22. 세 종류의 고립특이점, 극점에서의 유수

22. 세 종류의 고립특이점, 극점에서의 유수

점 $z_{0}$이 함수 $f$의 고립특이점이면, 적당한 뚫린 원환 $0<|z-z_{0}|<R_{2}$에서 $f(z)$를 다음과 같이 로랑급수로 나타낼 수 있다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}+\cdots$$ 이 급수에서 $z-z_{0}$의 음의 제곱들을 포함하는 다음 부분을 $z_{0}$에서 $f$의 주부(principal part)라고 한다. $$\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}+\cdots$$ 주부를 이용하여 고립특이점 $z_{0}$을 세가지로 분류 할 수 있다.

1. $z_{0}$에서 주부가 적어도 한개 이상의 유한개의 항을 가질 때, 즉 $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{m}}{(z-z_{0})^{m}}\,(0<|z-z_{0}|<R_{2})$$ 일 때, 고립특이점 $z_{0}$를 $m$차 극(pole of order $m$)이라 하고, 1차 극점을 단순 극(simple pole)이라고 한다.

$|z-2|>0$일 때 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{z^{2}-2z+3}{z-2}$의 로랑급수는 $$\frac{z^{2}-2z+3}{z-2}=2+(z-2)+\frac{3}{z-2}$$ 이므로 $z_{0}=2$는 단순 극이고 유수는 $3$이다.

$|z|>0$일 때 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{\sinh z}{z^{4}}$의 로랑급수는 $$\frac{\sinh z}{z^{4}}=\frac{1}{z^{4}}\left(z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\frac{z^{7}}{7!}+\cdots\,(|z|>0)\right)=\frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{3!z}+\frac{z}{5!}+\frac{z^{3}}{7!}+\cdots\,(0<|z|<1)$$ 이므로 $z_{0}=0$은 3차 극점이고 유수는 $\displaystyle\frac{1}{6}$이다. 

2. $z_{0}$에서 주부의 계수가 모두 $0$일 때, 즉 $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots\,(0<|z-z_{0}|<R_{2})$$ 일 때, 고립특이점 $z_{0}$를 제거가능한 특이점(removable singular point)이라 한다. 이때, 제거가능한 특이점에서의 유수는 항상 $0$이다. $f(z_{0})=a_{0}$이라 하면(또는 정의할 수 있으면) 위 로랑급수는 원판 $|z-z_{0}|<R_{2}$전체에서 성립한다. 멱급수는 항상 수렴원의 내부에서 해석함수이므로 $f(z_{0})=a_{0}$인 함수 $f$는 $z=z_{0}$에서 해석적이고 따라서 특이점 $z_{0}$를 제거할 수 있다.

점 $z_{0}=0$은 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1-\cos z}{z^{2}}$의 제거가능한 특이점이다. 그 이유는 $f(z)$의 로랑급수가 다음과 같고 $$f(z)=\frac{1}{z^{2}}\left\{1-\left(1-\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}-\frac{z^{6}}{6!}+\cdots\right)\right\}=\frac{1}{2!}-\frac{z^{2}}{4!}+\frac{z^{4}}{6!}-\cdots\,(|z|>0)$$ $\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$으로 정의하면, $f$는 전해석 함수가 되기 때문이다.

3. $z_{0}$에서 주부의 $0$이 아닌 계수들이 무수히 많을 때, $z_{0}$를 진성 특이점(essential singular point)이라고 한다.

$|z|>0$일 때 함수 $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$의 로랑급수는 $$e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!z^{n}}}=1+\frac{1}{1!z}+\frac{1}{2!z^{2}}+\cdots$$ 이므로 $z_{0}=0$은 $e^{\frac{1}{z}}$의 진성 특이점이다.

함수 $f$의 고립특이점 $z_{0}$이 $m$차 극점일 필요충분조건은 $z_{0}$에서 해석적이고 $0$이 아닌 함수 $\phi(z)$에 대해 $f(z)$를 다음과 같이 나타낼 수 있는 경우이다. $$f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_{0})^{m}}$$ 이때, $z_{0}$에서의 유수는 $$\begin{align*}\text{Res}_{z=z_{0}}f(z)&=\phi(z_{0})\,(m=1)\\ \text{Res}_{z=z_{0}}f(z)&=\frac{\phi^{(m-1)}(z_{0})}{(m-1)!}\,(m\geq2)\end{align*}$$ 이다.

증명:

$(\Leftarrow)$: $\displaystyle f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_{0})^{m}}$이라 하자. 그러면 $\phi(z)$는 $z_{0}$에서 해석적이므로 $z_{0}$의 적당한 근방 $|z-z_{0}|<\epsilon$에서 다음과 같이 테일러 급수로 나타낼 수 있다. $$\phi(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\phi^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}}$$ 그러면 $0<|z-z_{0}|<\epsilon$일 때 $$\begin{align*}f(z)&=\frac{\phi(z_{0})}{(z-z_{0})^{m}}+\frac{\phi'(z_{0})}{1!(z-z_{0})^{m-1}}+\cdots+\frac{\phi^{(m-1)}(z_{0})}{(m-1)!}\frac{1}{(z-z_{0})}+\sum_{n=m}^{\infty}{\frac{\phi^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n-m}}\end{align*}$$ 이고 $\phi(z_{0})\neq0$이므로 $z_{0}$는 $f$의 $m$차 극점이다.

$(\Rightarrow)$: $z_{0}$이 $f$의 $m$차 극, 즉 $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{m-1}}{(z-z_{0})^{m-1}}+\frac{b_{m}}{(z-z_{0})^{m}}\,(b_{m}\neq0)$$ 이라 하면, 이 급수는 $0<|z-z_{0}|<R_{2}$에서 수렴한다. $$\phi(z)=\begin{cases}(z-z_{0})^{m}f(z)\,&(z\neq z_{0})\\b_{m}\,&(z=z_{0})\end{cases}$$ 이라 하면, $\phi(z)$는 원판 $|z-z_{0}|<R_{2}$전체에서 $$\phi(z)=b_{m}+b_{m-1}(z-z_{0})+\cdots+b_{2}(z-z_{0})^{m-2}+b_{1}(z-z_{0})^{m-1}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{m+n}}$$ 이고 그러므로 $\phi(z)$는 이 원판에서 해석적이고, 특히 점 $z_{0}$에서 해석적이다. $\phi(z_{0})=b_{m}\neq0$이므로 $\displaystyle f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_{0})^{m}}$로 나타낼 수 있다.

함수 $\displaystyle f(z)=\frac{z+1}{z^{2}+9}$에 대하여 점 $z=-3i,\,z=3i$는 이 함수의 고립특이점이다. $$f(z)=\frac{\phi(z)}{z+3i},\,\phi(z)=\frac{z+1}{z-3i}$$ 라 하면, $\phi(z)$는 $z=-3i$에서 해석적이고 $\phi(-3i)\neq0$이므로 $z=-3i$는 $f$의 단순 극점이고 이 점에서의 유수 $B_{1}$은 $$B_{1}=\phi(-3i)=\frac{-3i+1}{-6i}=\frac{3+i}{6}$$ 이다. $$f(z)=\frac{\phi(z)}{z-3i},\,\phi(z)=\frac{z+1}{z+3i}$$ 라 하면, $\phi(z)$는 $z=3i$에서 해석적이고 $\phi(3i)\neq0$이므로 $z=3i$는 $f$의 단순 극점이고 이 점에서의 유수 $B_{2}$는 $$B_{2}=\phi(3i)=\frac{3i+1}{6i}=\frac{3-i}{6}$$ 이다.

함수 $\displaystyle f(z)=\frac{z^{3}+2z}{(z-i)^{3}}$에 대하여 점 $z=i$는 이 함수의 고립특이점이다. $$f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-i)^{3}},\,\phi(z)=z^{3}+2z$$ 라 하면, $\phi(z)$는 $z=i$에서 해석적이고 $\phi(i)=-i+2i=i\neq0$이므로 $z=i$는 $f$의 3차 극이고, 이 점에서의 유수 $B$는 $$B=\frac{\phi''(i)}{2!}=\frac{6i}{2!}=3i$$ 이다.

함수 $\displaystyle f(z)=\frac{(\log z)^{3}}{z^{2}+1}$에 대하여 $$\log z=\ln r+i\theta\,(r>0,\,0<\theta<2\pi)$$ 이고 $z=i$는 이 함수의 고립특이점이다. $$f(z)=\frac{\phi(z)}{z-i},\,\phi(z)=\frac{(\log z)^{3}}{z+i}$$ 라 하면 $\phi(z)$는 $z=i$에서 해석적이고 $$\phi(i)=\frac{(\log i)^{3}}{2i}=\frac{\left(\ln1+i\frac{\pi}{2}\right)^{3}}{2i}=-\frac{\pi^{3}}{16}$$ 이므로 $z=i$는 $f$의 단순 극이고, 이 점에서의 유수 $B$는 $$B=\phi(i)=-\frac{\pi^{3}}{16}$$ 이다.

함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{z(e^{z}-1)}$에 대하여 점 $z=0$은 이 함수의 고립특이점이다. $$z(e^{z}-1)=z\left(\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots\right)=z^{2}\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots\right)$$ 이므로 $$f(z)=\frac{\phi(z)}{z^{2}},\,\phi(z)=\frac{1}{\displaystyle1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots}$$ 라 하면 $\phi(z)$는 $z=0$에서 해석적이고 $\phi(0)=1\neq0$이므로 $z=0$은 2차 극점이다. 이 점에서의 유수를 $B$라 하면 $$\phi'(z)=\frac{\displaystyle-\left(\frac{1}{2!}+\frac{2z}{3!}+\cdots\right)}{\displaystyle\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots\right)^{2}}$$ 이므로 $\displaystyle B=-\frac{1}{2}$이다.

함수 $\displaystyle f(z)=\frac{\sinh z}{z^{4}}$에 대하여 점 $z=0$은 이 함수의 고립특이점이다. $$f(z)=\frac{\phi(z)}{z^{4}},\,\phi(z)=\sinh z$$ 라 하면 $\phi(0)=0$이 되므로, 점 $z=0$에서의 유수를 구하려면 로랑급수를 이용해서 구하는게 효율적이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill