[고전역학] 8. 비관성 기준계(1)

[고전역학] 8. 비관성 기준계(1)

물체의 운동을 설명할 때 비관성 좌표계를 사용해야 할 때가 있다. 지구는 회전하지만 고정되어있다고 하면, 포사체의 운동을 쉽게 설명할 수 있다.

아래의 그림에서

\(Oxyz\)는 고정좌표로 주(primary) 좌표계이고, \(O'x'y'z'\)는 이동(moving) 좌표계이다. 순수 병진운동이면, 축들은 서로 평행을 유지하고, 점 \(\mathbf{P}\)의 위치벡터를 고정좌표계에서 \(\mathbf{r}\), 이동좌표계에서 \(\mathbf{r}'\), 움직이는 좌표 원점의 변위를 \(\mathbf{R}_{0}=\overrightarrow{OO'}\)라고 하면$$\begin{align*}\mathbf{r}&=\mathbf{R}_{0}+\mathbf{r}'\\ \mathbf{v}&=\mathbf{V}_{0}+\mathbf{v}'\\ \mathbf{a}&=\mathbf{A}_{0}+\mathbf{a}'\end{align*}$$이고, 이동좌표계가 가속하지 않으면 \(\mathbf{A}_{0}=\mathbf{0}\)이므로 \(\mathbf{a}=\mathbf{a}'\)이다.

이동좌표계가 가속하면, 뉴턴의 제 2법칙은 가속계에서$$\mathbf{F}=m\mathbf{A}_{0}+m\mathbf{a}'$$또는$$\mathbf{F}-m\mathbf{A}_{0}=m\mathbf{a}'$$이므로 \(\mathbf{F}'=\mathbf{F}+(-m\mathbf{A}_{0})\)라고 하면$$\mathbf{F}'=m\mathbf{a}'$$이고, 여기서 \(-m\mathbf{A}_{0}\)는 관성력(inertial force) 또는 가상력(fictitious force)이라고 한다. 이러한 힘은 물체 간의 상호작용이 아닌 기준계 자체의 가속에 의한 것이다.

마찰이 존재하는 수평면에 물체가 있다. 수평면을 수평방향으로 가속시킬 때, 관성력 \(-m\mathbf{A}_{0}\)의 크기가 정지마찰력 \(\mu_{s}m\mathbf{g}\)(\(\mu_{s}\)는 정지마찰계수, 수직항력은 중력과 같다)의 크기보다 커야 움직인다. 따라서 \(|-\mathbf{A}_{0}|>|\mu_{s}\mathbf{g}|\)일 때, 물체가 움직인다.

아래의 그림에서 

왼쪽 그림의 차량은 오른쪽 방향(+\(x\)방향)으로 \(\mathbf{A}_{0}\)의 등가속도로 운동을 하고 있고(진동이 없고 다른 기준점이 없다), 차량 내부에는 비관성계 관측자가 있고, 바깥에는 관성계 관측자가 있다. 관성계 관측자의 입장에서 차량 내부의 질량이 \(m\)인 진자가 수직 방향에서 왼쪽으로 \(\theta\)의 각도로 처져 걸려있는 것으로 보인다.

관성계 관측자의 입장에서$$\begin{align*}T\sin\theta&=mA_{0}\\T\cos\theta-mg&=0\end{align*}$$이므로 \(A_{0}=g\tan\theta\)이고 따라서 차량이 수평 방향으로 가속되고 힘이 작용하기 때문에 진자는 \(\theta\)의 방향으로 기울며, 가속도는 \(\tan\theta\)에 비례한다.

비관성계 관측자의 입장에서$$\begin{align*}T\sin\theta&-F_{x}'=0\\T\cos\theta&-mg=0\end{align*}$$이므로 \(F_{x}'=mg\tan\theta\)이고, 진자에 작용하는 모든 힘은 균형을 이루지만 관성력 \(\mathbf{F}_{x}'(=-m\mathbf{A}_{0})\)으로 인해 왼쪽으로 기우는 것으로 보인다.

고정 관성계(unprimed)와 회전 좌표계(primed)가 공통원점을 갖는다고 하자.(아래 그림 참고)

회전의 방향이 \(\mathbf{n}\)인 어떤 축을 중심으로 회전이 일어나면, 이 회전계의 각속도는$$\pmb{\omega}=\omega\mathbf{n}$$이고, 각속도의 방향은 오른나사법칙을 이용하여 결정된다(네 손가락의 방향이 회전방향).

공간에서의 어느 점 \(\mathbf{P}\)는 고정 관성계(좌표계)에서 \(\mathbf{r}\)로, 회전 좌표계에서 \(\mathbf{r}'\)로 나타내어진다. 공통 원점을 가지므로 \(\mathbf{r}=\mathbf{r}'\)이고 따라서$$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}=x'\mathbf{i}'+y'\mathbf{j}+z'\mathbf{k}'=\mathbf{r}'$$이다. 이때 단위벡터 \(\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}\)는 상수벡터이나 \(\mathbf{i}',\,\mathbf{j}',\,\mathbf{k}'\)은 상수벡터가 아니다. 그러므로$$\frac{dx}{dt}\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\mathbf{k}=\frac{dx'}{dt}\mathbf{i}'+\frac{dy'}{dt}\mathbf{j}'+\frac{dz}{dt}\mathbf{k}'+x'\frac{d\mathbf{i}'}{dt}+y'\frac{d\mathbf{j}'}{dt}+z'\frac{d\mathbf{k}'}{dt}$$이고$$\mathbf{v}=\frac{dx}{dt}\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\mathbf{k},\,\mathbf{v}'=\frac{dx'}{dt}\mathbf{i}'+\frac{dy'}{dt}\mathbf{j}'+\frac{dz'}{dt}\mathbf{k}'$$라고 하면$$\mathbf{v}=\mathbf{v}'+x'\frac{d\mathbf{i}'}{dt}+y'\frac{d\mathbf{j}'}{dt}+z'\frac{d\mathbf{k}'}{dt}$$이고 \(\mathbf{i}',\,\mathbf{j}',\,\mathbf{k}'\)의 시간도함수를 구하자.

회전축에 대해 \(\Delta\theta\)만큼 회전했을 때의 단위벡터 \(\mathbf{i}'\)의 변화 \(\Delta\mathbf{i}'\)는 위의 그림과 같고$$|\Delta\mathbf{i}'|\approx(|\mathbf{i}'|\sin\phi)\Delta\theta=(\sin\phi)\omega$$(\(\phi\)는 \(\mathbf{i}'\)과 \(\pmb{\omega}\)사이의 각도)이다. \(\Delta\mathbf{i}'\)의 방향은 \(\pmb{\omega}\)와 \(\mathbf{i}'\)에 동시에 수직이므로$$\frac{d\mathbf{i}'}{dt}=\pmb{\omega}\times\mathbf{i}'$$이다. 같은 방법으로 \(\displaystyle\frac{d\mathbf{j}'}{dt}=\pmb{\omega}\times\mathbf{j}',\,\frac{d\mathbf{k}'}{dt}=\pmb{\omega}\times\mathbf{k}'\)이고$$\begin{align*}x'\frac{d\mathbf{i}'}{dt}+y'\frac{d\mathbf{j}'}{dt}+z'\frac{d\mathbf{k}'}{dt}&=x'(\pmb{\omega}\times\mathbf{i}')+y'(\mathbf{j}')+z'(\mathbf{k}')\\&=\pmb{\omega}\times\mathbf{r}'\end{align*}$$는 회전 좌표계의 회전에 의해 추가로 생긴 점 \(\mathbf{P}\)의 속도 이므로$$\begin{align*}\mathbf{v}&=\mathbf{v}'+\pmb{\omega}\times\mathbf{r}'\\ \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_{\text{fixed}}&=\left(\frac{d\mathbf{r}'}{dt}\right)_{\text{rotating}}+\pmb{\omega}\times\mathbf{r}'\end{align*}$$이고, 따라서 임의의 벡터 \(\mathbf{Q}\)에 대해서$$\left(\frac{d\mathbf{Q}}{dt}\right)_{\text{fixed}}=\left(\frac{d\mathbf{Q}}{dt}\right)_{\text{rotating}}+\pmb{\omega}\times\mathbf{Q}$$로 나타낼 수 있다. 속도 벡터의 경우$$\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{fixed}}=\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)_{\text{rotating}}+\pmb{\omega}\times\mathbf{v}$$이고 \(\mathbf{v}=\mathbf{v}'+\pmb{\omega}\times\mathbf{r}'\)이므로$$\begin{align*}\left(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right)&=\left(\frac{d\mathbf{v}'}{dt}\right)_{\text{rotating}}+\left(\frac{d}{dt}(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')\right)_{\text{rotating}}+\pmb{\omega}\times\mathbf{v}'+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')\\&=\left(\frac{d\mathbf{v}'}{dt}\right)_{\text{rotating}}+\left(\frac{d\pmb{\omega}}{dt}\right)_{\text{rotating}}\times\mathbf{r}'+\pmb{\omega}\times\left(\frac{d\mathbf{r}'}{dt}\right)_{\text{rotating}}+\pmb{\omega}\times\mathbf{v}'+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')\end{align*}$$이고$$\begin{align*}\left(\frac{d\pmb{\omega}}{dt}\right)_{\text{fixed}}&=\left(\frac{d\pmb{\omega}}{dt}\right)_{\text{rotating}}+\pmb{\omega}\times\pmb{\omega}=\left(\frac{d\pmb{\omega}}{dt}\right)_{\text{rotating}}=\dot{\pmb{\omega}}\\ \mathbf{v}'&=\left(\frac{d\mathbf{r}'}{dt}\right)_{\text{rotating}},\,\mathbf{a}'=\left(\frac{d\mathbf{v}'}{dt}\right)_{\text{rotating}}\end{align*}$$이므로$$\mathbf{a}=\mathbf{a}'+\dot{\pmb{\omega}}\times\mathbf{r}'+2\pmb{\omega}\times\mathbf{v}'+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')$$이다.

일반적으로 회전좌표계가 병진운동도 하면,(아래 그림 참고)

속도에는 병진속도 \(\mathbf{V}_{0}\)를, 가속도에는 병진가속도 \(\mathbf{A}_{0}\)를 더해야 한다. 병진운동을 고려했을 때의 속도와 가속도는 다음과 같다.$$\begin{align*}\mathbf{v}&=\mathbf{v}'+\pmb{\omega}\times\mathbf{r}'+\mathbf{V}_{0}\\ \mathbf{a}&=\mathbf{a}'+\dot{\pmb{\omega}}\times\mathbf{r}'+2\pmb{\omega}\times\mathbf{v}'+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')+\mathbf{A}_{0}\end{align*}$$이때 \(2\pmb{\omega}\times\mathbf{v}'\)는 코리올리 가속도(Coriolis acceleration), \(\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')\)은 구심가속도(centripetal acceleration)이다.(아래 그림 참고)

비관성계에서의 운동방정식은$$\mathbf{F}-m\mathbf{A}_{0}-2m\pmb{\omega}\times\mathbf{v}'-m\dot{\pmb{\omega}}\times\mathbf{r}'-m\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')=m\mathbf{a}'$$이고 

코리올리힘(Coriolis force)은 \(\mathbf{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\pmb{\omega}\times\mathbf{v}'\)이고,

가로 힘(transverse force)은 \(\mathbf{F}_{\text{transverse}}=-m\dot{\pmb{\omega}}\times\mathbf{r}'\)이며,

원심력(centrifugal force)은 \(\mathbf{F}_{\text{centrifugal}}=-m\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{r}')\)이다.

\(-m\mathbf{A}_{0}\)은 나머지 관성력으로 \(x'y'z'\)좌표계가 병진운동을 할 때 나타나는 힘이다. 따라서 관측자의 운동방정식은 다음과 같다.$$\mathbf{F}'=\mathbf{F}_{\text{physical}}+\mathbf{F}'_{\text{Coriolis}}+\mathbf{F}'_{\text{transverse}}+\mathbf{F}'_{\text{centrifugal}}-m\mathbf{A}_{0}$$여기에서 힘 \(\mathbf{F}_{\text{physical}}\)은 실제의 힘이라는 사실을 강조하기 위해 physical이라는 첨자를 붙였고, 이 힘이 물체에 실제로 작용하는 힘이다.

코리올리 힘은 회전 좌표계에서 볼 때, 물체가 움직여야만 존재하고, 방향은 움직이는 좌표계에서 속도벡터와 항상 수직이다. 이 힘은 포사체의 궤적 계산에 중요한 영향을 미치며 지표면에서 고기압과 저기압의 대기 회전을 일으킨다.

원심력은 축 주위의 회전으로 발생하는 힘이다. 방향은 회전축 바깥 방향이고, 축에 수직이다.

가로 힘은 회전좌표계에서 각가속도가 존재할 때만 존재하는 힘이고 회전좌표계에서 \(\mathbf{r}'\)에 항상 수직이다.(아래 그림 참고)

(원심력, 가로 힘, 코리올리힘)

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning