21. 고립특이점과 유수

21. 고립특이점과 유수

고립특이점

함수 $f$가 $z_{0}$에서 해석적이지 않으나 $z_{0}$의 모든 근방에서 해석적일 때, $z_{0}$를 $f$의 특이점이라고 한다. 이때 특이점 $z_{0}$를 제외한 근방 $0<|z-z_{0}|<\delta$전체에서 $f$가 해석적이면, $z_{0}$를 고립특이점(isolated singular point)이라고 한다.

함수 $\displaystyle\frac{z+1}{z^{3}(z^{2}+1)}$의 고립특이점은 $z=0,\,z=\pm i$이고, 원점은 로그함수 $\text{Log}z=\ln r+i\Theta\,(r>0,\,-\pi<\Theta<\pi)$의 특이점이나 고립특이점은 아니다. 그 이유는 원점을 제외한 근방 $0<|z|<\epsilon$에는 음의 실수축 점들이 포함되고, 음의 실수에 대해서 로그의 주분지는 정의되지 않기 때문이다. 이것은 로그함수 $\log z=\ln r+i\Theta\,(r>0,\,\alpha<\Theta<\alpha+2\pi)$에 대해서도 마찬가지이다.

유수

$z_{0}$가 함수 $f$의 고립특이점이면, $R_{2}>0$가 존재해서 $0<|z-z_{0}|<R_{2}$에서 $f$는 해석적이고 다음과 같이 로랑급수로 전개할 수 있다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}+\cdots\,(0<|z-z_{0}|<R_{2})$$ 여기서 $$a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz},\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}$$ 이고 $C$는 $0<|z-z_{0}|<R_{2}$에 포함되고 $z_{0}$를 둘러싸는 양의 방향의 임의의 단순닫힌경로이다.

이때 $$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi ib_{1}$$ 이고 $\displaystyle\frac{1}{z-z_{0}}$의 계수인 $b_{1}$을 고립특이점 $z_{0}$에서의 유수(residue)라 하고 $$b_{1}=\text{Res}_{z=z_{0}}{f(z)}$$ 로 나타낸다. 그러면 $$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=z_{0}}{f(z)}$$ 이다.

$\sin z$의 매클로린 전개는 $$\sin z=z-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}-\frac{z^{7}}{7!}+\cdots$$ 이므로 $$z^{2}\sin\left(\frac{1}{z}\right)=z-\frac{1}{3!z}+\frac{1}{5!z^{3}}-\frac{1}{7!z^{5}}+\cdots$$ 이고 $$\text{Res}_{z=0}{z^{2}\sin\left(\frac{1}{z}\right)}=-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$$ 이므로 따라서 $C:\,|z|=1$일 때 $$\int_{C}{z^{2}\sin\left(\frac{1}{z}\right)dz}=2\pi i\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{\pi}{3}i$$ 이다.

$e^{z}$의 매클로린 전개는 $$e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots$$ 이므로 $$e^{\frac{1}{z^{2}}}=1+\frac{1}{1!z^{2}}+\frac{1}{2!z^{4}}+\frac{1}{3!z^{6}}+\frac{1}{4!z^{8}}+\cdots$$ 이고 $$\text{Res}_{z=0}{e^{\frac{1}{z^{2}}}}=0$$ 이므로 따라서 $C:\,|z|=1$일 때 $$\int_{C}{e^{\frac{1}{z^{2}}}dz}=0$$ 이다.

식 $$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}{z^{n}}\,(|z|<1)$$ 을 이용하여 $0<|z-2|<2$일 때 함수 $\frac{1}{z(z-2)^{4}}$의 로랑전개는 $$\begin{align*}\frac{1}{z(z-2)^{2}}&=\frac{1}{(z-2)^{4}}\frac{1}{2+(z-2)}\\&=\frac{1}{2(z-2)^{4}}\frac{1}{\displaystyle1-\left(-\frac{z-2}{2}\right)}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}(z-2)^{n-4}}\end{align*}$$ 이고, 이 식으로부터 $$\text{Res}_{z=2}{\frac{1}{z(z-2)^{4}}}=-\frac{1}{16}$$ 이므로 $C:\,|z-2|=1$일 때 $$\int_{C}{\frac{1}{z(z-2)^{4}}dz}=2\pi i\left(-\frac{1}{16}\right)=-\frac{\pi}{8}i$$ 이다.

코시의 유수정리(Cauchy's Residue Theorem)

$C$를 양의 방향의 단순닫힌경로라 하자. 함수 $f$가 $C$의 내부에 속한 유한개의 특이점 $z_{1},\,\cdots,\,z_{n}$을 제외하고 $C$와 그 내부에서 해석적일 때, 다음 등식이 성립한다. $$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=z_{k}}{f(z)}$$

증명: $z_{1},\,\cdots,\,z_{n}$을 양의 방향의 원 $C_{1},\,\cdots,\,C_{n}$의 중심이라고 하자.(아래 그림 참고)

$C_{k}\,(k=1,\,\cdots,\,n)$들은 모두 $C$내부에 포함되고 서로 겹치지 않는다. 이 영역에 대해 코시-구르사 정리를 적용하면 $$\int_{C}{f(z)dz}-\sum_{k=1}^{n}{\int_{C_{k}}{f(z)dz}}=0$$ 이고 $$\int_{C_{k}}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=z_{k}}{f(z)}$$ 이므로 다음 등식이 성립한다. $$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{\text{Res}_{z=z_{k}}{f(z)}}$$

함수 $\displaystyle\frac{5z-2}{z(z-1)}$에 대해서 $$\frac{5z-2}{z(z-1)}=\frac{2}{z}+\frac{3}{z-1}$$ 이고 $\displaystyle\frac{2}{z}$와 $\displaystyle\frac{3}{z-1}$은 각각 $0<|z|<1$, $0<|z-1|<1$일 때의 로랑급수이므로 코시의 유수정리에 의해 $C:\,|z|=2$일 때 $$\int_{C}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz}=2\pi i(2+3)=10\pi i$$ 이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill