[고전역학] 4. 뉴턴역학(2: 운동에너지, 위치에너지, 속도에 비례하는 힘, 뉴턴 역학의 한계)

[고전역학] 4. 뉴턴역학(2: 운동에너지, 위치에너지, 속도에 비례하는 힘, 뉴턴 역학의 한계)

입자가 힘 $\mathbf{F}$를 받아 $x_{1}$ 위치에서 $x_{2}$ 위치로 이동할 때, 입자가 받는 일(work)은

$$W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}$$ 로 정의된다.

힘 $\mathbf{F}$가 직선운동을 하는 입자에 작용하는 알짜힘이면 $\displaystyle\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}$이므로

$$\begin{align*}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}&=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}dt=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}dt\\&=\frac{m}{2}\frac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})dt=\frac{m}{2}\frac{d}{dt}(v^{2})\\&=d\left(\frac{1}{2}mv^{2}\right)\end{align*}$$ 이므로 알짜힘 $\mathbf{F}$에 의해 입자가 받는 일은 $$W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=T_{2}-T_{1}$$ 이고, $\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^{2}$을 입자의 운동에너지(kinetic energy)라고 한다. 다음 식을 만족하는 함수 $V$를 위치에너지(potential energy)라고 한다. $$\mathbf{F}=-\nabla V$$ (1차원의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다) $$\mathbf{F}(x)=-\frac{dV(x)}{dx}$$ 위치에너지 $V$에 대해 다음 식이 성립한다. $$\begin{align*}W&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{F(x)dx}=-\int_{x_{1}}^{x_{2}}{dV}\\&=V(x_{1})-V(x_{2})=V_{1}-V_{2}\\&=T_{2}-T_{1}\end{align*}$$ 그러면 위 식으로부터 $$T_{1}+V_{1}=T_{2}+V_{2}=E$$ 이고, 여기서 $E$는 입자의 역학적 에너지(mechanical energy)이고, 위 식을 에너지 방정식(energy equation)이다. 역학적 에너지 $E$는 운동에너지와 위치에너지의 합으로 운동 여부에 관계없이 항상 상수이다. 작용력을 위치만의 함수인 위치에너지 함수로부터 유도할 수 있는 힘을 보존력(conservative force)이라 하고, 비보존력은 위치에너지 함수가 존재하지 않으며 역학적 에너지가 소실된다.

에너지 방정식을 속도 $v$에 대한 식으로 나타내면

$$v=\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\{E-V(x)\}}$$ 이고, $t=t_{0}$일 때 $x=x_{0}$라고 하면 $$\int_{x_{0}}^{x}{\frac{1}{\displaystyle\pm\sqrt{\frac{2}{m}\{E-V(x)\}}}dx}=t-t_{0}$$ 이므로 $x$를 $t$의 함수로 구할 수 있다.

식 $\displaystyle v=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\{E-V(x)\}}$에서 $V(x)\leq E$인 $x$에 대해서만 $v$는 실수이고, $V(x)=E$일 때, $v=0$(입자가 정지)이고 운동방향이 바뀐다. 운동방향이 바뀌는 이러한 점들을 전향점(turning point)이라고 한다.(아래 그림 참고)

(위 그림에서 허용영역(allowed region)은 $V(x)\leq E$인 영역이다)

자유낙하(free fall)

*공기저항은 고려하지 않는다. 

자유낙하하는 질량이 $m$인 물체에 대해 수직 윗방향을 +라고 하면, 수직 아랫방향(지면방향)은 -이므로 물체에 작용하는 중력은 $-mg$이다. 그러므로

$$-\frac{dV}{dx}=-mg$$ 이고 지면에서 위치에너지를 0이라고 하면, $V=mgx$이고 에너지 방정식은 $$\frac{1}{2}mv^{2}+mgx=E$$ 이다. 이때 역학적 에너지 $E$는 초기 조건에서 결정된다. 원점 $x=0$에서 초기속도 $v_{0}$로 쏘아올렸다면 $\displaystyle E=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}+mgx$이고 식 $$v^{2}=v_{0}^{2}-2gx$$ 가 성립한다. 운동의 전향점은 최대 높이이고, 최대 높이에서 $v=0$이므로 최대높이를 $h$라고 하면 $0=v_{0}^{2}-2gh$이므로 $$h=\frac{v_{0}^{2}}{2g}$$ 이다.

고도에 따른 중력의 변화

자유낙하에서는 중력가속도를 상수라고 했으나 실제로 두 입자 사이의 중력은 두 입자 사이의 거리의 제곱에 반비례한다(뉴턴의 중력 법칙). 질량이 $m$인 물체에 지구가 작용하는 중력은

$$F=-\frac{GMm}{r^{2}}$$ 이고 여기서 $G$는 만유인력 상수, $M$은 지구의 질량, $r$은 지구 중심으로부터 물체까지의 거리이다. 물체가 지구 표면에 있으면 그 물체에 작용하는 힘은 $-mg$이므로 $\displaystyle mg=\frac{GMm}{r_{e}^{2}}$($r_{e}$는 지구 반지름)이고 따라서 $\displaystyle g=\frac{GM}{r_{e}}$는 지구 표면에서의 중력가속도이다. 지표면에서 거리 $x$만큼 떨어진 점에 대해 공기 저항 등의 외력을 무시하면 수직으로 낙하 또는 상승하는 물체의 운동은 $$F=-mg\frac{r_{e}^{2}}{(r_{e}+x)^{2}}=m\ddot{x}$$ 이고 $\displaystyle\ddot{x}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$이므로 $$\begin{align*}\int_{x_{0}}^{x}{Fdx}&=-mgr_{e}^{2}\int_{x_{0}}^{x}{\frac{1}{(r_{e}+r)^{2}}dr}=\int_{v_{0}}^{v}{m\nu d\nu}\\&=mgr_{e}^{2}\left(\frac{1}{r_{e}+x}-\frac{1}{r_{e}+x_{0}}\right)=\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}\end{align*}$$ 이다. 여기서 위치에너지는 $\displaystyle V(x)=-\frac{mgr_{e}^{2}}{r_{e}+x}$이다.

지구표면 $x_{0}=0$에서 초기속도 $v_{0}$로 수직 상방으로 쏘아올린 물체의 운동방정식은

$$v^{2}=v_{0}^{2}-2gx\left(1+\frac{x}{r_{e}}\right)^{-1}$$ 이고 최대 높이는 $v=0$일 때의 높이이므로 $$h=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\left(1-\frac{v_{0}^{2}}{2gr_{e}}\right)$$ 이다. 이때 $\displaystyle\frac{x}{r_{e}}$가 작아서 무시할 수 있다면, 이 결과들은 자유낙하의 경우와 똑같게 된다.

$h=\infty$가 되게 하는 $v_{0}$를 탈출속도(escape velocity) $v_{e}$라고 하고

$$v_{e}=\sqrt{2gr_{e}}=\sqrt{\frac{2GM}{r_{e}}}\,\left(g=\frac{GM}{r_{e}^{2}}\right)$$ 이다.

대기 중에서 공기 분자($\text{O}_{2},\,\text{N}_{2}$)의 평균속도는 약 $500\text{m/s}$이고 이 값들은 탈출속도보다 상당히 작아서 지구 대기권에 존재한다. 하지만 달의 질량은 지구보다 매우 작기 때문에 탈출속도는 공기분자에 비해서 작고 따라서 달에는 공기가 없다.

물체에 작용하는 힘이 해당 물체의 속도인 경우가 있다. 대표적인 예로는 유체 내부에서 점성에 의한 저항을 받는 물체가 있다. 

선형 저항을 받는 물체의 수평운동

질량이 $m$인 물체가 수평면에서 초기속도 $v_{0}$로 밀쳐졌고, 공기저항력은 $cv$($c$는 비례상수)라고 하자. 그러면

$$-cv=ma=m\frac{dv}{dt}$$ 이므로 $$t=-\int_{v_{0}}^{v}{\frac{m}{c\nu}d\nu}=-\frac{m}{c}\ln\frac{v}{v_{0}}$$ 이고 $$v=v_{0}e^{-\frac{c}{m}t}$$ 물체의 위치는 $$x=\int_{0}^{t}{v_{0}e^{-\frac{c}{m}\tau}d\tau}=\frac{mv_{0}}{c}(1-e^{-\frac{c}{m}t})$$ 이다.

만약 공기저항력이 $cv^{2}$이면,

$$-cv^{2}=ma=m\frac{dv}{dt}$$ 이므로 $$t=-\int_{v_{0}}^{v}{\frac{m}{c\nu^{2}}d\nu}=\frac{m}{c}\left(\frac{1}{v}-\frac{1}{v_{0}}\right)$$ 이고 $$v=\frac{v_{0}}{1+kt}\,\left(k=\frac{cv_{0}}{m}\right)$$ 이므로 물체의 위치는 $$x=\int_{0}^{t}{\frac{v_{0}}{1+k\tau}d\tau}=\frac{v_{0}}{k}\ln(1+kt)$$ 이다.

유체속의 수직낙하

저항이 있는 유체 내부에서 물체가 수직으로 떨어질 때, 초기속도가 $v_{0}$이다.(아래 그림 참고)

이 물체의 운동방정식은

$$-mg-cv=m\frac{dv}{dt}$$ 이므로 $$t=-\int_{v_{0}}^{v}{\frac{m}{mg+c\nu}d\nu}=-\frac{m}{c}\ln\frac{mg+cv}{mg+cv_{0}}$$ 이고 $$v=-\frac{mg}{c}+\left(\frac{mg}{c}+v_{0}\right)e^{-\frac{c}{m}t}$$ 이다. $$v_{t}=\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{v}=-\frac{mg}{c}$$ 를 물체의 종단속도(terminal velocity)라고 하고 $\displaystyle\tau=\frac{m}{c}$를 특성시간(characteristic time)이라고 한다. 이 결과를 종단속도를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$v=-v_{t}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})+v_{0}e^{-\frac{t}{\tau}}$$

위에서 저항력이 $cv^{2}$이면, 물체의 운동방정식은

$$m\frac{dv}{dt}=mg-cv^{2}=mg\left(1-\frac{v^{2}}{v_{t}^{2}}\right)$$ 이므로 $$\frac{dv}{dt}=g\left(1-\frac{v^{2}}{v_{t}^{2}}\right)$$ 이고 여기서 $v_{t}$는 종단속도로 $\displaystyle v_{t}=\sqrt{\frac{mg}{c}}$이다. 그러면 $$t-t_{0}=\int_{v_{0}}^{v}{\frac{1}{g\left(1-\frac{v^{2}}{v_{t}^{2}}\right)}dv}=\frac{v_{t}}{g}\left(\tanh^{-1}\frac{v}{v_{t}}-\tanh^{-1}\frac{v_{0}}{v_{t}}\right)$$ 이고 여기서 $\displaystyle\tau=\frac{v_{t}}{g}=\sqrt{\frac{m}{cg}}$는 특성시간이고 $$v=v_{t}\tanh\left(\frac{t-t_{0}}{\tau}-\tanh^{-1}\frac{v_{o}}{v_{t}}\right)$$ 이다. 만약 초기에 물체가 정지해 있다면 $$v=v_{t}\tanh\frac{t}{\tau}=v_{t}\frac{e^{\frac{2t}{\tau}}-1}{e^{\frac{2t}{\tau}}+1}$$ 이다.

(공기저항을 받으며 자유 낙하하는 물체의 시간-속력 그래프)

 

발사체가 포를 떠나는 순간의 속도를 $v_{0}$, 발사 될 때의 앙각이 $\theta$라고 하자. 공기저항에 의한 힘이 발사체의 속도에 비례한다고 하면 운동방정식은

$$\begin{align*}m\ddot{x}&=-cm\dot{x}\\m\ddot{y}&=-cm\dot{y}-mg\end{align*}$$ 이고, 이 물체의 위치는다음과 같다. $$\begin{cases}\displaystyle x=\frac{v_{0}\cos\theta}{c}(1-e^{ct})&\\ \displaystyle y=-\frac{g}{c}t+\frac{cv_{0}\sin\theta+g}{c^{2}}(1-e^{ct})&\end{cases}$$

뉴턴 역학의 한계

위치, 시간, 운동량, 에너지는 모두 관측 가능한 양이고, 이를 활용하여 어느 순간에 행성이 태양 주위의 궤도 위 어디에 있는지 측정할 수 있고, 행성의 속도 또한 측정할 수 있다.

그러나 미시적인 대상을 정확히 측정하는데는 한계가 있다. 전자에 의한 광자의 산란을 이용하여 전자의 위치를 측정하려고 하면 광자의 파동성 때문에 정확한 측정이 불가능하고, 전자의 위치는 파장과 관련된 어떤 불확정량 $\Delta x$의 범위에서 결정된다. 광자를 산란시키면 전자는 운동량을 받기 때문에 측정을 하면 전자의 상태가 변화하게 된다. 이 변화량은 $\Delta p$만큼의 불확정성을 가지므로 $\Delta x\Delta p$는 전자의 위치와 운동량이 동시에 어느 정도의 정확도로 정해지는가 하는 척도를 나타낸다. 이때 $\Delta x$와 $\Delta p$는 동시에 $0$이 될 수 없다. 이것을 하이젠베르크의 불확정성 원리(Heisenberg's uncertainty principle)라고 한다.

이러한 뉴턴역학의 어려움을 극복하기 위해 양자역학, 상대성 이론, 통계역학 등의 물리학 분야가 발전하게 되었다.

 

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning