[고전역학] 12. 입자계의 운동(1)

[고전역학] 12. 입자계의 운동(1)

입자 간의 상대적 위치가 모두 고정된 입자계를 강체(rigid body)라고 한다.

아래의 그림은 질량이 $m_{1},\,\cdots,\,m_{n}$인 $n$개의 입자들이 각각 위치벡터 $\mathbf{r}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{r}_{n}$의 끝점에 위치한 것을 나타낸 것이다.

이 입자계의 질량중심(center of mass) $\mathbf{r}_{cm}$은 다음과 같이 정의한다. $$\mathbf{r}_{cm}=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+\cdots+m_{n}\mathbf{r}_{n}}{m_{1}+\cdots+m_{n}}=\frac{\sum_{i}{m_{i}\mathbf{r}_{i}}}{m}\,\left(m=\sum_{i}{m_{i}}\right)$$ 여기서 $m$은 입자계의 전체 질량이고 $x,\,y,\,z$성분으로 나타내면 $$x_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i}{m_{i}x_{i}}}{m},\,y_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i}{m_{i}y_{i}}}{m},\,z_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i}{m_{i}z_{i}}}{m}$$ 이다.

입자계의 선운동량(linear momentum) $\mathbf{p}$는 각각의 입자들의 운동량의 벡터합 $$\mathbf{p}=\sum_{i}{\mathbf{p}_{i}}=\sum_{i}{m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$ 으로 정의되고, $\dot{\mathbf{r}_{cm}}=\mathbf{v}_{cm}$이므로 $$\mathbf{p}=m\mathbf{v}_{cm}$$ 으로 나타낼 수 있다.

이들 입자에 각각 $\mathbf{F}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{F}_{n}$의 힘이 작용한다고 하고, 입자 $j$가 입자 $i$에 작용하는 힘을 $\mathbf{F}_{ij}$라고 하자(입자가 자기 자신에게는 힘을 미치지 않으므로 $\mathbf{F}_{ii}=\mathbf{0}$). 그러면 입자 $i$의 운동방정식은 $$\mathbf{F}_{i}+\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}=m_{i}\ddot{\mathbf{r}_{i}}=\dot{\mathbf{p}_{i}}$$ 이고 $\mathbf{F}_{i}$는 입자 $i$에 작용하는 전체 외부 작용력이다. 위 식을 $n$개의 입자 전체에 대해 더하면 $$\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{F}_{i}}+\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i=1}^{n}{\dot{\mathbf{p}_{i}}}$$ 이고 뉴턴의 운동 제 3법칙에 의해 $\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}$이므로 $$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i<j}{(\mathbf{F}_{ij}+\mathbf{F}_{ji})}=\mathbf{0}$$ 이고 따라서 $$\sum_{i}{\mathbf{F}_{i}}=\dot{\mathbf{p}}=m\mathbf{a}_{cm}$$ 이다. 이것은 입자계에서 질량중심의 가속도는 입자계의 전체 질량과 같은 질량을 갖는 단일 입자에 전체의 외력이 작용할 때의 가속도와 같다는 것을 뜻한다.

입자계에 작용하는 외력이 없거나 상쇄되면 $\displaystyle\sum_{i}{\mathbf{F}_{i}}=\mathbf{0}$이므로 $\mathbf{a}_{cm}=\mathbf{0}$이고 $\mathbf{v}_{cm}$은 상수이다. 그러므로 입자계의 선운동량 $$\sum_{i}{\mathbf{p}_{i}}=\mathbf{p}=m\mathbf{v}_{cm}$$ 은 상수벡터이고 이것은 선운동량 보존 법칙이다. 선운동량 보존 법칙은 뉴턴의 운동 제 3법칙으로부터 얻어진 결과이다.

한 입자의 각운동량은 $\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$이므로 어떤 입자계의 각운동량은 $$\mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$ 이고 $$\begin{align*}\frac{d\mathbf{L}}{dt}&=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{v}_{i}\times m\mathbf{v}_{i}}+\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times m\mathbf{a}_{i}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{\left\{\mathbf{r}_{i}\times\left(\mathbf{F}_{i}+\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}\right)\right\}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{i}}+\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{ij}}}\end{align*}$$ 여기서 $\mathbf{F}_{i}$는 입자 $i$에 작용하는 모든 외력이고, $\mathbf{F}_{ij}$는 입자 $j$가 입자 $i$에 작용하는 내력이다. 이때 $$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i<j}{(\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{ij}+\mathbf{r}_{j}\times\mathbf{F}_{ji})}$$ 입자 $i$에 대한 입자 $j$의 변위벡터를 $\mathbf{r}_{ij}$라고 하면(아래 그림 참고)

$$\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}$$ 이고 뉴턴의 운동 제 3법칙에 의해 $\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}$이며 $\mathbf{r}_{ij}$와 $\mathbf{F}_{ij}$는 입자들을 연결하는 직선상에 있으므로 $$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i<j}{\mathbf{r}_{ij}\times\mathbf{F}_{ij}}=\mathbf{0}$$ 이고 전체의 외부 모멘트인 토크가$\displaystyle\mathbf{N}=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{i}}$이므로 따라서 $$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}$$ 이다. 이것은 어떤 입자계의 각운동량의 시간에 대한 변화율이 모든 외력이 그 입자계에 작용하는 모멘트의 합과 같다는 것을 뜻한다..

입자계가 고립되어 있으면 $\mathbf{N}=\mathbf{0}$이므로 각운동량 $$\mathbf{L}=\sum_{i}{\mathbf{r}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$ 는 크기와 방향이 일정한 상수벡터이고 이것은 각운동량 보존법칙이다.

아래의 그림에서

$$\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i}$$ 이고 여기서 $\overline{\mathbf{r}}_{i}$는 질량중심에 대한 입자 $i$의 위치벡터이다. 위 식을 시간에 대해 미분하면 $$\mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i}$$ 이고 $\mathbf{v}_{cm}$은 질량중심의 속도, $\overline{\mathbf{v}}_{i}$는 질량중심에 대한 입자 $i$의 상대속도이다. 그러므로 각운동량 $\mathbf{L}$을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}\mathbf{L}&=\sum_{i}{(\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i})\times m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})}\\&=\sum_{i}{\mathbf{r}_{cm}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}}+\sum_{i}{\mathbf{r}_{cm}\times m\overline{\mathbf{v}}_{i}}+\sum_{i}{\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}}+\sum_{i}{\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}_{i}}}\\&=\mathbf{r}_{cm}\times\left(\sum_{i}{m_{i}}\right)\mathbf{v}_{cm}+\mathbf{r}_{cm}\times\sum_{i}{m_{i}\overline{\mathbf{v}_{i}}}+\left(\sum_{i}{m_{i}\overline{r}_{i}}\right)\times\mathbf{v}_{cm}+\sum_{i}{\overline{r}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}\end{align*}$$ 이때 질량중심의 정의에 의해 $$\sum_{i}{m_{i}\overline{r}_{i}}=\sum_{i}{m_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm})}=\sum_{i}{m_{i}\mathbf{r}_{i}}-m\mathbf{r}_{cm}=\mathbf{0}$$ 이므로 $$\sum_{i}{m_{i}\overline{v}_{i}}=\sum_{i}{m_{i}\mathbf{v}_{i}}-m\mathbf{v}_{cm}=\mathbf{0}$$ 이고 $$\mathbf{L}=\mathbf{r}_{cm}\times m\mathbf{v}_{cm}+\sum_{i}{\overline{\mathbf{r}}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}$$ 이다. 여기서 $\mathbf{r}_{cm}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}$를 질량중심 자체의 궤도 운동부분, $\displaystyle\sum_{i}{\overline{r}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}$를 질량줌심 주위에 대한 스핀 운동부분이라고 한다.

입자계의 전체 운동에너지 $T$는 입자들 각각의 운동에너지의 합이다. $$T=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}}=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}(\mathbf{v}_{i}\cdot\mathbf{v}_{i})}$$ 이므로 질량중심에 대한 상대속도를 이용하여 나타내면 $$\begin{align*}T&=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})}\\&=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}v_{cm}^{2}}+\sum_{i}{m_{i}(\mathbf{v}_{cm}\cdot\overline{\mathbf{v}}_{i})}+\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}\\&=\frac{1}{2}v_{cm}^{2}\sum_{i}{m_{i}}+\mathbf{v}_{cm}\cdot\sum_{i}{m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}+\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}\end{align*}$$ 이고 앞에서와 같이 질량중심의 정의에 의해 $\displaystyle\sum_{i}{m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}=\mathbf{0}$이므로 $$T=\frac{1}{2}mv_{cm}^{2}+\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}$$ 이다. 여기서 $\displaystyle\frac{1}{2}mv_{cm}^{2}$는 전체 입자계가 병진운동을 할 때의 운동에너지이고, $\displaystyle\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}$는 질량중심에 대한 운동에너지이다.

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning