이때의 물체의 수직항력은 \(N=mg\cos\theta'\)이고, 물체의 정지마찰계수를 \(\mu_{s}\)라고 하면, 최대정지마찰력 \(f_{\max}=\mu_{s}N=\mu_{s}mg\cos\theta'\), 중력의 \(x\)축 방향 성분이 \(mg\sin\theta'\), 알짜힘이 \(0\)이므로$$0=mg\sin\theta'-\mu_{s}mg\cos\theta'$$이고$$\mu_{s}=\tan\theta'$$이다. 이때 \(\mu_{s}>\mu_{k}\)이다.

2차원 발사체

공기저항이 없는 상태에서 발사체가 포를 떠나는 순간의 속도를 \(v_{o}\), 발사 될 때 앙각(elevation, 지평면과 포신(포의 몸통 전체)이 이루는 각도)이 \(\theta\)라고 하자.(아래 그림 참고)

시간에 따른 발사체의 위치, 도달거리, 최대높이를 구하시오(포의 크기는 무시한다(\(x_{0}=y_{0}=0\))).

풀이: 뉴턴의 운동 제 2 법칙으로부터

\(x\)방향: \(m\ddot{x}=0\)

\(y\)방향: \(m\ddot{y}=-mg\)

이고$$\begin{align*}\ddot{x}&=0\\ \dot{x}&=v_{0}\cos\theta\\x&=v_{0}\cos\theta t\end{align*}$$이고$$\begin{align*}\ddot{y}&=-g\\ \dot{y}&=v_{0}\sin\theta-gt\\y&=v_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^{2}\end{align*}$$이므로 시간에 따른 발사체의 위치는$$\begin{cases}x=v_{0}\cos\theta t&\\ \displaystyle y=v_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^{2}&\end{cases}$$이고, 물체가 다시 지면에 도달하는 시간을 \(T\), 도달거리를 \(R\)이라고 하면 \(\displaystyle T=\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}\)이므로$$R=v_{0}\cos\theta T=\frac{2v_{0}^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_{0}^{2}\sin2\theta}{g}$$이고, 최대높이는 \(y\)축 속도가 \(0\)일 때의 높이이므로 \(y\)축 속도가 \(0\)일 때의 시간을 \(T'\), 최대높이를 \(H\)라고 하면 \(\displaystyle T'=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\)이므로$$H=v_{0}\sin\theta T'-\frac{1}{2}g(T')^{2}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$$이다.

애트우드(Atwood) 기계(양 끝에 물체를 각각 달아맨 가벼운 끈을 도르래에 걸어놓은 기계)

다음 그림의 기계를 애트우드 기계라고 한다.

관찰자가 승강기 안에 있다고 하자. 관찰자의 입장에서 도르래가 정지해 있을 때와 일정한 가속도 \(\alpha\)로 내려갈 때의 물체의 가속도와 끈의 장력을 구하시오.(끈의 질량은 무시하고 도르래와 끈 사이의 마찰과 끈이 늘어지는 일은 없다고 한다.)

풀이:

(1) 도르래가 정지해 있을 때, 도르래의 중심을 원점으로 하면, 각 물체에 대한 운동방정식은$$\begin{align*}m_{1}\ddot{x_{1}}&=m_{1}g-T\\ m_{2}\ddot{x_{2}}&=m_{2}g-T\end{align*}$$이고, 끈이 늘어지지 않으므로 \(\ddot{x_{2}}=-\ddot{x_{1}}\)이고$$\begin{align*}m_{1}\ddot{x_{1}}&=m_{1}g-(m_{2}g-m_{2}\ddot{x_{2}})\\&=m_{1}g-(m_{2}g+m_{2}\ddot{x_{1}})\end{align*}$$이므로$$\ddot{x_{1}}=\frac{g(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}=-\ddot{x_{2}}$$이고$$\begin{align*}T&=m_{1}g-m_{1}\ddot{x_{1}}\\&=m_{1}g-m_{1}g\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\end{align*}$$이므로$$T=\frac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}g$$이다.

(2) 도르래가 일정한 가속도 \(\alpha\)로 내려갈 때, 승강기의 축(shaft)에 원점을 둔 관성계에서 해석해야 한다. \(x_{1}''=x_{1}'+x_{1},\,x_{2}''=x_{2}'+x_{2}\)이므로 이 관성계에서의 운동방정식은$$\begin{align*}m_{1}\ddot{x_{1}''}&=m_{1}(\ddot{x_{1}'}+\ddot{x_{1}})=m_{1}g-T\\m_{2}\ddot{x_{2}''}&=m_{2}(\ddot{x_{2}'+x_{2}})=m_{2}g-T\end{align*}$$이고 \(\ddot{x_{1}'}=\ddot{x_{2}'}=\alpha,\,\ddot{x_{2}}=-\ddot{x_{1}}\)이므로$$\begin{align*}m_{1}\ddot{x_{1}}&=m_{1}g-T-m_{1}\ddot{x_{1}'}=m_{1}(g-\alpha)-T\\m_{2}\ddot{x_{2}}&=m_{2}g-T-m_{2}\ddot{x_{2}}=m_{2}(g-\alpha)-T\end{align*}$$이고 따라서$$\ddot{x_{1}}=-\ddot{x_{2}}=(g-\alpha)\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$이고$$T=\frac{2m}{m_{1}+m_{2}}(g-\alpha)$$이다.

운동량 보존법칙

질량이 \(M\)인 우주선을 태양에 대해 \(v_{i}\)의 상대속도로 우주 속을 지나고 있다고 하자. 다음 그림대로

이 우주선이 질량 \(\alpha M\,(0<\alpha<1)\)인 뒷부분을 상대속도 \(u\)로 분리했다. 분리된 후의 우주선의 속도는?(태양의 중력은 무시한다)

풀이: 태양의 중력이 없으므로 이 문제상의 우주는 외력이 작용하지 않는 고립계이고 운동량이 보존된다. 분리 전 우주선의 방향을 +방향으로 잡으면 분리되기 전의 전체 운동량은$$P_{i}=Mv_{i}$$이고, 분리된 후의 우주선의 속도를 \(v_{f}\), 분리된 질량 \(\alpha M\)인 물체의 속도를 \(U\)라고 하면 분리된 후의 전체 운동량은$$P_{f}=\alpha MU+(1-\alpha)Mv_{f}$$이고 \(u=v_{f}-U\)이므로 운동량 보존법칙에 의해$$\alpha M(v_{f}-u)+(1-\alpha)Mv_{f}=Mv_{i}$$이고 따라서$$v_{f}=v_{i}+\alpha u$$이다.

참고자료:

Analytic Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning