23. 해석함수의 영점, 영점과 극점

23. 해석함수의 영점, 영점과 극점

 

 

함수 $f$가 $z_{0}$에서 해석적이면, 모든 계의 도함수 $f^{(n)}(z)\,(n\in\mathbb{N})$가 존재한다. $f(z_{0})=0$이고 $f^{(m)}(z_{0})\neq0$이지만 $m>n$인 모든 $n$에 대하여 $f^{(n)}(z_{0})=0$이면, $z_{0}$을 $f$의 $m$차 영점(zero of order $m$)이라고 한다.

 

함수 $f$가 $z_{0}$에서 해석적이라고 하자. $z_{0}$이 함수 $f$의 $m$차 영점일 필요충분조건은 $z_{0}$에서 해석적이고 $0$이 아닌 함수 $g(z)$가 존재해서 $f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)$인 경우이다.

 

증명: 함수가 점 $z_{0}$에서 해석적이면, 그 점의 적당한 근방 $|z-z_{0}|<\epsilon$에서 테일러급수를 $z-z_{0}$의 제곱으로 나타낼 수 있다.

$(\Leftarrow)$: $f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)$라 하면, $g(z)$는 $z_{0}$에서 해석적이므로 $z_{0}$의 적당한 근방 $|z-z_{0}|<\epsilon$에서 다음과 같이 테일러급수로 나타낼 수 있다. $$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{g^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}$$ 그러므로 $|z-z_{0}|<\epsilon$일 때, $$f(z)=g(z_{0})(z-z_{0})^{m}+\frac{g'(z_{0})}{1!}(z-z_{0})^{m+1}+\frac{g''(z_{0})}{2!}(z-z_{0})^{m+2}+\cdots$$ 이고 이 급수는 $f(z)$의 실제 테일러 급수이므로 $$\begin{align*}f(z_{0})&=f'(z_{0})=f''(z_{0})=\cdots=f^{(m-1)}(z_{0})=0\\ f^{(m)}(z_{0})&=m!g(z_{0})\neq0\end{align*}$$ 이고 따라서 $z_{0}$는 $f$의 $m$차 영점이다.

$(\Rightarrow)$: $z_{0}$를 $f$의 $m$차 영점이라고 하자. 그러면 $$f(z_{0})=f'(z_{0})=f''(z_{0})=\cdots=f^{(m-1)}(z_{0})=0$$ 이므로 $z_{0}$의 적당한 근방 $|z-z_{0}|<\epsilon$에 대하여 $$\begin{align*}f(z)&=\sum_{n=m}^{\infty}{\frac{f^{(m)}}{n!}(z-z_{0})}\\&=(z-z_{0})^{m}\left\{\frac{f^{(m)}(z_{0})}{m!}+\frac{f^{(m+1)}(z_{0})}{(m+1)!}(z-z_{0})+\frac{f^{(m+2)}(z_{0})}{(m+2)!}(z-z_{0})^{2}+\cdots\right\}\end{align*}$$ 이고 $$g(z)=\sum_{n=m}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n-m}}$$ 이라 하면 $g(z)$는 $|z-z_{0}|<\epsilon$에서 수렴하고 해석적이며, $\displaystyle g(z_{0})=\frac{f^{(m)}(z_{0})}{m!}\neq0$이고 $f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)$이다.

 

함수 $f(z)=z^{3}-1=(z-1)(z^{2}+z+1)$에 대해 $$f(1)=0,\,f'(1)=3\neq0$$ 이므로 $z_{0}=1$은 1차 영점이다.

 

전해석 함수 $f(z)=z(e^{z}-1)$에 대해 $$f(0)=f'(0)=0,\,f''(0)=2\neq0$$ 이므로 $z_{0}=0$은 2차 영점이다. 실제로 $$f(z)=(z-0)^{2}g(z),\,g(z)=\begin{cases}\displaystyle\frac{e^{z}-1}{z},\,&(z\neq0)\\1,\,&(z=0)\end{cases}$$ 이고 $g(z)$는 전해석 함수이기 때문이다.

 

$m$차 영점으로 $m$차 극점을 만들 수 있다.

 

(1) 두 함수 $p,\,q$는 $z_{0}$에서 해석적이다.

(2) $p(z_{0})\neq0$이고 $z_{0}$는 $q$의 $m$차 영점이다.

그러면 $z_{0}$은 $\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}$의 $m$차 극점이다.

 

증명: 가정을 만족하는 함수 $p,\,q$에 대하여 $z_{0}$의 적당한 제거된 근방이 존재하고, 그 곳에서 $q(z)\neq0$이므로 $z_{0}$는 $\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}$의 고립특이점이다. 또한 $z_{0}$에서 해석적이고 $0$이 아닌 함수 $g$가 존재해서 $q(z)=(z-z_{0})g(z)$이므로 $$\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z)}{(z-z_{0})^{m}},\,\phi(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$$ 이고 $\phi(z)$는 $z_{0}$에서 해석적이고 $0$이 아니므로 $z_{0}$은 $\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}$의 $m$차 극이다.

 

위 결과를 이용하여 다음 정리가 성립함을 보일 수 있다.

 

두 함수 $p,\,q$가 $z_{0}$에서 해석적이고 $p(z_{0})\neq0,\,q(z_{0})=0,\,q'(z_{0})\neq0$이라 하자. 그러면 $z_{0}$는 $\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}$의 단순 극점이고 $$\text{Res}_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_{0})}{q'(z_{0})}$$ 이다.

 

증명: 가정을 만족하는 함수 $p,\,q$에 대하여 $q(z_{0})=0,\,q'(z_{0})\neq0$이므로 $z_{0}$는 $q$의 1차 영점이다. 그러므로 $z_{0}$에서 해석적이고 $0$이 아닌 함수 $g$가 존재해서 $q(z)=(z-z_{0})g(z)$이다. 그러면 $z_{0}$는 $\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}$의 단순극점이고 $$\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{\phi(z)}{z-z_{0}},\,\phi(z)=\frac{p(z)}{g(z)}$$ 이며 $\phi(z)$는 $z_{0}$에서 해석적이고 $0$이 아니므로 $$\text{Res}_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_{0})}{g(z_{0})}$$ 이고 이때 $g(z_{0})=q'(z_{0})$ 이므로 $$\text{Res}_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_{0})}{q'(z_{0})}$$ 이다.

 

$z_{0}=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}=1+i$ 은 다항함수 $z^{4}+4$의 영점이고 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{z}{z^{4}+4}$의 고립특이점이다. $p(z)=z,\,q(z)=z^{4}+4$라 하자. 그러면 $$p(z_{0})=z_{0}\neq0,\,q(z_{0})=z_{0}^{4}+4=0,\,q'(z_{0})=4z_{0}^{3}\neq0$$ 이므로 $z_{0}$은 함수 $f(z)$의 단순 극이고 이 점에서의 유수 $B_{0}$는 $$B_{0}=\frac{p(z_{0})}{q'(z_{0})}=\frac{z_{0}}{4z_{0}^{3}}=\frac{1}{8i}=-\frac{1}{8}i$$ 이다.

 

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill