[고전역학] 13. 입자계의 운동(2: 충돌, 로켓의 운동)

[고전역학] 13. 입자계의 운동(2: 충돌, 로켓의 운동)

두 물체가 충돌로 인해 접촉하는 순간은 하나의 물체처럼 되어 서로 상대에게 미치는 힘은 내부력이 된다. 선운동량 보존법칙에 의해$$\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}=\mathbf{p}_{1}'+\mathbf{p}_{2}'$$이므로$$m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2}=m_{1}\mathbf{v}_{1}'+m_{2}\mathbf{v}_{2}'$$이고 여기서 첨자 \(1,\,2\)는 두 물체를 나타내고, 위 식의 좌변은 충돌 전의 선운동량, 우변은 충돌 후의 선운동량이며 물체의 모양 또는 탄성에 관계없이 항상 성립한다.

충돌 전과 후의 에너지를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}=\frac{p_{1}'^{2}}{2m_{1}}+\frac{p_{2}'^{2}}{2m_{2}}+Q$$또는$$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}+Q$$여기서 \(Q\)는 충돌의 결과로 인해 얻어지거나 잃게되는 에너지이다.

탄성충돌(elastic collision)의 경우, 전체 에너지가 변하지 않으므로 \(Q=0\)이다.

발열충돌(exoergic collision)의 경우, 에너지의 손실이 있으므로 \(Q<0\)이다.

흡열충돌(endoergic collision)의 경우, 에너지를 얻으므로 \(Q>0\)이다.(예: 두 물체가 접촉하는 순간 한 물체에서 폭발이 일어남)

다음의 그림처럼 두 물체가 1차원에서 충돌할 때

운동량 보존법칙에 의해$$m_{1}\dot{x}_{1}+m_{2}\dot{x}_{2}=m_{1}\dot{x}_{1}'+m_{2}\dot{x}_{2}'$$이고, 이때는 반발계수(coefficient of restitution) \(\epsilon\)을 다음과 같이 정의하는게 편리하다.$$\epsilon=\frac{|\dot{x}_{2}'-\dot{x}_{1}'|}{|\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}|}$$탄성충돌일 때는 \(Q=0\)이므로 \(\epsilon=1\)이다. 실제로 일어나는 충돌의 대부분은 비탄성 충돌(inelastic collision)이고, 이때 \(0<\epsilon<1\)이고 반발계수는 0과 1 사이의 값을 갖는다.

완전 비탄성 충돌(totally inelastic collision)의 경우, 충돌 후 두 물체가 한 덩어리가 되고, \(\epsilon=0\)이다.

반발계수를 이용하여 충돌 후의 속도를 구하면$$\begin{align*}\dot{x}_{1}'&=\frac{(m_{1}-\epsilon m_{2})\dot{x}_{1}+(m_{2}+\epsilon m_{2})\dot{x}_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\ \dot{x}_{2}'&=\frac{(m_{1}+\epsilon m_{1})\dot{x}_{1}+(m_{2}-\epsilon m_{1})\dot{x}_{2}}{m_{1}+m_{2}}\end{align*}$$이다. 

완전 비탄성 충돌인 경우 \(\epsilon=0\)이므로 \(\dot{x}_{1}'=\dot{x}_{2}'\)이고, 두 물체의 질량이 같고 탄성충돌인 경우 \(\epsilon=1\)이므로 \(\dot{x}_{1}'=\dot{x}_{2}\), \(\dot{x}_{2}'=\dot{x}_{1}\)이다.

비탄성 충돌을 할 때, 앞에서 언급했던 \(Q\)를 반발계수를 이용하여 나타내면$$Q=\frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v^{2}(1-\epsilon^{2})$$이고 여기서 \(v=|\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}|\)은 충돌 전의 상대속도이다.

충돌할 때의 짧은 순간에 작용하는 힘을 충격력(impulsive force)이라고 한다. 단일 입자의 운동방정식$$\mathbf{F}=\frac{d(m\mathbf{v})}{dt}$$에서 \(d(m\mathbf{v})=\mathbf{F}dt\)이므로 힘이 작용하는 시간이 \(t=t_{1}\)에서 \(t=t_{2}\)일 때,$$\mathbf{P}=\Delta(m\mathbf{v})=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\mathbf{F}dt}$$이고 이 값을 충격량(impulse)이라고 한다. 이상적인 충격량(ideal impulse)은 엄청 큰 힘이 시간간격이 거의 0일 정도로 짧은 순간에 작용하는 경우로, 이 경우 충격량은 유한하고 입자의 위치는 변하지 않으며 운동량과 숙도만 순간적으로 변한다.

수평면에 정지 상태로 놓여있는 질량이 \(M\)인 나무토막을 정면에서 사격했다. 질량이 \(m\)인 총알은 나무토막에 박혀서 \(s\)만큼 이동한 후 정지했다. 토막과 수평면 사이의 운동마찰계수가 \(\mu_{k}\), 총알의 초기속도가 \(\dot{x}_{0}\), 충돌 후 나무토막과 총알의 속도가 \(\dot{x}_{0}'\)일 때

운동량 보존법칙에 의해$$m\dot{x}_{0}=(M+m)\dot{x}_{0}'$$이고, 마찰력의 크기는$$(M+m)\mu_{k}g=(M+m)a\,(a=-\ddot{x})$$이므로 \(a=\mu_{k}g\)이고$$s=\frac{x_{0}'^{2}}{2\mu_{k}g}=\frac{1}{2\mu_{k}g}\left(\frac{m\dot{x}_{0}}{M+m}\right)^{2}\,(v_{0}^{2}=2as)$$이므로$$\dot{x}_{0}=\frac{M+m}{m}\sqrt{2\mu_{k}gs}$$이다.

여기서는 일반적인(2, 3차원) 운동에 대해서 다룰 것이다. 질량이 \(m_{1}\)이고 속도가 \(\mathbf{v}_{1}\)인 입사 입자가 정지 상태에 있는 질량이 \(m_{2}\)인 표적 입자에 충돌하면, 운동량 보존법칙에 의해$$\begin{align*}\mathbf{p}_{1}&=\mathbf{p}_{1}'+\mathbf{p}_{2}'\\m_{1}\mathbf{v}_{1}&=m_{1}\mathbf{v}_{1}'+m_{2}\mathbf{v}_{2}'\end{align*}$$이고,$$\begin{align*}\frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}}&=\frac{p_{1}'^{2}}{2m_{1}}+\frac{p_{2}'^{2}}{2m_{2}}+Q\\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}&=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}+Q\end{align*}$$(\(Q\)는 충돌의 결과로 얻거나 잃는 에너지)이다.

다음 그림은 실험실 좌표계와 질량중심 좌표계에서의 충돌을 나타낸 것이다.

질량중심의 정의에서 충돌 전후의 질량중심 좌표계에서 측정한 전체 운동량은 0이 되므로$$\begin{align*}\overline{p}_{1}+\overline{p}_{2}&=\mathbf{0}\\ \overline{p}_{1}'+\overline{p}_{2}'&=\mathbf{0}\end{align*}$$(막대 표시는 질량중심 좌표계에서의 물리량을 뜻한다)이고,$$\frac{\overline{p}_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{\overline{p}_{2}^{2}}{2m_{2}}=\frac{\overline{p}_{1}'^{2}}{2m_{1}}+\frac{\overline{p}_{2}'^{2}}{2m_{2}}+Q$$이므로$$\frac{m_{1}+m_{2}}{2m_{1}m_{2}}\overline{p}_{1}^{2}=\frac{m_{1}+m_{2}}{2m_{1}m_{2}}\overline{p}_{1}'^{2}+Q$$이고 앞의 두 운동량을 속도로 나타내면$$\begin{align*}m_{1}\overline{\mathbf{v}}_{1}+m_{2}\overline{\mathbf{v}}_{2}&=\overline{0}\\m_{1}\overline{\mathbf{v}}_{1}'+m_{2}\overline{\mathbf{v}}_{2}'&=\mathbf{0}\end{align*}$$이고 질량중심의 속도는 \(\displaystyle\mathbf{v}_{cm}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\mathbf{v}_{1}\)이므로(아래 그림 참고)$$\overline{v}_{1}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{cm}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\mathbf{v}_{1}$$이고, 속도벡터 \(\mathbf{v}_{cm},\,\mathbf{v}_{1}',\,\overline{\mathbf{v}}_{1}'\)사이의 관계는 다음 그림에 나와있다.

위 그림에서$$\begin{align*}v_{1}'\sin\phi_{1}&=\overline{v}_{1}'\sin\theta\\ v_{1}'\cos\phi_{1}&=\overline{v}_{1}'\cos\theta+v_{cm}\end{align*}$$이고 이 식으로부터$$\begin{align*}\tan\phi_{1}&=\frac{\sin\theta}{\gamma+\cos\theta}\\ \gamma&=\frac{v_{cm}}{\overline{v}_{1}'}=\frac{m_{1}v_{1}}{\overline{v}'_{1}(m_{1}+m_{2})}\end{align*}$$이다.

탄성 충돌의 경우 \(Q=0\)이므로 \(\overline{p}_{1}=\overline{p}_{1}',\,\overline{v}_{1}=\overline{v}_{1}'\)이고$$\gamma=\frac{m_{1}}{m_{2}}$$이다.

이 상황에서 \(m_{2}\gg m_{1}\)이면, \(\gamma\approx0\)이므로 \(\tan\phi_{1}\approx\tan\theta\)이고 \(\phi_{1}\approx\theta\)이다.

\(m_{1}=m_{2}\)이면, \(\gamma=1\)이고,$$\tan\phi_{1}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\frac{\theta}{2}$$이므로 \(\displaystyle\theta_{1}=\frac{\theta}{2}\)이다.

비탄성 충돌의 경우는$$\gamma=\frac{m_{1}}{m_{2}}\left\{1-\frac{Q}{T}\left(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}}$$이고 여기서 \(T\)는 실험실 좌표계에서 측정한 입사 입자의 운동에너지이다.

질량이 \(m_{1}\)인 입자가 질량이 \(m_{2}\)인 정지표적에 탄성충돌하는 경우 운동량 보존법칙과 에너지 보존법칙으로부$$\begin{align*}\overline{\mathbf{p}}_{1}+\overline{\mathbf{p}}_{2}&=\overline{\mathbf{p}}_{1}'+\overline{\mathbf{p}}_{2}'=\mathbf{0}\\ \frac{\overline{p}_{1}'^{2}}{2m_{1}}+\frac{\overline{p}_{2}'^{2}}{2m_{2}}&=\frac{\overline{p}_{1}'^{2}}{2m_{1}}+\frac{\overline{p}_{2}'^{2}}{2m_{2}}\end{align*}$$이고$$\overline{p}_{1}=\overline{p}_{2},\,\overline{p}_{1}'=\overline{p}_{2}'$$이므로$$\frac{m_{1}+m_{2}}{2m_{1}m_{2}}\overline{p}_{2}^{2}=\frac{m_{1}+m_{2}}{2m_{1}m_{2}}\overline{p}_{2}'^{2}$$이고 따라서 \(\overline{v}_{2}'=\overline{v}_{2}=v_{cm}\)이다. 또한 운동량 보존법칙에서$$\overline{v}_{1}'=\overline{v}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}}\overline{v}_{2}'=\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{cm}$$이다.

위 그림은 탄성충돌이 일어날 때의 속도벡터들을 나타낸 것이고 이 그림으로부터$$\psi=\phi_{1}+\phi_{2},\,\phi_{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\,(2\phi_{2}=\pi-\theta)$$이다.

위 그림의 윗부분 삼각형에 사인법칙을 적용하면$$\frac{v'}{\sin\phi_{1}}=\frac{v_{cm}}{\sin(\theta-\phi_{1})},\,v'=\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{cm}$$이므로$$\theta=\phi_{1}+\sin^{-1}\left(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin\phi_{1}\right)$$이고 두 입자 사이의 진행각도를 \(\psi\)라고 하면$$\begin{align*}\psi&=\phi_{1}+\phi_{2}=\phi_{1}+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)\\&=\frac{\pi}{2}+\frac{\phi_{1}}{2}-\frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin\phi_{1}\right)\end{align*}$$이다.

로켓의 운동

다음의 그림은 외력이 없는 자유공간에서 운동하는 로켓을 나타낸 것이다.

시간 \(t\)에서의 우주선의 총 질량은 \(m\)이고, 이 때의 순간속도는 관성기준계에서 \(v\)이며 시간간격 \(dt\)동안 질량 \(dm'\)이 우주선에 대해 \(-u\)의 속도로 로켓엔진에서 분출된다. 운동은 양의 \(x\)방향으로만 이루어진다고 하자. 

\(dm'\)이 분출될 때의 우주선의 질량과 속도는 각각 \(m-dm'\), \(v+dv\)이므로

분출 전의 운동량은 \(mv\) (시간 \(t\)에서)

분출 후의 운동량은 \((m-dm')(v+dv)+dm'(v-u)\) (시간 \(t+dt\)에서)

이고 분출된 질량 \(dm'\)의 기준계에 대한 속력은 \(v-u\)이다. 외력이 없기 때문에 선운동량 보존법칙에 의해$$\begin{align*}mv&=(m-dm')(v+dv)+dm'(v-u)\\&=mv+mdv-vdm'-dm'dv+vdm'-udm'\end{align*}$$이고 \(dm'dv\approx0\)이라고 하면 \(mdv=udm'\)이고$$dv=\frac{u}{m}dm'$$이다. \(dm'\)은 우주선으로부터 분출된 질량이고 우주선 자체의 질량변화가 \(dm\)이므로 \(dm=-dm'\)이고 따라서$$dv=-\frac{u}{m}dm$$이다. 우주선의 초기 질량과 초기 속력을 각각 \(m_{0},\,v_{0}\)이라고 하면$$\begin{align*}\int_{v_{0}}^{v}{dv}&=-u\int_{m_{0}}^{m}{\frac{1}{m}dm}\\v-v_{0}&=u\ln\frac{m_{0}}{m}\end{align*}$$이고$$v=v_{0}+u\ln\frac{m_{0}}{m}$$이다.

이 결과는 우주선의 속력을 극대화 하기 위해서는 질량비 \(\displaystyle\frac{m_{0}}{m}\)의 값이 커야 함을 보여준다.

질량비를 높이기 위해서 다단계 로켓이 만들어졌다. \(m_{0}\)을 우주선의 초기 총 질량, \(m_{1}=m_{a}+m_{b}\)(\(m_{a}\)는 제 1단계 하중질량, \(m_{b}\)는 제 1단계 연료탱크의 질량), \(v_{1}\)을 연료가 다 소모된 후의 제 1단계 최종속력, \(m_{2}=m_{c}+m_{d}\)(\(m_{c}\)는 제 2단계 하중질량, \(m_{d}\)는 제 2단계 연료탱크의 질량), \(v_{2}\)를 연료가 다 소모된 후의 제 2단계 최종속력이라고 하자.$$v_{1}=v_{0}+u\ln\frac{m_{0}}{m_{1}}$$이고, 제 2단계에서의 우주선의 초기 총 질량이 \(m_{a}\)이므로$$\begin{align*}v_{2}&=v_{1}+u\ln\frac{m_{a}}{m_{2}}\\&=v_{0}+u\ln\left(\frac{m_{0}m_{a}}{m_{1}m_{2}}\right)\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\frac{m_{0}m_{a}}{m_{1}m_{2}}\)의 값이 \(\displaystyle\frac{m_{0}}{m_{1}}\)의 값보다 훨씬 크므로 다단계 로켓이 많이 사용된다.

로켓이 다음의 그림처럼 중력을 받는다고 하자.

이 경우 \(dm'\)은 양의 값이고 \(dm=-dm'\)이다. 또한 외력이 중력이므로 \(\displaystyle F_{\text{ext}}=\frac{d}{dt}(mv)=\frac{dp}{dt}=-mg\)이고$$\begin{align*}F_{\text{ext}}dt&=p(t+dt)-p(t)\\&=mdv+vdm\\&=-mgdt\end{align*}$$이므로$$-mg=m\dot{v}+u\dot{m}$$이다. 연료를 소모하는 비율은 일정하므로$$\dot{m}=\frac{dm}{dt}=-\alpha\,(\alpha>0)$$이고$$dv=\left(-g+\frac{\alpha}{m}u\right)dt=\left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m}\right)dm$$이므로 초기속도를 \(0\), 최종속도를 \(v\), 초기질량을 \(m_{0}\), 최종질량을 \(m\)이라고 하면$$\begin{align*}\int_{0}^{v}{dv}&=\int_{m_{0}}^{m}{\left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m}\right)dm}\\v&=-\frac{g}{\alpha}(m_{0}-m)+u\ln\frac{m_{0}}{m}\end{align*}$$이고$$\begin{align*}\int_{m_{0}}^{m}{dm}&=-\alpha\int_{0}^{t}{dt}\\m_{0}-m&=\alpha t\end{align*}$$이므로$$v=-gt+u\ln\frac{m_{0}}{m}$$이다.

참고자료:

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning