[고전역학] 10. 만유인력(1: 중력, 케플러 법칙)
뉴턴은 1666년 이전에 만유인력의 법칙을 정식화하고 수치적으로 검증해 1687년에 프린키피아(Principia: 자연 철학의 수학적 원리)를 통해 발표했다. 만유인력법칙은 "우주의 모든 물체(입자)는 다른 입자를 끌어당기며, 그 힘은 두 입자의 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다"이고, 벡터를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\mathbf{F}_{ij}=G\frac{m_{i}m_{j}}{r_{ij}^{2}}\left(\frac{\mathbf{r}_{ij}}{r_{ij}}\right)$$(아래 그림 참고)
\(\mathbf{F}_{ij}\)는 질량이 \(m_{i}\)인 입자 \(i\)에 질량 \(m_{j}\)인 입자 \(j\)가 미치는 힘이고, \(\mathbf{r}_{ij}\)는 입자 \(i\)에서 입자 \(j\)로 향하는 선분벡터이다. 작용 반작용 법칙(뉴턴의 운동 제 3법칙)에 의해 \(\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\)이고 상수 \(G\)는 중력상수(gravitational constant)이며, 그 값은$$G=(6.67259\pm0.00085)\times10^{-11}\text{Nm}^{2}\text{kg}^{-2}$$이다. 중력은 중심력(central force)에 속하는 힘이고, 중심력은 힘의 작용선이 한 점에서 끝나거나 시작한다. 중력의 크기는 방향과 관계가 없으므로 등방성(isotropy)을 갖는다.
질량이 \(M\)이고 반지름이 \(R\)인 구 껍질이 있고, 구의 중심으로부터 거리가 \(r\,(r>R)\)인 곳에 질량이 \(m\)인 시험 입자가 있다.(아래 그림 참고)
폭이 \(R\Delta\theta\)인 원형 고리로 구 껍질을 나누면, 한 고리의 원둘레는 \(2\pi R\sin\theta\)이고 질량 \(\Delta M\)은$$\Delta M=\rho2\pi R^{2}\sin\theta\Delta\theta$$(\(\rho\)는 구 껍질에서의 단위면적당 질량(면밀도))이다. 구 껍질 위의 작은 질량요소 \(Q\)가 \(P\)에 작용하는 중력 \(\Delta\mathbf{F}_{Q}\)에 대해 \(\Delta\mathbf{F}_{Q}=\Delta F_{Q}\cos\phi\)(수직성분인 \(\Delta F_{Q}\sin\phi\)는 상쇄됨)이므로$$\Delta F=G\frac{m\Delta M}{s^{2}}\cos\phi=G\frac{ㅡ2\pi\rho R^{2}\sin\theta\cos\phi}{s^{2}}\Delta\theta$$(\(s\)는 입자 \(P\)에서 작은 질량요소 \(Q\)까지의 거리)이고$$F=Gm2\pi\rho R^{2}\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin\theta\cos\phi}{s^{2}}d\theta}$$이고, 코사인 법칙에 의해$$s^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta$$이므로$$\begin{align*}rR\sin\theta d\theta&=sds\\ \cos\phi&=\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2rs}\end{align*}$$이고 따라서$$\begin{align*}F&=Gm2\pi\rho R^{2}\int_{r-R}^{r+R}{\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2Rr^{2}s^{2}}ds}\\&=\frac{GmM}{4Rr^{2}}\int_{r-R}^{r+R}{\left(1+\frac{r^{2}-R^{2}}{s^{2}}\right)ds}\\&=\frac{GMm}{r^{2}}\,(M=4\pi\rho R^{2})\end{align*}$$이고$$\mathbf{F}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}$$(\(\mathbf{e}_{r}\)은 원점에서 바깥으로 향하는 단위 반지름 벡터)이다. 이 결과는 균질한 구형 물체가 그 바깥에 있는 입자를 끌어당길 때, 구 전체 질량이 중심에 모여있는 것처럼 인력이 작용한다는 것을 보여준다.
케플러 법칙
다음은 케플러(keplar)가 티코 브라헤(Tycho Brahe)와 히파르코스(Hipparchus)의 관측결과를 토대로 다음과 같은 3가지 법칙을 발표했다.
1. 타원법칙(1609): 각 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원이다.
2. 등면적 법칙(1609): 태양과 행성을 잇는 직선은 행성이 태양 주위에서 궤도운동을 할 때, 같은 시간 동안 같은 면적을 지나간다.
3. 조화 법칙(1618): 행성의 행성주기(항성에서 관측할 때, 행성이 태양을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간)의 제곱은 행성궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.
케플러의 제 2법칙인 등면적 법칙은 태양주위를 도는 행성의 각운동량이 보존됨을 나타낸다. 원점을 시점으로 하는 위치벡터 \(\mathbf{r}\)의 종점에 존재하는 입자의 선운동량을 \(\mathbf{p}\)라고 하면 입자의 각운동량(angular momentum)은 \(\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\)이고$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{v}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt}\,(\mathbf{p}=m\mathbf{v})$$, \(\displaystyle\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\)이므로$$\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$$이고 벡터곱 \(\mathbf{N}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}\)는 토크(torque)이다. 행성의 운동에서 \(\mathbf{r}\)과 \(\mathbf{F}\)가 동일 선상에 있기 때문에, \(\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\)이므로 \(\displaystyle\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0}\)이고 따라서 \(\mathbf{L}\)은 상수벡터가 된다.
태양을 중심으로 하는 행성의 속도벡터 \(v\)를 극좌표계로 나타내면$$\mathbf{v}=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}$$(\(\mathbf{e}_{r}\)은 원심 방향의 단위벡터, \(\mathbf{e}_{\theta}\)는 가로 방향의 단위벡터)이고 각운동량의 크기는$$\begin{align*}L&=|\mathbf{r}\times m\mathbf{v}|=|r\mathbf{e}_{r}\times m(\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta})|\\&=mr^{2}\dot{\theta}\,(|\mathbf{e}_{r}\times\mathbf{e}_{r}|=0,\,|\mathbf{e}_{r}\times\mathbf{e}_{\theta}|=1)\end{align*}$$이다.
입자의 면적속도 \(\dot{A}\)를 계산하면(아래 그림 참고)
$$dA=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times d\mathbf{r}|=\frac{1}{2}|r\mathbf{e}_{r}\times(\mathbf{e}_{r}dr+\mathbf{e}_{\theta}rd\theta)|=\frac{1}{2}r(rd\theta)$$이므로$$\frac{dA}{dt}=\dot{A}=\frac{1}{2}r^{2}\dot{\theta}=\frac{L}{2m}$$은 상수이다.
등방성 중심력장에서 움직이는 입자에 대한 운동방정식을 구해 케플러의 제 1법칙을 보일 수 있다. 극좌표계에서의 운동방정식은$$m\ddot{\mathbf{r}}=f(r)\mathbf{e}_{r}$$(\(f(r)\)은 질량이 \(m\)인 물체에 작용하는 등방성 중심력)이고,$$\ddot{\mathbf{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\mathbf{e}_{r}+(2r\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\mathbf{e}_{\theta}$$이므로$$\begin{align*}m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})&=f(r)\\m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})&=\frac{d}{dt}(r^{2}\dot{\theta})=0\end{align*}$$이고$$\begin{align*}r^{2}\dot{\theta}&=l\,(\text{constant})\\|l|&=\frac{L}{m}=|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|\end{align*}$$(\(l\)은 단위 질량당 각운동량)이다. 입자의 궤도방정식을 구하기 위해 \(\displaystyle r=\frac{1}{u}\)라고 하면,$$\dot{r}=-\frac{1}{u^{2}}\dot{u}=-\frac{1}{u^{2}}\dot{\theta}\frac{du}{d\theta}=-l\frac{du}{d\theta}\,(\dot{\theta}=lu^{2})$$이고$$\ddot{r}=-l\frac{d}{dt}\left(\frac{du}{d\theta}\right)=-l\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}\left(\frac{du}{d\theta}\right)=-l\dot{\theta}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}=-l^{2}u^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}$$이므로 이 결과들을 식 \(m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})=f(r)\)에 대입하면$$m\left\{-l^{2}u^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}-\frac{1}{u}(l^{2}u^{4})\right\}=f\left(\frac{1}{u}\right)$$이고 따라서 다음의 궤도방정식(equation of the orbit)$$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\frac{1}{ml^{2}u^{2}}f\left(\frac{1}{u}\right)$$을 얻는다.
중력의 영향을 받는 입자의 궤도는$$f(r)=-G\frac{Mm}{r^{2}}=-\frac{k}{r^{2}}\,(k=GMm,\,M\gg m)$$이므로 이 경우의 궤도방정식은$$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=\frac{k}{ml^{2}}$$이고$$u=A\cos(\theta-\theta_{0})+\frac{k}{ml^{2}}$$이므로$$r=\frac{1}{u}=\frac{1}{\frac{k}{ml^{2}}+A\cos(\theta-\theta_{0})}$$이다. 여기서 \(A,\,\theta_{0}\)는 초기 조건 또는 특정 조건에 의해 결정되는 상수이고, \(\theta_{0}=0\)이라고 하면$$r=\frac{\frac{ml^{2}}{k}}{1+\frac{Aml^{2}}{k}\cos\theta}$$로 나타낼 수 있고, 이 식은 초점 중 하나가 원점인 타원의 방정식이다.
타원(ellipse)은 두 초점 \(f,\,f'\)으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 궤적이다. 즉$$r+r'=2a=\text{constant}$$이다.(아래 그림 참고)
\(a\)는 타원의 장반경(긴 반지름)이고, 두 초점은 중심에서 \(\epsilon a\)(\(\epsilon\)은 타원의 이심률(eccentricity))만큼 떨어져 있다. \(r,\,r'\)사이의 관계식을 구하면$$\begin{align*}r'^{2}&=r^{2}\sin^{2}\theta+(2\epsilon a+r\cos\theta)^{2}\\&=r^{2}+4\epsilon a(\epsilon a+r\cos\theta)\end{align*}$$이고 \(r'=2a-r\)이므로$$r=\frac{\alpha}{1+\epsilon\cos\theta}\,\left(\alpha=a(1-\epsilon^{2})\right)$$이고 앞의 타원궤도의 경우$$\alpha=\frac{ml^{2}}{k},\,\epsilon=\frac{Aml^{2}}{k}$$이다.
태양 주위 행성의 타원 궤도에서 \(r_{0}\)는 근일점(perihelion)으로 태양에 가장 가까워 지는 점이고, \(r_{1}\)은 원일점(aphelion)으로 태양으로부터 가장 멀어지는 점이다. 지구 주위의 달의 궤도나 인공위성의 궤도에 대해서는 각각 근지점(perigee), 원지점(apogee)이라고 불리우고$$r_{0}=\frac{\alpha}{1+\epsilon},\,r_{1}=\frac{\alpha}{1-\epsilon}$$이다.
케플러의 제 2 법칙에서$$\dot{A}=\frac{L}{2m}$$이고 주기를 \(\tau\)라고 하면$$\int_{0}^{\tau}{\dot{A}dt}=A=\frac{l}{2}\tau\,\left(\tau=\frac{2A}{l}\right)$$, 타원의 넓이는 \(\pi ab\,(a>b)\)이므로$$\tau=\frac{2\pi ab}{l}=\frac{2\pi a^{2}\sqrt{1-\epsilon^{2}}}{l}$$이고$$\begin{align*}\tau^{2}&=\frac{4\pi^{2}a^{4}}{l^{2}}(1-\epsilon^{2})\\&=\frac{4\pi^{2}a^{4}}{l^{2}}\frac{\alpha}{a}\\&=4\pi^{2}a^{3}\frac{\alpha}{l^{2}}\end{align*}$$이므로$$\alpha=\frac{ml^{2}}{k},\,k=GM_{\text{sun}}m$$(\(M_{\text{sun}}\)은 태양의 질량)을 위 식에 대입하면$$\tau^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM_{\text{sun}}}a^{3}$$이다.
여기서 상수 \(\displaystyle\frac{4\pi^{2}}{GM_{\text{sun}}}\)은 태양 주위를 도는 모든 입자의 질량에 관계없이 동일하고, 거리를 천문단위(astronomical unit, \(1\text{AU}=1.50\times10^{8}\text{km}\))로, 주기를 지구의 주기인 년(year)으로 측정하면, 이 상수의 값은 \(1\)이 되고, 케플러의 제 3법칙은 \(\tau^{2}=a^{3}\)이 된다.
다음의 표는 태양계의 행성들에 대해 주기와 장반경, 이심률을 나타낸 것이다.
행성 |
주기 |
장반경 |
이심률 |
||
\(\tau(\text{year})\) |
\(\tau^{2}(\text{year}^{2})\) |
\(a(\text{AU})\) |
\(a^{3}(\text{AU}^{3})\) |
\(\epsilon\) |
|
수성(Mercury) |
0.241 |
0.0581 |
0.387 |
0.0580 |
0.206 |
금성(Venus) |
0.615 |
0.378 |
0.723 |
0.378 |
0.007 |
지구(Earth) |
1.000 |
1.000 |
1.000 |
1.000 |
0.017 |
화성(Mars) |
1.881 |
3.538 |
1.524 |
3.540 |
0.093 |
목성(Jupiter) |
11.86 |
140.7 |
5.203 |
140.8 |
0.048 |
토성(Saturn) |
29.46 |
867.9 |
9.539 |
868.0 |
0.056 |
천왕성(Uranus) |
84.01 |
7058.0 |
19.18 |
7056.0 |
0.047 |
해왕성(Neptune) |
164.8 |
27160.0 |
30.06 |
27160.0 |
0.009 |
명왕성(Pluto) |
247.7 |
61360.0 |
39.440 |
61350.0 |
0.249 |
참고자료:
Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning
Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning
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