27. 편각원리, 루셰 정리

27. 편각원리, 루셰 정리

함수 $f$가 극점을 제외하고 영역 $D$에서 해석적이면, $f$를 $D$에서의 유리형 함수(meromorphic function)라고 한다.

$f$가 아래 그림의 양의 방향의 단순닫힌경로 $C$의 내부에서 유리형 함수이고 $C$에서 해석적이고 $0$이 아니라고 하자. $C$의 변환 $w=f(z)$에 의한 상 $\Gamma$는 일반적으로 단순곡선이 아니지만 닫힌경로이고 $f$가 $C$에서 $0$이 아니므로 $w$평면의 원점을 지나지 않는다.

$w_{0}=f(z_{o}),\,w=f(z)$, $\phi_{0}$를 $\text{arg}w_{0}$의 값들 중 하나라고 하자. 그러면 점 $w$가 $w_{0}$에서 출발해 $w=f(z)$에 의해 결정되는 방향으로 움직여서 $w_{0}$로 되돌아오면 $\text{arg}w$는 $\text{arg}w_{0}$의 특정한 값을 갖고 이 값을 $\phi_{1}$이라고 하면 $w$가 $w_{0}$에서 한 바퀴 회전할 때 $\text{arg}w$는 $\phi_{1}-\phi_{0}$만큼 변한다. $\phi_{1}-\phi_{0}$은 점 $z$가 $z_{0}$에서 출발해서 $C$의 양의 방향으로 한 바퀴 회전할 때 $f(z)$의 편각의 변화이고 $\Delta_{C}\text{arg}f(z)=\phi_{1}-\phi_{0}$로 나타낸다. 이때 $\Delta_{C}\text{arg}f(z)$는 $2\pi$의 정수배이고, 따라서 $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)$는 정수이고 이 정수는 점 $w$가 $w$평면에서 원점둘레를 회전한 회수이므로 원점 $w=0$에 대한 $\Gamma$의 회전수(winding number)라고 한다.

$\Gamma$가 원점둘레를 반시계방향으로 회전하면 회전수는 양수이고, 시계방향으로 회전하면 회전수는 음수이며, $\Gamma$가 원점을 둘러싸지 않으면 회전수는 $0$이다.

회전수는 $C$내부에 있는 $f$의 영점과 극점의 개수를 이용하여 결정할 수 있다. 이때 극점의 개수는 항상 유한하고 $f(z)$가 $C$내부의 다른 모든 점에서 항상 $0$이 아니면 $f$의 영점과 그 차수는 항상 유한하다.

편각원리(argument principle)

(1) $f(z)$는 양의 방향의 단순닫힌경로 $C$의 내부에서 유리형 함수이다.

(2) $f(z)$는 $C$에서 해석적이고 $0$이 아니다.

(3)$C$의 내부에서 $f$의 영점이 $Z$개, 극점이 $P$개 있다고 하자(점 $z_{0}$가 $f$의 $m_{0}$차 영점이면 $z_{0}$에 $m_{0}$개의 영점이 있고, $z_{0}$이 $f$의 $m_{p}$차 극점이면 $z_{0}$에 $m_{p}$개의 극점이 있다고 한다).

그러면 $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P$이다.

증명: $C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$라고 하면 $\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{f'(z(t))z'(t)}{f(z(t))}dt}$이고 $w=f(z)$에 의한 $C$의 상 $\Gamma$는 원점을 지나지 않으므로 $w=\rho(t)e^{i\phi(t)}\,(a\leq t\leq b)$로 나타낼 수 있고 경로 $\Gamma$의 매끄러운 호에서 $$f'(z(t))z'(t)=\frac{d}{dt}f(z(t))=\frac{d}{dt}\left\{\rho(t)e^{i\phi(t)}\right\}=\rho'(t)e^{i\phi(t)}+i\rho(t)e^{i\phi(t)}\phi'(t)$$ 이고 $\rho'(t)$와 $\phi'(t)$는 $a\leq t\leq b$에서 조각연속이므로 $\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{\rho'(t)}{\rho(t)}dt}+i\int_{a}^{b}{\phi'(t)dt}$이며 $\rho(b)=\rho(a)$, $\phi(b)-\phi(a)=\Delta_{C}\text{arg}f(z)$이므로 $\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=i\Delta_{C}\text{arg}f(z)$이다.

한편 $z_{0}$가 $f$의 $m_{0}$차 영점이면 $z_{0}$에서 해석적이고 $0$이 아닌 해석함수 $g(z)$가 존재해서 $f(z)=(z-z_{0})^{m_{0}}g(z)$이고 $f'(z_{0})=m_{0}(z-z_{0})^{m_{0}-1}g(z)+(z-z_{0})^{m_{0}}g'(z)$이므로 $\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{m_{0}}{z-z_{0}}+\frac{g'(z)}{g(z)}$이다. 그러면 $z=z_{0}$에서 $\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}$의 유수는 $m_{0}$이다.

이와 비슷하게 $z_{0}$가 $f$의 $m_{p}$차 극이면, $z=z_{0}$에서 $\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}$의 유수는 $-m_{p}$이다.

그러므로 유수정리로부터 $\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i(Z-P)$이다.

결과를 종합하여 $\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P$를 얻는다.

$z=0$은 복소함수 $\displaystyle\frac{1}{z^{2}}$의 2차 극이다. $C$를 양의 방향의 단위원이라고 하면 이 복소함수는 단위원에서 해석적이고 $0$이 아니므로 편각원리로부터 $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}\frac{1}{z^{2}}=-2$이다.

루셰 정리(Rouche's theorem)

$C$를 단순 닫힌 경로라고 하고

(1) $f(z),\,g(z)$모두 $C$와 그 내부에서 해석적이다.

(2) $z\in C$에 대하여 $|f(z)|>|g(z)|$이다.

그러면 $C$의 내부에서 $f(z)$와 $f(z)+g(z)$의 영점의 개수는 서로 같다.

증명: $h(z)=f(z)+g(z)$라고 하자. 그러면 $z\in C$에 대하여 $|f(z)|>|f(z)-h(z)|$이고 $\displaystyle k(z)=\frac{h(z)}{f(z)}$라고 하면 $$\frac{k'(z)}{k(z)}=\frac{f(z)}{h(z)}\cdot\frac{h'(z)f(z)-h(z)f'(z)}{\{f(z)\}^{2}}=\frac{h'(z)}{h(z)}-\frac{f'(z)}{f(z)}$$ 이고 $C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$라고 하면 $$\int_{C}{\frac{h'(z)}{h(z)}dz}-\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{C}{\frac{k'(z)}{k(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{k'(z(t))}{k(z(t))}z'(t)dt}=\int_{k[C]}{\frac{1}{z}dz}$$ 이다. $\displaystyle|k(z(t))-1|=\left|\frac{h(z(t))}{f(z(t))}-1\right|<1$이므로 곡선 $k[C]$는 원판 $|z-1|<1$위에 있고, 이 원판에서 $\displaystyle\frac{1}{z}$가 해석적이므로 $\displaystyle\int_{C}{\frac{h'(z)}{h(z)}dz}-\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{k[C]}{\frac{1}{z}dz}=0$이고 $\displaystyle\int_{C}{\frac{h'(z)}{h(z)}}dz=\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}$이므로 편각원리의 증명과정으로부터 $f(z)$와 $h(z)=f(z)+g(z)$의 영점의 수는 같다.

원 $|z|=1$의 내부에 속한 방정식 $z^{7}-4z^{3}+z-1=0$의 근의 개수를 구하자.

$f(z)=-4z^{3},\,g(z)=z^{7}+z-1$이라고 하면 $|z|=1$일 때 $|f(z)|=4|z|^{3}=4$, $|g(z)|\leq|z|^{7}+|z|+1=3$이므로 이 두 함수는 루셰 정리의 가정을 만족시킨다. 따라서 원 $|z|=1$의 내부에 방정식 $f(z)=0$의 근의 개수가 $3$이므로 $f(z)+g(z)=z^{7}-4z^{3}+z-1=0$의 근의 개수도 $3$이다.

루셰 정리를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명할 수 있다. $n\,(n\geq1)$차 다항함수 $P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}\,(a_{n}\neq0)$에 대하여 $f(z)=a_{n}z^{n}$, $g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}$라고 하자. 

$|z|>1$이면 $$\begin{align*}\left|\frac{g(z)}{f(z)}\right|&\leq\frac{(|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots+|z_{n-1}|)|z|^{n-1}}{|a_{n}||z|^{n}}\\&=\frac{|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots+|a_{n-1}|}{|a_{n}||z|}\end{align*}$$ 이다. $\displaystyle R=\max\left\{1,\,\frac{|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots+|a_{n-1}|}{|a_{n}|}\right\}$라고 하면 $|z|>R$일 때 $\displaystyle\left|\frac{g(z)}{f(z)}\right|<1$이므로 $|z|>R$일 때 $|f(z)|>|g(z)|$이고 루셰 정리에 의해 $C: |z|=R$의 내부에서 $f(z)$와 $f(z)+g(z)$의 영점의 개수는 같다. 따라서 $P(z)$는 $n$개의 영점을 갖는다.

원환 $1\leq|z|<2$위에서 방정식 $2z^{5}-6z^{2}+z+1=0$의 해의 개수를 구하자. 이 경우는 $|z|=2$인 경우에 구한 해의 개수를 $|z|=1$인 경우에 구한 해의 개수로 빼주면 된다.

$|z|=2$일 때 $f(z)=2z^{5}$, $g(z)=-6z^{2}+z+1$라고 하면 $|f(z)|=2|z|^{5}=2^{6}=64$, $|g(z)|=|-6z^{2}+z+1|\leq6|z|^{2}+|z|+1=24+2+1=27$이므로 $|f(z)|>|g(z)|$이고 $|z|=2$일 때 방정식 $f(z)=0$의 해의 개수가 $5$이므로 따라서 $2z^{5}-6z^{2}+z+1=0$의 해는 $5$개 이다.

$|z|=1$일 때 $f(z)=-6z^{2}$, $g(z)=2z^{5}+z+1$이라고 하면 $|f(z)|=6|z|^{2}=6$, $|g(z)|=|2z^{5}+z+1|\leq2|z|^{5}+|z|+1=4$이므로 $|f(z)|>|g(z)|$이고 $|z|=1$일 때 방정식 $f(z)=0$의 해의 개수가 $2$이므로 따라서 $2z^{5}-6z^{2}+z+1=0$의 해는 $2$개 이다.

그러므로 원환에서의 방정식의 해의 개수는 $5-2=3$이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill

기초 복소해석, 계승혁, 김영원, 서울대학교출판문화원