[고전역학] 2. 벡터(2: 변환행렬, 위치벡터, 각 좌표계에서의 속도와 가속도)

[고전역학] 2. 벡터(2: 변환행렬, 위치벡터, 각 좌표계에서의 속도와 가속도)

-변환행렬

벡터 $\mathbf{A}$를 기준벡터가 $\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}$인 좌표계에서 $\mathbf{A}=A_{x}\mathbf{i}+A_{y}\mathbf{j}+A_{z}\mathbf{k}$로 나타낸다.

$\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}$와는 다른 기준벡터 $\mathbf{i}',\,\mathbf{j}',\,\mathbf{k}'$를 갖는 좌표계에서 $\mathbf{A}$를 $\mathbf{A}=A_{x'}\mathbf{i}'+A_{y'}\mathbf{j}'+A_{z'}\mathbf{k}'$로 나타낼 수 있다. 이때 $$\begin{align*}A_{x'}&=\mathbf{A}\cdot\mathbf{i}'=(\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}')A_{x}+(\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}')A_{y}+(\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}')A_{z}\\A_{y'}&=\mathbf{A}\cdot\mathbf{j}'=(\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}')A_{x}+(\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}')A_{y}+(\mathbf{k}\cdot\mathbf{j}')A_{z}\\A_{z'}&=\mathbf{A}\cdot\mathbf{k}'=(\mathbf{i}\cdot\mathbf{k}')A_{x}+(\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}')A_{y}+(\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}')A_{z}\end{align*}$$ 이고, 스칼라 곱 $(\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}'),\,(\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}')$등을 변환계수(coefficient of transformation)라고 한다. 이 스칼라 곱들은 $xyz$좌표계에 대한 $x'y'z'$좌표축의 방향코사인이다. 위와 같은 방법으로 $$\begin{align*}A_{x}&=\mathbf{A}\cdot\mathbf{i}=(\mathbf{i}'\cdot\mathbf{i})A_{x'}+(\mathbf{j}'\cdot\mathbf{i})A_{y'}+(\mathbf{k}'\cdot\mathbf{i})A_{z'}\\A_{y}&=\mathbf{A}\cdot\mathbf{j}=(\mathbf{i}'\cdot\mathbf{j})A_{x'}+(\mathbf{j}'\cdot\mathbf{j})A_{y'}+(\mathbf{k}'\cdot\mathbf{j})A_{z'}\\A_{z}&=\mathbf{A}\cdot\mathbf{k}=(\mathbf{i}'\cdot\mathbf{k})A_{x'}+(\mathbf{j}'\cdot\mathbf{k})A_{y'}+(\mathbf{k}'\cdot\mathbf{k})A_{z'}\end{align*}$$ 로 나타낼 수 있다. 이 변환식을 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있고, $$\begin{pmatrix}A_{x'}\\A_{y'}\\A_{z'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}'&\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}'&\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}'\\ \mathbf{i}\cdot\mathbf{j}'&\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}'&\mathbf{k}\cdot\mathbf{j}'\\ \mathbf{i}\cdot\mathbf{k}'&\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}'&\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}$$ 위 식의 $3\times3$행렬을 변환행렬(transformation matrix)이라고 한다.

$y$축 방향으로 $\theta$만큼 회전에 대한 변환행렬은 $$\begin{pmatrix}\cos\theta&0&-\sin\theta\\0&1&0\\ \sin\theta&0&\cos\theta\end{pmatrix}$$ 이고, $z$축에 대해 $\phi$만큼 회전에 대한 변환행렬은 $$\begin{pmatrix}\cos\phi&\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 이다. 먼저 $z$축에 대해 $\phi$만큼 회전을 하고나서 $y$축 방향으로 $\theta$만큼 회전을 하는 변환의 행렬은 이 두 행렬의 곱 $$\begin{pmatrix}\cos\theta&0&-\sin\theta\\0&1&0\\ \sin\theta&0&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\phi&\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\phi&\cos\theta\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\ \sin\theta\cos\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\end{pmatrix}$$ 이다. 행렬의 곱이 교환법칙이 성립하지 않음에 유의한다.

($z$축을 중심으로 $45^{\circ}$회전한 결과)

-위치벡터

좌표계의 원점부터 입자까지의 변위벡터를 위치벡터(position vector)라고 하고, 다음과 같이 나타낸다. $$\mathbf{r}=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}$$

각 좌표계에서 속도와 가속도를 다루기 전에 임의의 벡터에 대한 도함수의 성질을 다루겠다.

벡터 $\mathbf{A}(t)=A_{x}(t)\mathbf{i}+A_{y}(t)\mathbf{j}+A_{z}(t)\mathbf{k}$의 도함수는 $$\frac{d\mathbf{A}}{dt}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta t}}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\left(\frac{\Delta A_{x}}{\Delta t}\mathbf{i}+\frac{\Delta A_{y}}{\Delta t}\mathbf{j}+\frac{\Delta A_{z}}{\Delta t}\mathbf{k}\right)}=\frac{dA_{x}}{dt}\mathbf{i}+\frac{dA_{y}}{dt}\mathbf{j}+\frac{dA_{z}}{dt}\mathbf{k}$$ 로 정의된다. 임의의 벡터 $\mathbf{A},\,\mathbf{B}$에 대하여 다음 성질들이 성립한다: $$\begin{align*}\frac{d}{dt}(\mathbf{A}+\mathbf{B})&=\frac{d\mathbf{A}}{dt}+\frac{d\mathbf{B}}{dt}\\ \frac{d(f\mathbf{A})}{dt}&=\frac{df}{dt}\mathbf{A}+f\frac{d\mathbf{A}}{dt}\\ \frac{d(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})}{dt}&=\frac{d\mathbf{A}}{dt}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\frac{d\mathbf{B}}{dt}\\ \frac{d}{dt}(\mathbf{A}\times\mathbf{B})&=\frac{d\mathbf{A}}{dt}\times\mathbf{B}+\mathbf{A}\times\frac{d\mathbf{B}}{dt}\end{align*}$$

이 결과들을 가지고 각 좌표계에서의 속도와 가속도를 구할 수 있다.

-직각좌표계에서의 속도와 가속도

위 그림에서 시간 $t$일 때 위치벡터가 $\mathbf{r}(t)$인 입자의 시간간격 $\Delta t$동안의 변위벡터는 $\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}$이므로, 이 입자의 변위벡터의 도함수인 속도(velocity)는 $$\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}}=\dot{x}\mathbf{i}+\dot{y}\mathbf{j}+\dot{z}\mathbf{k}$$ 이고, 속도의 크기인 속력(speed)는 $$v=|\mathbf{v}|=\sqrt{(\dot{x})^{2}+(\dot{y})^{2}+(\dot{z})^{2}}$$ 이고, 속도의 도함수인 가속도(acceleration)(변위의 이계도함수)는 $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\ddot{x}\mathbf{i}+\ddot{y}\mathbf{j}+\ddot{z}\mathbf{k}$$ 이다.

포사체 운동의 위치벡터는 $\displaystyle\mathbf{r}(t)=v_{x_{0}}t\mathbf{i}+\mathbf{j}\left(v_{y_{0}}t-\frac{1}{2}gt^{2}\right)$이므로, 속도와 가속도는 각각 $$\begin{align*}\mathbf{v}&=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=v_{x_{0}}\mathbf{i}+(v_{y_{0}}-gt)\mathbf{j}\\ \mathbf{a}&=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=-g\mathbf{j}\end{align*}$$ 이다.

원운동의 위치벡터는 $\displaystyle\mathbf{r}(t)=r\cos\omega t\mathbf{i}+r\sin\omega t\mathbf{j}$이므로, 속도와 가속도는 각각 $$\begin{align*}\mathbf{v}&=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=-r\omega\sin\omega t\mathbf{i}+r\omega\cos\omega t\mathbf{j}\\ \mathbf{a}&=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=-r\omega^{2}\cos\omega t\mathbf{i}-r\omega^{2}\sin\omega t=-\omega^{2}\mathbf{r}\end{align*}$$ 이다.

-평면 극좌표계에서의 속도와 가속도

평면 극좌표계에서는 위치를 표현하기 위해 $r,\,\theta$를 이용하여 위치를 나타낸다. 극좌표에서의 위치벡터는 지름 $r$과 지름 방향의 기본벡터 $\mathbf{e}_{r}$의 곱 $$\mathbf{r}=r\mathbf{e}_{r}$$ 로 나타낸다. 

극좌표계에서의 속력은 $$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}$$ 이고, 여기서 $\displaystyle\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}$를 구해야 한다.

$|\Delta\mathbf{e}_{r}|\approx\Delta\theta$이고, $\Delta\mathbf{e}_{r}$은 $\mathbf{e}_{r}$과 거의 수직이다. 그러면 $\Delta\mathbf{e}_{r}\approx\mathbf{e}_{\theta}\Delta\theta$이고, $$\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}=\mathbf{e}_{\theta}\frac{d\theta}{dt}$$ 이다. 마찬가지로 $\Delta\mathbf{e}_{\theta}\approx-\mathbf{e}_{r}\Delta\theta$이고 $$\frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{dt}=-\mathbf{e}_{r}\frac{d\theta}{dt}$$ 이다. 이 결과들을 이용하면 속도와 가속도를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}\mathbf{v}&=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}\\ \mathbf{a}&=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\ddot{r}\mathbf{e}_{r}+\dot{r}\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}+(\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\mathbf{e}_{\theta}+r\dot{\theta}\frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{dt}\\&=(\ddot{r}-r\dot{\theta})\mathbf{e}_{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\mathbf{e}_{\theta}\end{align*}$$ 여기서 가속도 벡터의 원심방향성분 $a_{r}$과 가로 성분 $a_{\theta}$는 $$a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta},\,a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^{2}\dot{\theta})$$ 이다.

-원통 좌표계에서의 속도와 가속도

원통좌표계에서는 $R,\,\phi,\,z$를 이용하여 위치를 나타내고, 위치벡터를 $$\mathbf{r}=R\mathbf{e}_{R}+z\mathbf{e}_{z}$$ 로 나타낸다. 여기서 $\mathbf{e}_{R}$은 $xy$평면에서 원심 방향의 단위벡터이고, $\mathbf{e}_{z}=\mathbf{k}$이다.

평면 극좌표의 경우처럼 $\displaystyle\frac{d\mathbf{e}_{R}}{dt}=\mathbf{e}_{\phi}\dot{\phi},\,\frac{d\mathbf{e}_{\phi}}{dt}=-\mathbf{e}_{R}\dot{\phi}$이므로, 속도와 가속도는 다음과 같다. $$\begin{align*}\mathbf{v}&=\dot{R}\mathbf{e}_{R}+R\dot{\phi}\mathbf{e}_{\phi}+\dot{z}\mathbf{e}_{z}\\ \mathbf{a}&=(\ddot{R}-R\dot{\phi})\mathbf{e}_{R}+(2\dot{R}\dot{\phi}+R\ddot{\phi})\mathbf{e}_{\phi}+\ddot{z}\mathbf{e}_{z}\end{align*}$$ 참고: $$\begin{align*}\mathbf{e}_{R}&=\cos\phi\mathbf{i}+\sin\phi\mathbf{j}\\ \mathbf{e}_{\phi}&=-\sin\phi\mathbf{i}+\cos\phi\mathbf{j}\\ \mathbf{e}_{z}&=\mathbf{k}\end{align*}$$

-구면 좌표계에서의 속도와 가속도

구면 좌표계에서는 $r,\,\theta,\,\phi$를 이용하여 위치를 나타낸다. 구면좌표계에서의 위치벡터를 구의 반지름 $r$과 원심 방향의 기본벡터 $\mathbf{e}_{r}$의 곱 $$\mathbf{e}_{r}=r\mathbf{e}_{r}$$ 로 나타낸다. 이때 $\mathbf{e}_{r}$의 방향은 $\phi$와 $\theta$의 영향을 받는다. 그러면 속도는 $$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}$$ 이고, $\displaystyle\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}$를 구해야 한다.

위 그림에서 $\mathbf{e}_{r}=(\mathbf{e}_{r}\cdot\mathbf{i})\mathbf{i}+(\mathbf{e}_{r}\cdot\mathbf{j})\mathbf{j}+(\mathbf{e}_{r}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k}$이고 $$\mathbf{e}_{r}\cdot\mathbf{i}=\sin\theta\cos\phi,\,\mathbf{e}_{r}\cdot\mathbf{j}=\sin\theta\sin\phi,\,\mathbf{e}_{r}\cdot\mathbf{k}=\cos\theta$$ 이므로 $$\begin{align*}\mathbf{e}_{r}&=\sin\theta\cos\phi\mathbf{i}+\sin\theta\sin\phi\mathbf{j}+\cos\theta\mathbf{k}\\ \mathbf{e}_{\theta}&=\cos\theta\cos\phi\mathbf{i}+\cos\theta\sin\phi\mathbf{j}-\sin\theta\mathbf{k}\\ \mathbf{e}_{\phi}&=-\sin\theta\mathbf{i}+\cos\phi\mathbf{j}\end{align*}$$ 이고, $$\begin{align*}\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}&=\dot{\phi}\sin\theta\mathbf{e}_{\phi}+\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}\\ \frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{dt}&=-\dot{\theta}\mathbf{e}_{r}+\dot{\phi}\cos\theta\mathbf{e}_{\phi}\\ \frac{d\mathbf{e}_{\phi}}{dt}&=-\dot{\phi}\sin\theta\mathbf{e}_{r}-\dot{\phi}\cos\theta\mathbf{e}_{\phi}\end{align*}$$ 이므로 속도와 가속도는 다음과 같다. $$\begin{align*}\mathbf{v}&=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\phi}\sin\theta\mathbf{e}_{\phi}+r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}\\ \mathbf{a}&=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\ddot{r}\mathbf{e}_{r}+\dot{r}\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}+\frac{d}{dt}(r\dot{\phi}\sin\theta)\mathbf{e}_{\phi}+r\dot{\phi}\sin\theta\frac{d\mathbf{e}_{\phi}}{dt}+\frac{d}{dt}(r\dot{\theta})\mathbf{e}_{\theta}+r\dot{\theta}\frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{dt}\\&=(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\sin^{2}\theta-r\dot{\theta}^{2})\mathbf{e}_{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\dot{\phi}^{2}\sin\theta\cos\theta)\mathbf{e}_{\theta}+(r\ddot{\phi}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\phi}\sin\theta+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\theta)\mathbf{e}_{\phi}\end{align*}$$

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning