[고전역학] 1. 벡터(1: 벡터의 기본성질들)

[고전역학] 1. 벡터(1: 벡터의 기본성질들)

움직이는 계의 운동은 스칼라(scalar, 크기)와 벡터(vector, 크기+방향)를 이용하여 나타낼 수 있다. 벡터를 표기할 때, $\mathbf{A}$처럼 진한 서체로 나타내고, 기준벡터(basis vector, 또는 단위벡터)

$$\mathbf{e}_{x}=\mathbf{i}=(1,\,0,\,0),\,\mathbf{e}_{y}=\mathbf{j}=(0,\,1,\,0),\,\mathbf{e}_{z}=\mathbf{k}=(0,\,0,\,1)$$ (오른손 좌표계)를 이용하여 $\mathbf{A}=(A_{x},\,A_{y},\,A_{z})=A_{x}\mathbf{i}+A_{y}\mathbf{j}+A_{z}\mathbf{k}$로 나타내고(아래그림 참고),

이때 벡터 $\mathbf{A}$의 크기를 $A=\mathbf{A}=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}$로 정의한다.

벡터의 대수적 성질:

벡터 $\mathbf{A}=(A_{x},\,A_{y},\,A_{z}),\,\mathbf{B}=(B_{x},\,B_{y},\,B_{z}),\,\mathbf{C}=(C_{x},\,C_{y},\,C_{z})$에 대하여

(1) $\mathbf{A}=\mathbf{B}$는 $A_{x}=B_{x},\,A_{y}=B_{y},\,A_{z}=B_{z}$과 대등하다.(벡터의 대등)

(2) $\mathbf{A}+\mathbf{B}=(A_{x},\,A_{y},\,A_{z})+(B_{x},\,B_{y},\,B_{z})=(A_{x}+B_{x},\,A_{y}+B_{y},\,A_{z}+B_{z})$(벡터의 덧셈)

(3) 스칼라 $c$에 대하여 $c\mathbf{A}=(cA_{x},\,cA_{y},\,cA_{z})$(벡터의 스칼라 곱)

(4) $\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-1)\mathbf{B}=(A_{x}-B_{x},\,A_{y}-B_{y},\,A_{z}-B_{z})$(벡터의 뺄셈)

(왼쪽 그림은 벡터의 대등, 가운데 그림은 벡터의 덧셈, 오른쪽 그림은 벡터의 스칼라배($-1$배)를 나타낸다.)

(5) 영벡터 $\mathbf{O}$는 모든 성분이 $0$인 벡터이다. 즉 $\mathbf{O}=(0,\,0,\,0)$.

(6) $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$(교환법칙)

(7) $\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})=(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}$(결합법칙)

(8) 스칼라 $c$에 대하여 $c(\mathbf{A}+\mathbf{B})=c\mathbf{A}+c\mathbf{B}$(분배법칙)

스칼라 곱 

두 벡터 $\mathbf{A}=(A_{x},\,A_{y},\,A_{z}),\,\mathbf{B}=(B_{x},\,B_{y},\,B_{z})$의 스칼라 곱(scalar product)을 $$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$$ 로 정의한다(벡터의 내적). 스칼라 끼리의 곱은 교환법칙이 성립하므로 스칼라 곱에 대해서 교환법칙이 성립한다. 또한 분배법칙도 성립한다. 즉 $\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}$가 성립한다.

위 그림에서 $\mathbf{A}=(A_{x},\,0,\,0),\,\mathbf{B}=(B\cos\theta,\,B\sin\theta,\,0)$이므로 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_{x}B\cos\theta=AB\cos\theta$($A_{x}=A$)이고, 일반적으로 두 벡터 $\mathbf{A},\,\mathbf{B}$가 이루는 각도가 $\theta$일 경우, 이 두 벡터의 스칼라곱은 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta=AB\cos\theta$이고, 이때 $$\cos\theta=\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{|\mathbf{A}||\mathbf{B}|}=\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{AB}$$ 이고, $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=0$이면, 이 두 벡터는 수직이다. 또한 동일한 벡터 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{A}$가 이루는 각도는 $0$이므로 $A^{2}=|\mathbf{A}|^{2}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}$이다.

앞에서 기준벡터를 이용하여 벡터를 $\mathbf{A}=A_{x}\mathbf{i}+A_{y}\mathbf{j}+A_{z}\mathbf{k}$로 나타낸다고 했었다. $$\mathbf{A}=A\left(\frac{A_{x}}{A}\mathbf{i}+\frac{A_{y}}{A}\mathbf{j}+\frac{A_{z}}{A}\mathbf{k}\right)$$ 이고 이때

$\displaystyle\cos\alpha=\frac{A_{x}}{A},\,\cos\beta=\frac{A_{y}}{A},\,\cos\gamma=\frac{A_{z}}{A}$를 좌표축에 대한 벡터 $\mathbf{A}$의 방향코사인(direction cosine)이라 하고, $\alpha,\,\beta,\,\gamma$를 방향각도(direction angle)라고 한다.

물체에 일정한 힘 $\mathbf{F}$이 작용하여 변위 $\Delta\mathbf{s}$만큼 움직였을 때, 힘이 한 일 $\Delta W$는 힘과 변위의 스칼라곱, 즉 $\Delta W=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{s}(=(F\cos\theta)\Delta s)$이다.

위의 그림처럼 세 벡터 $\mathbf{A},\,\mathbf{B},\,\mathbf{C}$를 변으로 하는 삼각형에서 $\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$이므로 $$\begin{align*}C^{2}&=\mathbf{C}\cdot\mathbf{C}=(\mathbf{A}+\mathbf{B})\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})\\&=\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}+2\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{B}\\&=A^{2}+B{2}+2AB\cos\theta\end{align*}$$ 이고, 이때 $\displaystyle\cos\theta=\frac{C^{2}-A^{2}-B^{2}}{2AB}$(코사인 법칙)이다.

벡터곱

두 벡터 $\mathbf{A}=(A_{x},\,A_{y},\,A_{z}),\,\mathbf{B}=(B_{x},\,B_{y},\,B_{z})$의 벡터곱(vector product)을 $$\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{pmatrix}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y},\,A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z},\,A_{x}B_{y}-A_{y}B_{z})$$ 로 정의한다. 스칼라곱의 연산결과가 스칼라인 것과는 달리 벡터곱의 연산결과는 벡터이다. 벡터곱에 대해 다음의 성질이 성립한다:

두 벡터 $\mathbf{A},\,\mathbf{B}$에 대하여

(1) $\mathbf{A}\times\mathbf{B}=-\mathbf{B}\times\mathbf{A}$

(2) $\mathbf{A}\times(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\times\mathbf{B}+\mathbf{A}\times\mathbf{C}$

(3) 스칼라 $c$에 대하여 $n(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(n\mathbf{A})\times\mathbf{B}=\mathbf{A}\times(n\mathbf{B})$

(4) $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}=-\mathbf{j}\times\mathbf{i}$, $\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}=-\mathbf{k}\times\mathbf{j}$, $\mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}=-\mathbf{i}\times\mathbf{k}$

(1)에 의해 벡터곱에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.

두 벡터 $\mathbf{A},\,\mathbf{B}$의 벡터곱 $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$의 크기를 구하면 $$\begin{align*}|\mathbf{A}\times\mathbf{B}|^{2}&=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})^{2}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})^{2}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{z})^{2}\\&=(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2})(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2})-(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z})^{2}\\&=A^{2}B^{2}-(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})^{2}\\&=A^{2}B^{2}(1-\cos^{2}\theta)\\&=A^{2}B^{2}\sin^{2}\theta=(AB\sin\theta)^{2}\end{align*}$$ 이므로 $|\mathbf{A}\times\mathbf{B}|=AB\sin\theta$이고, 여기서 $\theta$는 벡터 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$사이의 각도이다.

벡터곱의 결과는 벡터이고, 이때 벡터곱 $\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}$는 두 벡터 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$에 수직이다. 그 이유는 $$\begin{align*}\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}&=A_{x}(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})+A_{y}(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})+A_{z}(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\\&=0\end{align*}$$ 이기 때문이다. 위의 그림에서 오른손 법칙을 이용해 벡터 $\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}$의 방향을 결정할 수 있다.(참고: $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}$)

변위가 $\mathbf{r}$이고, 작용하는 힘이 $\mathbf{F}$인 점 $O$에서의 토크는 $\mathbf{N}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$이다.

벡터 $\mathbf{A}=(A_{x},\,A_{y},\,A_{z}),\,\mathbf{B}=(B_{x},\,B_{y},\,B_{z}),\,\mathbf{C}=(C_{x},\,C_{y},\,C_{z})$에 대하여

삼중 스칼라 곱(triple scalar product)을 $$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\det\begin{pmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\\C_{x}&C_{y}&C_{z}\end{pmatrix}$$ 로, 삼중 벡터 곱(triple vector product)을 $$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$$ 로 정의한다. $\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$이므로, 이 결과를 'BACK minus CAB' 규칙이라고도 한다.

(삼중 벡터 곱은 회전좌표계 또는 강체의 회전에서 많이 이용된다) $$\begin{align*}(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}&=-\mathbf{C}\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=-\mathbf{A}(\mathbf{C}\cdot\mathbf{B})+\mathbf{B}(\mathbf{C}\cdot\mathbf{A})\\ \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})&=\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\end{align*}$$ 이므로 벡터곱은 결합법칙이 성립하지 않는다.

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning