[고전역학] 10. 만유인력(1: 중력, 케플러 법칙)

[고전역학] 10. 만유인력(1: 중력, 케플러 법칙)

뉴턴은 1666년 이전에 만유인력의 법칙을 정식화하고 수치적으로 검증해 1687년에 프린키피아(Principia: 자연 철학의 수학적 원리)를 통해 발표했다. 만유인력법칙은 "우주의 모든 물체(입자)는 다른 입자를 끌어당기며, 그 힘은 두 입자의 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다"이고, 벡터를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathbf{F}_{ij}=G\frac{m_{i}m_{j}}{r_{ij}^{2}}\left(\frac{\mathbf{r}_{ij}}{r_{ij}}\right)$$ (아래 그림 참고)

$\mathbf{F}_{ij}$는 질량이 $m_{i}$인 입자 $i$에 질량 $m_{j}$인 입자 $j$가 미치는 힘이고, $\mathbf{r}_{ij}$는 입자 $i$에서 입자 $j$로 향하는 선분벡터이다. 작용 반작용 법칙(뉴턴의 운동 제 3법칙)에 의해 $\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}$이고 상수 $G$는 중력상수(gravitational constant)이며, 그 값은 $$G=(6.67259\pm0.00085)\times10^{-11}\text{Nm}^{2}\text{kg}^{-2}$$ 이다. 중력은 중심력(central force)에 속하는 힘이고, 중심력은 힘의 작용선이 한 점에서 끝나거나 시작한다. 중력의 크기는 방향과 관계가 없으므로 등방성(isotropy)을 갖는다.

질량이 $M$이고 반지름이 $R$인 구 껍질이 있고, 구의 중심으로부터 거리가 $r\,(r>R)$인 곳에 질량이 $m$인 시험 입자가 있다.(아래 그림 참고)

폭이 $R\Delta\theta$인 원형 고리로 구 껍질을 나누면, 한 고리의 원둘레는 $2\pi R\sin\theta$이고 질량 $\Delta M$은 $$\Delta M=\rho2\pi R^{2}\sin\theta\Delta\theta$$ ($\rho$는 구 껍질에서의 단위면적당 질량(면밀도))이다. 구 껍질 위의 작은 질량요소 $Q$가 $P$에 작용하는 중력 $\Delta\mathbf{F}_{Q}$에 대해 $\Delta\mathbf{F}_{Q}=\Delta F_{Q}\cos\phi$(수직성분인 $\Delta F_{Q}\sin\phi$는 상쇄됨)이므로 $$\Delta F=G\frac{m\Delta M}{s^{2}}\cos\phi=G\frac{ㅡ2\pi\rho R^{2}\sin\theta\cos\phi}{s^{2}}\Delta\theta$$ ($s$는 입자 $P$에서 작은 질량요소 $Q$까지의 거리)이고 $$F=Gm2\pi\rho R^{2}\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin\theta\cos\phi}{s^{2}}d\theta}$$ 이고, 코사인 법칙에 의해 $$s^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta$$ 이므로 $$\begin{align*}rR\sin\theta d\theta&=sds\\ \cos\phi&=\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2rs}\end{align*}$$ 이고 따라서 $$\begin{align*}F&=Gm2\pi\rho R^{2}\int_{r-R}^{r+R}{\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2Rr^{2}s^{2}}ds}\\&=\frac{GmM}{4Rr^{2}}\int_{r-R}^{r+R}{\left(1+\frac{r^{2}-R^{2}}{s^{2}}\right)ds}\\&=\frac{GMm}{r^{2}}\,(M=4\pi\rho R^{2})\end{align*}$$ 이고 $$\mathbf{F}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}$$ ($\mathbf{e}_{r}$은 원점에서 바깥으로 향하는 단위 반지름 벡터)이다. 이 결과는 균질한 구형 물체가 그 바깥에 있는 입자를 끌어당길 때, 구 전체 질량이 중심에 모여있는 것처럼 인력이 작용한다는 것을 보여준다.

케플러 법칙

다음은 케플러(keplar)가 티코 브라헤(Tycho Brahe)와 히파르코스(Hipparchus)의 관측결과를 토대로 다음과 같은 3가지 법칙을 발표했다.

1. 타원법칙(1609): 각 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원이다.

2. 등면적 법칙(1609): 태양과 행성을 잇는 직선은 행성이 태양 주위에서 궤도운동을 할 때, 같은 시간 동안 같은 면적을 지나간다.

3. 조화 법칙(1618): 행성의 행성주기(항성에서 관측할 때, 행성이 태양을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간)의 제곱은 행성궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.

케플러의 제 2법칙인 등면적 법칙은 태양주위를 도는 행성의 각운동량이 보존됨을 나타낸다. 원점을 시점으로 하는 위치벡터 $\mathbf{r}$의 종점에 존재하는 입자의 선운동량을 $\mathbf{p}$라고 하면 입자의 각운동량(angular momentum)은 $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$이고 $$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{v}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt}\,(\mathbf{p}=m\mathbf{v})$$ , $\displaystyle\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}$이므로 $$\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$$ 이고 벡터곱 $\mathbf{N}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$는 토크(torque)이다. 행성의 운동에서 $\mathbf{r}$과 $\mathbf{F}$가 동일 선상에 있기 때문에, $\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$이므로 $\displaystyle\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0}$이고 따라서 $\mathbf{L}$은 상수벡터가 된다. 

태양을 중심으로 하는 행성의 속도벡터 $v$를 극좌표계로 나타내면 $$\mathbf{v}=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}$$ ($\mathbf{e}_{r}$은 원심 방향의 단위벡터, $\mathbf{e}_{\theta}$는 가로 방향의 단위벡터)이고 각운동량의 크기는 $$\begin{align*}L&=|\mathbf{r}\times m\mathbf{v}|=|r\mathbf{e}_{r}\times m(\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta})|\\&=mr^{2}\dot{\theta}\,(|\mathbf{e}_{r}\times\mathbf{e}_{r}|=0,\,|\mathbf{e}_{r}\times\mathbf{e}_{\theta}|=1)\end{align*}$$ 이다.

입자의 면적속도 $\dot{A}$를 계산하면(아래 그림 참고)

$$dA=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times d\mathbf{r}|=\frac{1}{2}|r\mathbf{e}_{r}\times(\mathbf{e}_{r}dr+\mathbf{e}_{\theta}rd\theta)|=\frac{1}{2}r(rd\theta)$$ 이므로 $$\frac{dA}{dt}=\dot{A}=\frac{1}{2}r^{2}\dot{\theta}=\frac{L}{2m}$$ 은 상수이다.

등방성 중심력장에서 움직이는 입자에 대한 운동방정식을 구해 케플러의 제 1법칙을 보일 수 있다. 극좌표계에서의 운동방정식은 $$m\ddot{\mathbf{r}}=f(r)\mathbf{e}_{r}$$ ($f(r)$은 질량이 $m$인 물체에 작용하는 등방성 중심력)이고, $$\ddot{\mathbf{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\mathbf{e}_{r}+(2r\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\mathbf{e}_{\theta}$$ 이므로 $$\begin{align*}m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})&=f(r)\\m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})&=\frac{d}{dt}(r^{2}\dot{\theta})=0\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}r^{2}\dot{\theta}&=l\,(\text{constant})\\|l|&=\frac{L}{m}=|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|\end{align*}$$ ($l$은 단위 질량당 각운동량)이다. 입자의 궤도방정식을 구하기 위해 $\displaystyle r=\frac{1}{u}$라고 하면, $$\dot{r}=-\frac{1}{u^{2}}\dot{u}=-\frac{1}{u^{2}}\dot{\theta}\frac{du}{d\theta}=-l\frac{du}{d\theta}\,(\dot{\theta}=lu^{2})$$ 이고 $$\ddot{r}=-l\frac{d}{dt}\left(\frac{du}{d\theta}\right)=-l\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}\left(\frac{du}{d\theta}\right)=-l\dot{\theta}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}=-l^{2}u^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}$$ 이므로 이 결과들을 식 $m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})=f(r)$에 대입하면 $$m\left\{-l^{2}u^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}-\frac{1}{u}(l^{2}u^{4})\right\}=f\left(\frac{1}{u}\right)$$ 이고 따라서 다음의 궤도방정식(equation of the orbit) $$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\frac{1}{ml^{2}u^{2}}f\left(\frac{1}{u}\right)$$ 을 얻는다.

중력의 영향을 받는 입자의 궤도는 $$f(r)=-G\frac{Mm}{r^{2}}=-\frac{k}{r^{2}}\,(k=GMm,\,M\gg m)$$ 이므로 이 경우의 궤도방정식은 $$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=\frac{k}{ml^{2}}$$ 이고 $$u=A\cos(\theta-\theta_{0})+\frac{k}{ml^{2}}$$ 이므로 $$r=\frac{1}{u}=\frac{1}{\frac{k}{ml^{2}}+A\cos(\theta-\theta_{0})}$$ 이다. 여기서 $A,\,\theta_{0}$는 초기 조건 또는 특정 조건에 의해 결정되는 상수이고, $\theta_{0}=0$이라고 하면 $$r=\frac{\frac{ml^{2}}{k}}{1+\frac{Aml^{2}}{k}\cos\theta}$$ 로 나타낼 수 있고, 이 식은 초점 중 하나가 원점인 타원의 방정식이다.

타원(ellipse)은 두 초점 $f,\,f'$으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 궤적이다. 즉 $$r+r'=2a=\text{constant}$$ 이다.(아래 그림 참고)

$a$는 타원의 장반경(긴 반지름)이고, 두 초점은 중심에서 $\epsilon a$($\epsilon$은 타원의 이심률(eccentricity))만큼 떨어져 있다. $r,\,r'$사이의 관계식을 구하면 $$\begin{align*}r'^{2}&=r^{2}\sin^{2}\theta+(2\epsilon a+r\cos\theta)^{2}\\&=r^{2}+4\epsilon a(\epsilon a+r\cos\theta)\end{align*}$$ 이고 $r'=2a-r$이므로 $$r=\frac{\alpha}{1+\epsilon\cos\theta}\,\left(\alpha=a(1-\epsilon^{2})\right)$$ 이고 앞의 타원궤도의 경우 $$\alpha=\frac{ml^{2}}{k},\,\epsilon=\frac{Aml^{2}}{k}$$ 이다.

태양 주위 행성의 타원 궤도에서 $r_{0}$는 근일점(perihelion)으로 태양에 가장 가까워 지는 점이고, $r_{1}$은 원일점(aphelion)으로 태양으로부터 가장 멀어지는 점이다. 지구 주위의 달의 궤도나 인공위성의 궤도에 대해서는 각각 근지점(perigee), 원지점(apogee)이라고 불리우고 $$r_{0}=\frac{\alpha}{1+\epsilon},\,r_{1}=\frac{\alpha}{1-\epsilon}$$ 이다.

케플러의 제 2 법칙에서 $$\dot{A}=\frac{L}{2m}$$ 이고 주기를 $\tau$라고 하면 $$\int_{0}^{\tau}{\dot{A}dt}=A=\frac{l}{2}\tau\,\left(\tau=\frac{2A}{l}\right)$$ , 타원의 넓이는 $\pi ab\,(a>b)$이므로 $$\tau=\frac{2\pi ab}{l}=\frac{2\pi a^{2}\sqrt{1-\epsilon^{2}}}{l}$$ 이고 $$\begin{align*}\tau^{2}&=\frac{4\pi^{2}a^{4}}{l^{2}}(1-\epsilon^{2})\\&=\frac{4\pi^{2}a^{4}}{l^{2}}\frac{\alpha}{a}\\&=4\pi^{2}a^{3}\frac{\alpha}{l^{2}}\end{align*}$$ 이므로 $$\alpha=\frac{ml^{2}}{k},\,k=GM_{\text{sun}}m$$ ($M_{\text{sun}}$은 태양의 질량)을 위 식에 대입하면 $$\tau^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM_{\text{sun}}}a^{3}$$ 이다.

여기서 상수 $\displaystyle\frac{4\pi^{2}}{GM_{\text{sun}}}$은 태양 주위를 도는 모든 입자의 질량에 관계없이 동일하고, 거리를 천문단위(astronomical unit, $1\text{AU}=1.50\times10^{8}\text{km}$)로, 주기를 지구의 주기인 년(year)으로 측정하면, 이 상수의 값은 $1$이 되고, 케플러의 제 3법칙은 $\tau^{2}=a^{3}$이 된다.

다음의 표는 태양계의 행성들에 대해 주기와 장반경, 이심률을 나타낸 것이다.

행성	주기		장반경		이심률
	$\tau(\text{year})$	$\tau^{2}(\text{year}^{2})$	$a(\text{AU})$	$a^{3}(\text{AU}^{3})$	$\epsilon$
수성(Mercury)	0.241	0.0581	0.387	0.0580	0.206
금성(Venus)	0.615	0.378	0.723	0.378	0.007
지구(Earth)	1.000	1.000	1.000	1.000	0.017
화성(Mars)	1.881	3.538	1.524	3.540	0.093
목성(Jupiter)	11.86	140.7	5.203	140.8	0.048
토성(Saturn)	29.46	867.9	9.539	868.0	0.056
천왕성(Uranus)	84.01	7058.0	19.18	7056.0	0.047
해왕성(Neptune)	164.8	27160.0	30.06	27160.0	0.009
명왕성(Pluto)	247.7	61360.0	39.440	61350.0	0.249

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning