[고전역학] 7. 3차원에서의 입자의 운동

[고전역학] 7. 3차원에서의 입자의 운동

3차원 공간에서 운동하는 물체의 운동방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}$$여기서 \(\mathbf{p}=m\mathbf{v}\)는 입자의 (선)운동량이고,$$\begin{align*}\mathbf{F}&=F_{x}\mathbf{i}+F_{y}\mathbf{j}+F_{z}\mathbf{k}\\&=m\ddot{x}\mathbf{i}+m\ddot{y}\mathbf{j}+m\ddot{z}\mathbf{k}\end{align*}$$로도 나타낼 수 있다.

힘 \(\mathbf{F}\)가 가해지는 물체의 일률은$$\mathbf{F}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\cdot\mathbf{v}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right)=\frac{dT}{dt}$$이고 \(\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^{2}\)는 운동에너지이므로$$\int_{A}^{B}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{A}^{B}{dT}=T(B)-T(A)=\Delta T$$이고, 이때 적분은 선적분(line integral)이다.(아래그림 참고)

이것은 물체에 어떤 힘이 작용하여 한 점에서 다른 한 점으로 움직이면서 힘이 한 일은 이 두 점에서의 운동에너지의 차이와 같다.

폐곡선은 시점과 종점이 같은 곡선이므로 보존력 \(\mathbf{F}\)에 대하여 폐곡선 \(C\)에서 한 일은 \(0\), 즉$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=0$$이어야 한다. 스토크스 정리(stokes' theorem)에 따르면 폐곡선 \(C\)에서의 선적분에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}&=\iint_{S}{\text{curl}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}da}\\ \text{curl}\mathbf{F}&=\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right)\mathbf{k}\end{align*}$$여기서 곡면 \(S\)는 폐곡선 \(C\)로 둘러싸인 곡면이고, \(\mathbf{n}\)은 면적요소 \(da\)에 수직인 단위법선벡터이고, 그 방향은 오른손 나사를 폐곡선의 진행방향으로 감았을 때, 나사가 진행하는 방향(엄지손가락의 방향)이며, \(\text{curl}\mathbf{F}\)는 벡터 \(\mathbf{F}\)의 회전(rotation)이다.(아래그림 참고)

따라서 힘벡터의 회전 \(\text{curl}\mathbf{F}\)가 영벡터이면, 폐곡선에 대한 \(\mathbf{F}\)의 선적분은 \(0\)이고, 따라서 \(\mathbf{F}\)는 보존력이다.

힘의 회전이 영벡터인 힘을 받는 물체의 위치에너지를 \(V(x,\,y,\,z)\)라고 하면,$$\begin{align*}\mathbf{F}&=-\nabla V=-\frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{i}-\frac{\mathbf{V}}{\partial y}\mathbf{j}-\frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{k}\\ \nabla&=\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\end{align*}$$로 나타낼 수 있고,$$F_{x}=-\frac{\partial V}{\partial x},\,F_{y}=-\frac{\partial V}{\partial y},\,F_{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}$$이다. 이때$$\frac{\partial F_{x}}{\partial y}=-\frac{\partial^{2}V}{\partial y\partial x}=\frac{\partial F_{y}}{\partial x},\,\frac{\partial F_{x}}{\partial z}=-\frac{\partial^{2}V}{\partial z\partial x}=\frac{\partial F_{z}}{\partial x},\,\frac{\partial F_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial^{2}V}{\partial z\partial y}=\frac{\partial F_{z}}{\partial y}$$이므로 힘의 회전이 \(0\)이 되고, 따라서 \(\text{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0}\)은 위치에너지 \(V\)가 존재할 필요충분조건이다.(참고: \(\nabla\times(\nabla V)=\mathbf{0}\))

위의 그림은 등 에너지 곡선에서의 힘의 작용을 나타낸 것이다. 식 \(\mathbf{F}=-\nabla V\)에서 -부호는 위치에너지가 감소하는 방향으로 입자가 가속함을 나타낸다.

입자를 점 \(A\)에서 점 \(B\)로 움직일 때, 보존력이 한 일은 다음과 같다.$$\begin{align*}\int_{A}^{B}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}&=-\int_{A}^{B}{\nabla V\cdot d\mathbf{r}}=-\int_{A}^{B}{\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz}\\&=-\int_{A}^{B}{dV}=-\Delta V\\&=V(A)-V(B)\,\left(dV=\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz\right)\end{align*}$$또한$$\int_{A}^{B}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\Delta T=T(B)-T(A)(=-\Delta V)$$이므로 \(\Delta T+\Delta V=0\)이고 따라서 에너지 보존법칙$$E=T(A)+V(A)=T(B)+V(B)$$를 얻는다.

비보존력 \(\mathbf{f}\)에 대해서 \(-\nabla V\)의 형태로 나타낼 수 없다. 즉, 위치에너지가 존재하지 않는다. 따라서 보존력 \(\mathbf{F}\)와 비보존력 \(\mathbf{f}\)가 동시에 작용하면, \((\mathbf{F}+\mathbf{f})\cdot d\mathbf{r}=-dV+\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=dT\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{A}^{B}{\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}}=\Delta T+\Delta V=\Delta E$$이것은 총 에너지 \(E\)가 일정하지 않고, 비보존력 \(\mathbf{f}\)의 성질에 따라 증가하거나 감소할 수 있음을 나타낸다. 

힘 \(\mathbf{F}=xy\mathbf{i}+xz\mathbf{j}+yz\mathbf{k}\)는$$\text{curl}\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\xy&xz&yz\end{matrix}\right|=(z-x)\mathbf{i}+0\mathbf{j}+(z-x)\mathbf{k}$$이므로 보존력이 아니다. 그러나 역제곱 법칙을 따르는 힘 \(\displaystyle\mathbf{F}=-\frac{k}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}\)은$$\text{curl}\mathbf{F}=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{e}_{r}&r\mathbf{e}_{\theta}&r\sin\theta\mathbf{e}_{\phi}\\ \frac{\partial}{\partial r}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial\phi}\\F_{r}&rF_{\theta}&r\sin\theta F_{\phi}\end{matrix}\right|=\frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\left(-\frac{k}{r^{2}}\right)-\frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\frac{k}{r^{2}}\right)=0$$이므로 보존력이다.

포사체 운동

수직 방향을 \(z\)축이라고 하자. 원점에서 물체를 발사하고 공기저항이 없다고 하면$$m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=-mg\mathbf{k}\,(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+z\mathbf{k})$$이므로(아래 그림 참고)

$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=-gt\mathbf{k}+\mathbf{v}_{0}$$이고, 여기서 \(\mathbf{v}_{0}=v_{0}\cos\alpha\mathbf{i}+v_{0}\sin\alpha\mathbf{k}\)는 초기속도이다. \(\mathbf{v}\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\mathbf{v}=v_{0}\cos\alpha\mathbf{i}+(v_{0}\sin\alpha-gt)\mathbf{k}$$초기 위치는 원점이므로$$\mathbf{r}=(v_{0}\cos\alpha)t\mathbf{i}+\left((v_{0}\sin\alpha)t-\frac{1}{2}gt^{2}\right)\mathbf{k}$$이고, 이 식을 \(z(x)\)형태로 나타내자. \(\displaystyle t=\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}\)이므로$$z=(\tan\alpha)x-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}x^{2}$$이고, 포물선의 방정식이다.

이 운동에서 포사체의 최대 높이를 \(z_{\max}\), 최대 높이에 도달하는 시간을 \(t_{\max}\), 포사체의 비행시간을 \(T\), 포사체의 최대 비행거리를 \(R_{\max}\)이라고 하면 \(v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha=v_{0}^{2}-2gz_{\max}\)이므로$$z_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$$이고, \(v_{0}\sin\alpha-gt_{\max}=0\)이므로$$t_{\max}=\frac{v_{0}\sin\alpha}{g}$$이고, 포사체의 총 비행시간에 대해서는$$T=2t_{\max}=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$$최대 비행거리는$$R_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin2\alpha}{g}$$이다.

공기저항을 고려한 포사체 운동: 공기저항이 속도 \(\mathbf{v}\)에 비례한다고 하고(이때 편의상 비례상수를 \(\displaystyle m\gamma\,\left(\gamma=\frac{c}{m}\right)\)로 정한다) 원점에서 물체를 발사했다고 하자. 그러면 운동방정식은$$m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=-m\gamma\mathbf{v}-mg\mathbf{k}\,(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+z\mathbf{k})$$이고$$\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=-\gamma\mathbf{v}-g\mathbf{k}$$이다.$$\begin{align*}\ddot{x}&=-\gamma\dot{x}\\ \ddot{z}&=-\gamma\dot{z}-g\end{align*}$$이므로$$\begin{align*}\dot{x}&=\dot{x}_{0}e^{-\gamma t}\\ \dot{z}&=\dot{z}e^{-\gamma t}-\frac{g}{\gamma}(1-e^{-\gamma t})\end{align*}$$이고,$$\begin{align*}x&=\frac{\dot{x}_{0}}{\gamma}(1-e^{\gamma t})\\z&=\left(\frac{\dot{z}_{0}}{\gamma}+\frac{g}{\gamma^{2}}\right)(1-e^{-\gamma t})-\frac{g}{\gamma}t\end{align*}$$이므로 벡터를 이용하여 나타내면$$\mathbf{r}=\left(\frac{\mathbf{v}_{0}}{\gamma}+\frac{g}{\gamma^{2}}\mathbf{k}\right)(1-e^{-\gamma t})-\frac{gt}{\gamma}\mathbf{k}$$이다.

(점선: 공기저항이 없을 때, 실선: 공기저항이 있을 때)

공기저항을 고려했을 때, 수평거리와 최대높이 등을 구하는 방법은 높은 수준의 수학을 요구하기 때문에 생략하겠다.

공간에서 복원력을 받는 입자의 운동방정식은 \(\mathbf{F}=-k\mathbf{r}\)이므로$$m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=-k\mathbf{r}$$이고, 이 상황은 여러 개의 용수철에 매달린 입자를 떠올리면 된다.(아래 그림 참고)

2차원 평면 운동의 경우, 운동방정식은$$\begin{align*}m\ddot{x}&=-kx\\m\ddot{y}&=-ky\end{align*}$$이고,$$x=A\cos(\omega t+\alpha),\,y=B\sin(\omega t+\beta)\,\left(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\right)$$이다(\(A,\,B,\,\alpha,\,\beta\)는 초기 조건을 이용하여 결정한다).

궤도방정식을 구하려면 매개변수 \(t\)를 소거해야 한다. 그러기 위해서$$y=B\cos(\omega t+\alpha+\Delta)\,(\Delta=\beta-\alpha)$$라고 하자. 그러면$$y=B\left\{\cos(\omega t+\alpha)\cos\Delta-\sin(\omega t+\alpha)\sin\Delta\right\}$$이고,$$\frac{y}{B}=\frac{x}{A}\cos\Delta-\sqrt{1-\frac{x^{2}}{A^{2}}}\sin\Delta$$이므로$$\frac{x^{2}}{A^{2}}-xy\frac{2\cos\Delta}{AB}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=\sin^{2}\Delta$$이다. 특히 \(\displaystyle\Delta=\frac{\pi}{2}\)이면$$\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1$$이고, \(\Delta=0\) 또는 \(\Delta=\pi\)이면,$$y=\pm\frac{B}{A}x$$이다. 일반적으로 타원 궤도의 축은 \(x\)축과 이루는 각이 \(\psi\)이고, 다음의 식을 만족한다.$$\tan2\psi=\frac{2AB\cos\Delta}{A^{2}-B^{2}}$$

3차원 공간상의 경우,$$\begin{align*}m\ddot{x}&=-kx\\m\ddot{y}&=-ky\\m\ddot{z}&=-kz\end{align*}$$이고$$\begin{align*}x&=A_{x}\sin\omega t+B_{x}\cos\omega t\\y&=A_{y}\sin\omega t+B_{y}\cos\omega t\\z&=A_{z}\sin\omega t+B_{z}\cos\omega t\end{align*}$$이므로 다음과 같이 벡터로 나타낼 수 있다.$$\mathbf{r}=\mathbf{A}\sin\omega t+\mathbf{B}\cos\omega t$$(\(\mathbf{A}=A_{x}\mathbf{i}+A_{y}\mathbf{j}+A_{z}\mathbf{k},\,\mathbf{B}=B_{x}\mathbf{i}+B_{y}\mathbf{j}+B_{z}\mathbf{k}\))

3차원에서의 조화 진동자의 위치에너지는$$V(x,\,y,\,z)=\frac{1}{2}k_{x}x^{2}+\frac{1}{2}k_{y}y^{2}+\frac{1}{2}k_{z}z^{2}$$이고, \(\mathbf{F}=-k\mathbf{r}\)이므로$$F_{x}=-k_{x}x,\,F_{y}=-k_{y}y,\,F_{z}=-k_{z}z$$이다. 만약 \(k_{x}=k_{y}=k_{z}(=k)\)이면,$$V(x,\,y,\,z)=\frac{1}{2}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{1}{2}kr^{2}$$이고$$E=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kr^{2}$$이다.

속박운동

속박운동(constrained motion)은 물체가 다른 물체로부터 힘 등의 조건에 의해 제한을 받는 상태에서 하는 운동이다. 그 중 기하학적으로 결정된 곡선 또는 곡면에서의 운동은 속박운동의 한 예다.

곡면에서 속박운동을 하는 물체에 작용하는 전체 힘은 외부 알짜 작용력 \(\mathbf{F}\)와 속박력(구면의 반작용) \(\mathbf{R}\)뿐이므로 운동방정식은$$m\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{F}+\mathbf{R}$$이고, 속박력의 방향은 곡면과 수직이고, 물체의 속도의 방향은 접선방향이므로 \(\mathbb{R}\)과 \(\mathbb{v}\)는 수직이고 따라서 \(\mathbf{R}\cdot\mathbf{v}=0\)이고$$\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=(\mathbf{F}+\mathbf{R})\cdot\mathbf{v}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right)$$이다. \(\mathbf{F}\)가 보존력이면, 에너지방정식은$$E=\frac{1}{2}mv^{2}+V(x,\,y,\,z)$$로 일정하다.

반지름이 \(a\)인 구 위에 물체가 있다.(아래 그림 참고)

이 물체가 받는 힘은 중력과 구면의 반작용 뿐이므로 운동방정식은$$m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=m\mathbf{g}+\mathbf{R}$$이고, 에너지방정식은$$E=\frac{1}{2}mv^{2}+mgz$$이다. 초기조건(\(z=a\)에서 \(v=0\))에 의해 \(E=mga\)이므로$$v^{2}=2g(a-z)$$이고,$$-m\frac{v^{2}}{a}=-mg\cos\theta+R=-mg\frac{z}{a}+R$$이므로$$R=\frac{mg}{a}(3z-2a)$$이고 이것은 \(\displaystyle z=\frac{2}{3}a\)일 때, \(\mathbf{R}=\mathbf{0}\)이고, 이때 입자는 구를 벗어난다.

참고자료:

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1114338&cid=40942&categoryId=32227

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and System 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning