21. 고립특이점과 유수

21. 고립특이점과 유수

고립특이점

함수 \(f\)가 \(z_{0}\)에서 해석적이지 않으나 \(z_{0}\)의 모든 근방에서 해석적일 때, \(z_{0}\)를 \(f\)의 특이점이라고 한다. 이때 특이점 \(z_{0}\)를 제외한 근방 \(0<|z-z_{0}|<\delta\)전체에서 \(f\)가 해석적이면, \(z_{0}\)를 고립특이점(isolated singular point)이라고 한다.

함수 \(\displaystyle\frac{z+1}{z^{3}(z^{2}+1)}\)의 고립특이점은 \(z=0,\,z=\pm i\)이고, 원점은 로그함수 \(\text{Log}z=\ln r+i\Theta\,(r>0,\,-\pi<\Theta<\pi)\)의 특이점이나 고립특이점은 아니다. 그 이유는 원점을 제외한 근방 \(0<|z|<\epsilon\)에는 음의 실수축 점들이 포함되고, 음의 실수에 대해서 로그의 주분지는 정의되지 않기 때문이다. 이것은 로그함수 \(\log z=\ln r+i\Theta\,(r>0,\,\alpha<\Theta<\alpha+2\pi)\)에 대해서도 마찬가지이다.

유수

\(z_{0}\)가 함수 \(f\)의 고립특이점이면, \(R_{2}>0\)가 존재해서 \(0<|z-z_{0}|<R_{2}\)에서 \(f\)는 해석적이고 다음과 같이 로랑급수로 전개할 수 있다.$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\frac{b_{1}}{z-z_{0}}+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\cdots+\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}+\cdots\,(0<|z-z_{0}|<R_{2})$$여기서$$a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz},\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}$$이고 \(C\)는 \(0<|z-z_{0}|<R_{2}\)에 포함되고 \(z_{0}\)를 둘러싸는 양의 방향의 임의의 단순닫힌경로이다.

이때$$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi ib_{1}$$이고 \(\displaystyle\frac{1}{z-z_{0}}\)의 계수인 \(b_{1}\)을 고립특이점 \(z_{0}\)에서의 유수(residue)라 하고$$b_{1}=\text{Res}_{z=z_{0}}{f(z)}$$로 나타낸다. 그러면$$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=z_{0}}{f(z)}$$이다.

\(\sin z\)의 매클로린 전개는$$\sin z=z-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}-\frac{z^{7}}{7!}+\cdots$$이므로$$z^{2}\sin\left(\frac{1}{z}\right)=z-\frac{1}{3!z}+\frac{1}{5!z^{3}}-\frac{1}{7!z^{5}}+\cdots$$이고$$\text{Res}_{z=0}{z^{2}\sin\left(\frac{1}{z}\right)}=-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$$이므로 따라서 \(C:\,|z|=1\)일 때$$\int_{C}{z^{2}\sin\left(\frac{1}{z}\right)dz}=2\pi i\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{\pi}{3}i$$이다.

\(e^{z}\)의 매클로린 전개는$$e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots$$이므로$$e^{\frac{1}{z^{2}}}=1+\frac{1}{1!z^{2}}+\frac{1}{2!z^{4}}+\frac{1}{3!z^{6}}+\frac{1}{4!z^{8}}+\cdots$$이고$$\text{Res}_{z=0}{e^{\frac{1}{z^{2}}}}=0$$이므로 따라서 \(C:\,|z|=1\)일 때$$\int_{C}{e^{\frac{1}{z^{2}}}dz}=0$$이다.

식$$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}{z^{n}}\,(|z|<1)$$을 이용하여 \(0<|z-2|<2\)일 때 함수 \(\frac{1}{z(z-2)^{4}}\)의 로랑전개는$$\begin{align*}\frac{1}{z(z-2)^{2}}&=\frac{1}{(z-2)^{4}}\frac{1}{2+(z-2)}\\&=\frac{1}{2(z-2)^{4}}\frac{1}{\displaystyle1-\left(-\frac{z-2}{2}\right)}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}(z-2)^{n-4}}\end{align*}$$이고, 이 식으로부터$$\text{Res}_{z=2}{\frac{1}{z(z-2)^{4}}}=-\frac{1}{16}$$이므로 \(C:\,|z-2|=1\)일 때$$\int_{C}{\frac{1}{z(z-2)^{4}}dz}=2\pi i\left(-\frac{1}{16}\right)=-\frac{\pi}{8}i$$이다.

코시의 유수정리(Cauchy's Residue Theorem)

\(C\)를 양의 방향의 단순닫힌경로라 하자. 함수 \(f\)가 \(C\)의 내부에 속한 유한개의 특이점 \(z_{1},\,\cdots,\,z_{n}\)을 제외하고 \(C\)와 그 내부에서 해석적일 때, 다음 등식이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=z_{k}}{f(z)}$$

증명: \(z_{1},\,\cdots,\,z_{n}\)을 양의 방향의 원 \(C_{1},\,\cdots,\,C_{n}\)의 중심이라고 하자.(아래 그림 참고)

\(C_{k}\,(k=1,\,\cdots,\,n)\)들은 모두 \(C\)내부에 포함되고 서로 겹치지 않는다. 이 영역에 대해 코시-구르사 정리를 적용하면$$\int_{C}{f(z)dz}-\sum_{k=1}^{n}{\int_{C_{k}}{f(z)dz}}=0$$이고$$\int_{C_{k}}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=z_{k}}{f(z)}$$이므로 다음 등식이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{\text{Res}_{z=z_{k}}{f(z)}}$$

함수 \(\displaystyle\frac{5z-2}{z(z-1)}\)에 대해서$$\frac{5z-2}{z(z-1)}=\frac{2}{z}+\frac{3}{z-1}$$이고 \(\displaystyle\frac{2}{z}\)와 \(\displaystyle\frac{3}{z-1}\)은 각각 \(0<|z|<1\), \(0<|z-1|<1\)일 때의 로랑급수이므로 코시의 유수정리에 의해 \(C:\,|z|=2\)일 때$$\int_{C}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz}=2\pi i(2+3)=10\pi i$$이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill