27. 편각원리, 루셰 정리

27. 편각원리, 루셰 정리

함수 \(f\)가 극점을 제외하고 영역 \(D\)에서 해석적이면, \(f\)를 \(D\)에서의 유리형 함수(meromorphic function)라고 한다.

\(f\)가 아래 그림의 양의 방향의 단순닫힌경로 \(C\)의 내부에서 유리형 함수이고 \(C\)에서 해석적이고 \(0\)이 아니라고 하자. \(C\)의 변환 \(w=f(z)\)에 의한 상 \(\Gamma\)는 일반적으로 단순곡선이 아니지만 닫힌경로이고 \(f\)가 \(C\)에서 \(0\)이 아니므로 \(w\)평면의 원점을 지나지 않는다.

\(w_{0}=f(z_{o}),\,w=f(z)\), \(\phi_{0}\)를 \(\text{arg}w_{0}\)의 값들 중 하나라고 하자. 그러면 점 \(w\)가 \(w_{0}\)에서 출발해 \(w=f(z)\)에 의해 결정되는 방향으로 움직여서 \(w_{0}\)로 되돌아오면 \(\text{arg}w\)는 \(\text{arg}w_{0}\)의 특정한 값을 갖고 이 값을 \(\phi_{1}\)이라고 하면 \(w\)가 \(w_{0}\)에서 한 바퀴 회전할 때 \(\text{arg}w\)는 \(\phi_{1}-\phi_{0}\)만큼 변한다. \(\phi_{1}-\phi_{0}\)은 점 \(z\)가 \(z_{0}\)에서 출발해서 \(C\)의 양의 방향으로 한 바퀴 회전할 때 \(f(z)\)의 편각의 변화이고 \(\Delta_{C}\text{arg}f(z)=\phi_{1}-\phi_{0}\)로 나타낸다. 이때 \(\Delta_{C}\text{arg}f(z)\)는 \(2\pi\)의 정수배이고, 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)\)는 정수이고 이 정수는 점 \(w\)가 \(w\)평면에서 원점둘레를 회전한 회수이므로 원점 \(w=0\)에 대한 \(\Gamma\)의 회전수(winding number)라고 한다.

\(\Gamma\)가 원점둘레를 반시계방향으로 회전하면 회전수는 양수이고, 시계방향으로 회전하면 회전수는 음수이며, \(\Gamma\)가 원점을 둘러싸지 않으면 회전수는 \(0\)이다.

회전수는 \(C\)내부에 있는 \(f\)의 영점과 극점의 개수를 이용하여 결정할 수 있다. 이때 극점의 개수는 항상 유한하고 \(f(z)\)가 \(C\)내부의 다른 모든 점에서 항상 \(0\)이 아니면 \(f\)의 영점과 그 차수는 항상 유한하다.

편각원리(argument principle)

(1) \(f(z)\)는 양의 방향의 단순닫힌경로 \(C\)의 내부에서 유리형 함수이다.

(2) \(f(z)\)는 \(C\)에서 해석적이고 \(0\)이 아니다.

(3)\(C\)의 내부에서 \(f\)의 영점이 \(Z\)개, 극점이 \(P\)개 있다고 하자(점 \(z_{0}\)가 \(f\)의 \(m_{0}\)차 영점이면 \(z_{0}\)에 \(m_{0}\)개의 영점이 있고, \(z_{0}\)이 \(f\)의 \(m_{p}\)차 극점이면 \(z_{0}\)에 \(m_{p}\)개의 극점이 있다고 한다).

그러면 \(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P\)이다.

증명: \(C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)\)라고 하면 \(\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{f'(z(t))z'(t)}{f(z(t))}dt}\)이고 \(w=f(z)\)에 의한 \(C\)의 상 \(\Gamma\)는 원점을 지나지 않으므로 \(w=\rho(t)e^{i\phi(t)}\,(a\leq t\leq b)\)로 나타낼 수 있고 경로 \(\Gamma\)의 매끄러운 호에서$$f'(z(t))z'(t)=\frac{d}{dt}f(z(t))=\frac{d}{dt}\left\{\rho(t)e^{i\phi(t)}\right\}=\rho'(t)e^{i\phi(t)}+i\rho(t)e^{i\phi(t)}\phi'(t)$$이고 \(\rho'(t)\)와 \(\phi'(t)\)는 \(a\leq t\leq b\)에서 조각연속이므로 \(\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{\rho'(t)}{\rho(t)}dt}+i\int_{a}^{b}{\phi'(t)dt}\)이며 \(\rho(b)=\rho(a)\), \(\phi(b)-\phi(a)=\Delta_{C}\text{arg}f(z)\)이므로 \(\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=i\Delta_{C}\text{arg}f(z)\)이다.

한편 \(z_{0}\)가 \(f\)의 \(m_{0}\)차 영점이면 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(0\)이 아닌 해석함수 \(g(z)\)가 존재해서 \(f(z)=(z-z_{0})^{m_{0}}g(z)\)이고 \(f'(z_{0})=m_{0}(z-z_{0})^{m_{0}-1}g(z)+(z-z_{0})^{m_{0}}g'(z)\)이므로 \(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{m_{0}}{z-z_{0}}+\frac{g'(z)}{g(z)}\)이다. 그러면 \(z=z_{0}\)에서 \(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}\)의 유수는 \(m_{0}\)이다.

이와 비슷하게 \(z_{0}\)가 \(f\)의 \(m_{p}\)차 극이면, \(z=z_{0}\)에서 \(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}\)의 유수는 \(-m_{p}\)이다.

그러므로 유수정리로부터 \(\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i(Z-P)\)이다.

결과를 종합하여 \(\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P\)를 얻는다.

\(z=0\)은 복소함수 \(\displaystyle\frac{1}{z^{2}}\)의 2차 극이다. \(C\)를 양의 방향의 단위원이라고 하면 이 복소함수는 단위원에서 해석적이고 \(0\)이 아니므로 편각원리로부터 \(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}\frac{1}{z^{2}}=-2\)이다.

루셰 정리(Rouche's theorem)

\(C\)를 단순 닫힌 경로라고 하고

(1) \(f(z),\,g(z)\)모두 \(C\)와 그 내부에서 해석적이다.

(2) \(z\in C\)에 대하여 \(|f(z)|>|g(z)|\)이다.

그러면 \(C\)의 내부에서 \(f(z)\)와 \(f(z)+g(z)\)의 영점의 개수는 서로 같다.

증명: \(h(z)=f(z)+g(z)\)라고 하자. 그러면 \(z\in C\)에 대하여 \(|f(z)|>|f(z)-h(z)|\)이고 \(\displaystyle k(z)=\frac{h(z)}{f(z)}\)라고 하면$$\frac{k'(z)}{k(z)}=\frac{f(z)}{h(z)}\cdot\frac{h'(z)f(z)-h(z)f'(z)}{\{f(z)\}^{2}}=\frac{h'(z)}{h(z)}-\frac{f'(z)}{f(z)}$$이고 \(C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)\)라고 하면$$\int_{C}{\frac{h'(z)}{h(z)}dz}-\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{C}{\frac{k'(z)}{k(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{k'(z(t))}{k(z(t))}z'(t)dt}=\int_{k[C]}{\frac{1}{z}dz}$$이다. \(\displaystyle|k(z(t))-1|=\left|\frac{h(z(t))}{f(z(t))}-1\right|<1\)이므로 곡선 \(k[C]\)는 원판 \(|z-1|<1\)위에 있고, 이 원판에서 \(\displaystyle\frac{1}{z}\)가 해석적이므로 \(\displaystyle\int_{C}{\frac{h'(z)}{h(z)}dz}-\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{k[C]}{\frac{1}{z}dz}=0\)이고 \(\displaystyle\int_{C}{\frac{h'(z)}{h(z)}}dz=\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}\)이므로 편각원리의 증명과정으로부터 \(f(z)\)와 \(h(z)=f(z)+g(z)\)의 영점의 수는 같다.

원 \(|z|=1\)의 내부에 속한 방정식 \(z^{7}-4z^{3}+z-1=0\)의 근의 개수를 구하자.

\(f(z)=-4z^{3},\,g(z)=z^{7}+z-1\)이라고 하면 \(|z|=1\)일 때 \(|f(z)|=4|z|^{3}=4\), \(|g(z)|\leq|z|^{7}+|z|+1=3\)이므로 이 두 함수는 루셰 정리의 가정을 만족시킨다. 따라서 원 \(|z|=1\)의 내부에 방정식 \(f(z)=0\)의 근의 개수가 \(3\)이므로 \(f(z)+g(z)=z^{7}-4z^{3}+z-1=0\)의 근의 개수도 \(3\)이다.

루셰 정리를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명할 수 있다. \(n\,(n\geq1)\)차 다항함수 \(P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}\,(a_{n}\neq0)\)에 대하여 \(f(z)=a_{n}z^{n}\), \(g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}\)라고 하자. 

\(|z|>1\)이면$$\begin{align*}\left|\frac{g(z)}{f(z)}\right|&\leq\frac{(|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots+|z_{n-1}|)|z|^{n-1}}{|a_{n}||z|^{n}}\\&=\frac{|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots+|a_{n-1}|}{|a_{n}||z|}\end{align*}$$이다. \(\displaystyle R=\max\left\{1,\,\frac{|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots+|a_{n-1}|}{|a_{n}|}\right\}\)라고 하면 \(|z|>R\)일 때 \(\displaystyle\left|\frac{g(z)}{f(z)}\right|<1\)이므로 \(|z|>R\)일 때 \(|f(z)|>|g(z)|\)이고 루셰 정리에 의해 \(C: |z|=R\)의 내부에서 \(f(z)\)와 \(f(z)+g(z)\)의 영점의 개수는 같다. 따라서 \(P(z)\)는 \(n\)개의 영점을 갖는다.

원환 \(1\leq|z|<2\)위에서 방정식 \(2z^{5}-6z^{2}+z+1=0\)의 해의 개수를 구하자. 이 경우는 \(|z|=2\)인 경우에 구한 해의 개수를 \(|z|=1\)인 경우에 구한 해의 개수로 빼주면 된다.

\(|z|=2\)일 때 \(f(z)=2z^{5}\), \(g(z)=-6z^{2}+z+1\)라고 하면 \(|f(z)|=2|z|^{5}=2^{6}=64\), \(|g(z)|=|-6z^{2}+z+1|\leq6|z|^{2}+|z|+1=24+2+1=27\)이므로 \(|f(z)|>|g(z)|\)이고 \(|z|=2\)일 때 방정식 \(f(z)=0\)의 해의 개수가 \(5\)이므로 따라서 \(2z^{5}-6z^{2}+z+1=0\)의 해는 \(5\)개 이다.

\(|z|=1\)일 때 \(f(z)=-6z^{2}\), \(g(z)=2z^{5}+z+1\)이라고 하면 \(|f(z)|=6|z|^{2}=6\), \(|g(z)|=|2z^{5}+z+1|\leq2|z|^{5}+|z|+1=4\)이므로 \(|f(z)|>|g(z)|\)이고 \(|z|=1\)일 때 방정식 \(f(z)=0\)의 해의 개수가 \(2\)이므로 따라서 \(2z^{5}-6z^{2}+z+1=0\)의 해는 \(2\)개 이다.

그러므로 원환에서의 방정식의 해의 개수는 \(5-2=3\)이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill

기초 복소해석, 계승혁, 김영원, 서울대학교출판문화원