22. 세 종류의 고립특이점, 극점에서의 유수

22. 세 종류의 고립특이점, 극점에서의 유수

점 \(z_{0}\)이 함수 \(f\)의 고립특이점이면, 적당한 뚫린 원환 \(0<|z-z_{0}|<R_{2}\)에서 \(f(z)\)를 다음과 같이 로랑급수로 나타낼 수 있다.$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}+\cdots$$이 급수에서 \(z-z_{0}\)의 음의 제곱들을 포함하는 다음 부분을 \(z_{0}\)에서 \(f\)의 주부(principal part)라고 한다.$$\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}+\cdots$$주부를 이용하여 고립특이점 \(z_{0}\)을 세가지로 분류 할 수 있다.

1. \(z_{0}\)에서 주부가 적어도 한개 이상의 유한개의 항을 가질 때, 즉$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{m}}{(z-z_{0})^{m}}\,(0<|z-z_{0}|<R_{2})$$일 때, 고립특이점 \(z_{0}\)를 \(m\)차 극(pole of order \(m\))이라 하고, 1차 극점을 단순 극(simple pole)이라고 한다.

\(|z-2|>0\)일 때 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{z^{2}-2z+3}{z-2}\)의 로랑급수는$$\frac{z^{2}-2z+3}{z-2}=2+(z-2)+\frac{3}{z-2}$$이므로 \(z_{0}=2\)는 단순 극이고 유수는 \(3\)이다.

\(|z|>0\)일 때 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{\sinh z}{z^{4}}\)의 로랑급수는$$\frac{\sinh z}{z^{4}}=\frac{1}{z^{4}}\left(z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\frac{z^{7}}{7!}+\cdots\,(|z|>0)\right)=\frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{3!z}+\frac{z}{5!}+\frac{z^{3}}{7!}+\cdots\,(0<|z|<1)$$이므로 \(z_{0}=0\)은 3차 극점이고 유수는 \(\displaystyle\frac{1}{6}\)이다. 

2. \(z_{0}\)에서 주부의 계수가 모두 \(0\)일 때, 즉$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots\,(0<|z-z_{0}|<R_{2})$$일 때, 고립특이점 \(z_{0}\)를 제거가능한 특이점(removable singular point)이라 한다. 이때, 제거가능한 특이점에서의 유수는 항상 \(0\)이다. \(f(z_{0})=a_{0}\)이라 하면(또는 정의할 수 있으면) 위 로랑급수는 원판 \(|z-z_{0}|<R_{2}\)전체에서 성립한다. 멱급수는 항상 수렴원의 내부에서 해석함수이므로 \(f(z_{0})=a_{0}\)인 함수 \(f\)는 \(z=z_{0}\)에서 해석적이고 따라서 특이점 \(z_{0}\)를 제거할 수 있다.

점 \(z_{0}=0\)은 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{1-\cos z}{z^{2}}\)의 제거가능한 특이점이다. 그 이유는 \(f(z)\)의 로랑급수가 다음과 같고$$f(z)=\frac{1}{z^{2}}\left\{1-\left(1-\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}-\frac{z^{6}}{6!}+\cdots\right)\right\}=\frac{1}{2!}-\frac{z^{2}}{4!}+\frac{z^{4}}{6!}-\cdots\,(|z|>0)$$\(\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}\)으로 정의하면, \(f\)는 전해석 함수가 되기 때문이다.

3. \(z_{0}\)에서 주부의 \(0\)이 아닌 계수들이 무수히 많을 때, \(z_{0}\)를 진성 특이점(essential singular point)이라고 한다.

\(|z|>0\)일 때 함수 \(f(z)=e^{\frac{1}{z}}\)의 로랑급수는$$e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!z^{n}}}=1+\frac{1}{1!z}+\frac{1}{2!z^{2}}+\cdots$$이므로 \(z_{0}=0\)은 \(e^{\frac{1}{z}}\)의 진성 특이점이다.

함수 \(f\)의 고립특이점 \(z_{0}\)이 \(m\)차 극점일 필요충분조건은 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(0\)이 아닌 함수 \(\phi(z)\)에 대해 \(f(z)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있는 경우이다.$$f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_{0})^{m}}$$이때, \(z_{0}\)에서의 유수는$$\begin{align*}\text{Res}_{z=z_{0}}f(z)&=\phi(z_{0})\,(m=1)\\ \text{Res}_{z=z_{0}}f(z)&=\frac{\phi^{(m-1)}(z_{0})}{(m-1)!}\,(m\geq2)\end{align*}$$이다.

증명:

\((\Leftarrow)\): \(\displaystyle f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_{0})^{m}}\)이라 하자. 그러면 \(\phi(z)\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이므로 \(z_{0}\)의 적당한 근방 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)에서 다음과 같이 테일러 급수로 나타낼 수 있다.$$\phi(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\phi^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}}$$그러면 \(0<|z-z_{0}|<\epsilon\)일 때$$\begin{align*}f(z)&=\frac{\phi(z_{0})}{(z-z_{0})^{m}}+\frac{\phi'(z_{0})}{1!(z-z_{0})^{m-1}}+\cdots+\frac{\phi^{(m-1)}(z_{0})}{(m-1)!}\frac{1}{(z-z_{0})}+\sum_{n=m}^{\infty}{\frac{\phi^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n-m}}\end{align*}$$이고 \(\phi(z_{0})\neq0\)이므로 \(z_{0}\)는 \(f\)의 \(m\)차 극점이다.

\((\Rightarrow)\): \(z_{0}\)이 \(f\)의 \(m\)차 극, 즉$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{m-1}}{(z-z_{0})^{m-1}}+\frac{b_{m}}{(z-z_{0})^{m}}\,(b_{m}\neq0)$$이라 하면, 이 급수는 \(0<|z-z_{0}|<R_{2}\)에서 수렴한다.$$\phi(z)=\begin{cases}(z-z_{0})^{m}f(z)\,&(z\neq z_{0})\\b_{m}\,&(z=z_{0})\end{cases}$$이라 하면, \(\phi(z)\)는 원판 \(|z-z_{0}|<R_{2}\)전체에서$$\phi(z)=b_{m}+b_{m-1}(z-z_{0})+\cdots+b_{2}(z-z_{0})^{m-2}+b_{1}(z-z_{0})^{m-1}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{m+n}}$$이고 그러므로 \(\phi(z)\)는 이 원판에서 해석적이고, 특히 점 \(z_{0}\)에서 해석적이다. \(\phi(z_{0})=b_{m}\neq0\)이므로 \(\displaystyle f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_{0})^{m}}\)로 나타낼 수 있다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{z+1}{z^{2}+9}\)에 대하여 점 \(z=-3i,\,z=3i\)는 이 함수의 고립특이점이다.$$f(z)=\frac{\phi(z)}{z+3i},\,\phi(z)=\frac{z+1}{z-3i}$$라 하면, \(\phi(z)\)는 \(z=-3i\)에서 해석적이고 \(\phi(-3i)\neq0\)이므로 \(z=-3i\)는 \(f\)의 단순 극점이고 이 점에서의 유수 \(B_{1}\)은$$B_{1}=\phi(-3i)=\frac{-3i+1}{-6i}=\frac{3+i}{6}$$이다.$$f(z)=\frac{\phi(z)}{z-3i},\,\phi(z)=\frac{z+1}{z+3i}$$라 하면, \(\phi(z)\)는 \(z=3i\)에서 해석적이고 \(\phi(3i)\neq0\)이므로 \(z=3i\)는 \(f\)의 단순 극점이고 이 점에서의 유수 \(B_{2}\)는$$B_{2}=\phi(3i)=\frac{3i+1}{6i}=\frac{3-i}{6}$$이다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{z^{3}+2z}{(z-i)^{3}}\)에 대하여 점 \(z=i\)는 이 함수의 고립특이점이다.$$f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-i)^{3}},\,\phi(z)=z^{3}+2z$$라 하면, \(\phi(z)\)는 \(z=i\)에서 해석적이고 \(\phi(i)=-i+2i=i\neq0\)이므로 \(z=i\)는 \(f\)의 3차 극이고, 이 점에서의 유수 \(B\)는$$B=\frac{\phi''(i)}{2!}=\frac{6i}{2!}=3i$$이다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{(\log z)^{3}}{z^{2}+1}\)에 대하여$$\log z=\ln r+i\theta\,(r>0,\,0<\theta<2\pi)$$이고 \(z=i\)는 이 함수의 고립특이점이다.$$f(z)=\frac{\phi(z)}{z-i},\,\phi(z)=\frac{(\log z)^{3}}{z+i}$$라 하면 \(\phi(z)\)는 \(z=i\)에서 해석적이고$$\phi(i)=\frac{(\log i)^{3}}{2i}=\frac{\left(\ln1+i\frac{\pi}{2}\right)^{3}}{2i}=-\frac{\pi^{3}}{16}$$이므로 \(z=i\)는 \(f\)의 단순 극이고, 이 점에서의 유수 \(B\)는$$B=\phi(i)=-\frac{\pi^{3}}{16}$$이다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{z(e^{z}-1)}\)에 대하여 점 \(z=0\)은 이 함수의 고립특이점이다.$$z(e^{z}-1)=z\left(\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots\right)=z^{2}\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots\right)$$이므로$$f(z)=\frac{\phi(z)}{z^{2}},\,\phi(z)=\frac{1}{\displaystyle1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots}$$라 하면 \(\phi(z)\)는 \(z=0\)에서 해석적이고 \(\phi(0)=1\neq0\)이므로 \(z=0\)은 2차 극점이다. 이 점에서의 유수를 \(B\)라 하면$$\phi'(z)=\frac{\displaystyle-\left(\frac{1}{2!}+\frac{2z}{3!}+\cdots\right)}{\displaystyle\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots\right)^{2}}$$이므로 \(\displaystyle B=-\frac{1}{2}\)이다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{\sinh z}{z^{4}}\)에 대하여 점 \(z=0\)은 이 함수의 고립특이점이다.$$f(z)=\frac{\phi(z)}{z^{4}},\,\phi(z)=\sinh z$$라 하면 \(\phi(0)=0\)이 되므로, 점 \(z=0\)에서의 유수를 구하려면 로랑급수를 이용해서 구하는게 효율적이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill