[고전역학] 12. 입자계의 운동(1)

[고전역학] 12. 입자계의 운동(1)

입자 간의 상대적 위치가 모두 고정된 입자계를 강체(rigid body)라고 한다.

아래의 그림은 질량이 \(m_{1},\,\cdots,\,m_{n}\)인 \(n\)개의 입자들이 각각 위치벡터 \(\mathbf{r}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{r}_{n}\)의 끝점에 위치한 것을 나타낸 것이다.

이 입자계의 질량중심(center of mass) \(\mathbf{r}_{cm}\)은 다음과 같이 정의한다.$$\mathbf{r}_{cm}=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+\cdots+m_{n}\mathbf{r}_{n}}{m_{1}+\cdots+m_{n}}=\frac{\sum_{i}{m_{i}\mathbf{r}_{i}}}{m}\,\left(m=\sum_{i}{m_{i}}\right)$$여기서 \(m\)은 입자계의 전체 질량이고 \(x,\,y,\,z\)성분으로 나타내면$$x_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i}{m_{i}x_{i}}}{m},\,y_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i}{m_{i}y_{i}}}{m},\,z_{cm}=\frac{\displaystyle\sum_{i}{m_{i}z_{i}}}{m}$$이다.

입자계의 선운동량(linear momentum) \(\mathbf{p}\)는 각각의 입자들의 운동량의 벡터합$$\mathbf{p}=\sum_{i}{\mathbf{p}_{i}}=\sum_{i}{m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$으로 정의되고, \(\dot{\mathbf{r}_{cm}}=\mathbf{v}_{cm}\)이므로$$\mathbf{p}=m\mathbf{v}_{cm}$$으로 나타낼 수 있다.

이들 입자에 각각 \(\mathbf{F}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{F}_{n}\)의 힘이 작용한다고 하고, 입자 \(j\)가 입자 \(i\)에 작용하는 힘을 \(\mathbf{F}_{ij}\)라고 하자(입자가 자기 자신에게는 힘을 미치지 않으므로 \(\mathbf{F}_{ii}=\mathbf{0}\)). 그러면 입자 \(i\)의 운동방정식은$$\mathbf{F}_{i}+\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}=m_{i}\ddot{\mathbf{r}_{i}}=\dot{\mathbf{p}_{i}}$$이고 \(\mathbf{F}_{i}\)는 입자 \(i\)에 작용하는 전체 외부 작용력이다. 위 식을 \(n\)개의 입자 전체에 대해 더하면$$\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{F}_{i}}+\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i=1}^{n}{\dot{\mathbf{p}_{i}}}$$이고 뉴턴의 운동 제 3법칙에 의해 \(\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\)이므로$$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i<j}{(\mathbf{F}_{ij}+\mathbf{F}_{ji})}=\mathbf{0}$$이고 따라서$$\sum_{i}{\mathbf{F}_{i}}=\dot{\mathbf{p}}=m\mathbf{a}_{cm}$$이다. 이것은 입자계에서 질량중심의 가속도는 입자계의 전체 질량과 같은 질량을 갖는 단일 입자에 전체의 외력이 작용할 때의 가속도와 같다는 것을 뜻한다.

입자계에 작용하는 외력이 없거나 상쇄되면 \(\displaystyle\sum_{i}{\mathbf{F}_{i}}=\mathbf{0}\)이므로 \(\mathbf{a}_{cm}=\mathbf{0}\)이고 \(\mathbf{v}_{cm}\)은 상수이다. 그러므로 입자계의 선운동량$$\sum_{i}{\mathbf{p}_{i}}=\mathbf{p}=m\mathbf{v}_{cm}$$은 상수벡터이고 이것은 선운동량 보존 법칙이다. 선운동량 보존 법칙은 뉴턴의 운동 제 3법칙으로부터 얻어진 결과이다.

한 입자의 각운동량은 \(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}\)이므로 어떤 입자계의 각운동량은$$\mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$이고$$\begin{align*}\frac{d\mathbf{L}}{dt}&=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{v}_{i}\times m\mathbf{v}_{i}}+\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times m\mathbf{a}_{i}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{\left\{\mathbf{r}_{i}\times\left(\mathbf{F}_{i}+\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}\right)\right\}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{i}}+\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{ij}}}\end{align*}$$여기서 \(\mathbf{F}_{i}\)는 입자 \(i\)에 작용하는 모든 외력이고, \(\mathbf{F}_{ij}\)는 입자 \(j\)가 입자 \(i\)에 작용하는 내력이다. 이때$$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i<j}{(\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{ij}+\mathbf{r}_{j}\times\mathbf{F}_{ji})}$$입자 \(i\)에 대한 입자 \(j\)의 변위벡터를 \(\mathbf{r}_{ij}\)라고 하면(아래 그림 참고)

$$\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}$$이고 뉴턴의 운동 제 3법칙에 의해 \(\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\)이며 \(\mathbf{r}_{ij}\)와 \(\mathbf{F}_{ij}\)는 입자들을 연결하는 직선상에 있으므로$$\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\mathbf{F}_{ij}}}=\sum_{i<j}{\mathbf{r}_{ij}\times\mathbf{F}_{ij}}=\mathbf{0}$$이고 전체의 외부 모멘트인 토크가\(\displaystyle\mathbf{N}=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{i}}\)이므로 따라서$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}$$이다. 이것은 어떤 입자계의 각운동량의 시간에 대한 변화율이 모든 외력이 그 입자계에 작용하는 모멘트의 합과 같다는 것을 뜻한다..

입자계가 고립되어 있으면 \(\mathbf{N}=\mathbf{0}\)이므로 각운동량$$\mathbf{L}=\sum_{i}{\mathbf{r}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$는 크기와 방향이 일정한 상수벡터이고 이것은 각운동량 보존법칙이다.

아래의 그림에서

$$\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i}$$이고 여기서 \(\overline{\mathbf{r}}_{i}\)는 질량중심에 대한 입자 \(i\)의 위치벡터이다. 위 식을 시간에 대해 미분하면$$\mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i}$$이고 \(\mathbf{v}_{cm}\)은 질량중심의 속도, \(\overline{\mathbf{v}}_{i}\)는 질량중심에 대한 입자 \(i\)의 상대속도이다. 그러므로 각운동량 \(\mathbf{L}\)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\mathbf{L}&=\sum_{i}{(\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i})\times m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})}\\&=\sum_{i}{\mathbf{r}_{cm}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}}+\sum_{i}{\mathbf{r}_{cm}\times m\overline{\mathbf{v}}_{i}}+\sum_{i}{\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}}+\sum_{i}{\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}_{i}}}\\&=\mathbf{r}_{cm}\times\left(\sum_{i}{m_{i}}\right)\mathbf{v}_{cm}+\mathbf{r}_{cm}\times\sum_{i}{m_{i}\overline{\mathbf{v}_{i}}}+\left(\sum_{i}{m_{i}\overline{r}_{i}}\right)\times\mathbf{v}_{cm}+\sum_{i}{\overline{r}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}\end{align*}$$이때 질량중심의 정의에 의해$$\sum_{i}{m_{i}\overline{r}_{i}}=\sum_{i}{m_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm})}=\sum_{i}{m_{i}\mathbf{r}_{i}}-m\mathbf{r}_{cm}=\mathbf{0}$$이므로$$\sum_{i}{m_{i}\overline{v}_{i}}=\sum_{i}{m_{i}\mathbf{v}_{i}}-m\mathbf{v}_{cm}=\mathbf{0}$$이고$$\mathbf{L}=\mathbf{r}_{cm}\times m\mathbf{v}_{cm}+\sum_{i}{\overline{\mathbf{r}}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}$$이다. 여기서 \(\mathbf{r}_{cm}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}\)를 질량중심 자체의 궤도 운동부분, \(\displaystyle\sum_{i}{\overline{r}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}\)를 질량줌심 주위에 대한 스핀 운동부분이라고 한다.

입자계의 전체 운동에너지 \(T\)는 입자들 각각의 운동에너지의 합이다.$$T=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}}=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}(\mathbf{v}_{i}\cdot\mathbf{v}_{i})}$$이므로 질량중심에 대한 상대속도를 이용하여 나타내면$$\begin{align*}T&=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i})}\\&=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}v_{cm}^{2}}+\sum_{i}{m_{i}(\mathbf{v}_{cm}\cdot\overline{\mathbf{v}}_{i})}+\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}\\&=\frac{1}{2}v_{cm}^{2}\sum_{i}{m_{i}}+\mathbf{v}_{cm}\cdot\sum_{i}{m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}+\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}\end{align*}$$이고 앞에서와 같이 질량중심의 정의에 의해 \(\displaystyle\sum_{i}{m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}}=\mathbf{0}\)이므로$$T=\frac{1}{2}mv_{cm}^{2}+\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}$$이다. 여기서 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{cm}^{2}\)는 전체 입자계가 병진운동을 할 때의 운동에너지이고, \(\displaystyle\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}\overline{v}_{i}^{2}}\)는 질량중심에 대한 운동에너지이다.

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning