23. 해석함수의 영점, 영점과 극점

23. 해석함수의 영점, 영점과 극점

 

 

함수 \(f\)가 \(z_{0}\)에서 해석적이면, 모든 계의 도함수 \(f^{(n)}(z)\,(n\in\mathbb{N})\)가 존재한다. \(f(z_{0})=0\)이고 \(f^{(m)}(z_{0})\neq0\)이지만 \(m>n\)인 모든 \(n\)에 대하여 \(f^{(n)}(z_{0})=0\)이면, \(z_{0}\)을 \(f\)의 \(m\)차 영점(zero of order \(m\))이라고 한다.

 

함수 \(f\)가 \(z_{0}\)에서 해석적이라고 하자. \(z_{0}\)이 함수 \(f\)의 \(m\)차 영점일 필요충분조건은 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(0\)이 아닌 함수 \(g(z)\)가 존재해서 \(f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)\)인 경우이다.

 

증명: 함수가 점 \(z_{0}\)에서 해석적이면, 그 점의 적당한 근방 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)에서 테일러급수를 \(z-z_{0}\)의 제곱으로 나타낼 수 있다.

\((\Leftarrow)\): \(f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)\)라 하면, \(g(z)\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이므로 \(z_{0}\)의 적당한 근방 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)에서 다음과 같이 테일러급수로 나타낼 수 있다.$$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{g^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}$$그러므로 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)일 때,$$f(z)=g(z_{0})(z-z_{0})^{m}+\frac{g'(z_{0})}{1!}(z-z_{0})^{m+1}+\frac{g''(z_{0})}{2!}(z-z_{0})^{m+2}+\cdots$$이고 이 급수는 \(f(z)\)의 실제 테일러 급수이므로$$\begin{align*}f(z_{0})&=f'(z_{0})=f''(z_{0})=\cdots=f^{(m-1)}(z_{0})=0\\ f^{(m)}(z_{0})&=m!g(z_{0})\neq0\end{align*}$$이고 따라서 \(z_{0}\)는 \(f\)의 \(m\)차 영점이다.

\((\Rightarrow)\): \(z_{0}\)를 \(f\)의 \(m\)차 영점이라고 하자. 그러면$$f(z_{0})=f'(z_{0})=f''(z_{0})=\cdots=f^{(m-1)}(z_{0})=0$$이므로 \(z_{0}\)의 적당한 근방 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)에 대하여$$\begin{align*}f(z)&=\sum_{n=m}^{\infty}{\frac{f^{(m)}}{n!}(z-z_{0})}\\&=(z-z_{0})^{m}\left\{\frac{f^{(m)}(z_{0})}{m!}+\frac{f^{(m+1)}(z_{0})}{(m+1)!}(z-z_{0})+\frac{f^{(m+2)}(z_{0})}{(m+2)!}(z-z_{0})^{2}+\cdots\right\}\end{align*}$$이고$$g(z)=\sum_{n=m}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n-m}}$$이라 하면 \(g(z)\)는 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)에서 수렴하고 해석적이며, \(\displaystyle g(z_{0})=\frac{f^{(m)}(z_{0})}{m!}\neq0\)이고 \(f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)\)이다.

 

함수 \(f(z)=z^{3}-1=(z-1)(z^{2}+z+1)\)에 대해 $$f(1)=0,\,f'(1)=3\neq0$$이므로 \(z_{0}=1\)은 1차 영점이다.

 

전해석 함수 \(f(z)=z(e^{z}-1)\)에 대해 $$f(0)=f'(0)=0,\,f''(0)=2\neq0$$이므로 \(z_{0}=0\)은 2차 영점이다. 실제로$$f(z)=(z-0)^{2}g(z),\,g(z)=\begin{cases}\displaystyle\frac{e^{z}-1}{z},\,&(z\neq0)\\1,\,&(z=0)\end{cases}$$이고 \(g(z)\)는 전해석 함수이기 때문이다.

 

\(m\)차 영점으로 \(m\)차 극점을 만들 수 있다.

 

(1) 두 함수 \(p,\,q\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이다.

(2) \(p(z_{0})\neq0\)이고 \(z_{0}\)는 \(q\)의 \(m\)차 영점이다.

그러면 \(z_{0}\)은 \(\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}\)의 \(m\)차 극점이다.

 

증명: 가정을 만족하는 함수 \(p,\,q\)에 대하여 \(z_{0}\)의 적당한 제거된 근방이 존재하고, 그 곳에서 \(q(z)\neq0\)이므로 \(z_{0}\)는 \(\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}\)의 고립특이점이다. 또한 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(0\)이 아닌 함수 \(g\)가 존재해서 \(q(z)=(z-z_{0})g(z)\)이므로$$\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z)}{(z-z_{0})^{m}},\,\phi(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$$이고 \(\phi(z)\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(0\)이 아니므로 \(z_{0}\)은 \(\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}\)의 \(m\)차 극이다.

 

위 결과를 이용하여 다음 정리가 성립함을 보일 수 있다.

 

두 함수 \(p,\,q\)가 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(p(z_{0})\neq0,\,q(z_{0})=0,\,q'(z_{0})\neq0\)이라 하자. 그러면 \(z_{0}\)는 \(\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}\)의 단순 극점이고$$\text{Res}_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_{0})}{q'(z_{0})}$$이다.

 

증명: 가정을 만족하는 함수 \(p,\,q\)에 대하여 \(q(z_{0})=0,\,q'(z_{0})\neq0\)이므로 \(z_{0}\)는 \(q\)의 1차 영점이다. 그러므로 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(0\)이 아닌 함수 \(g\)가 존재해서 \(q(z)=(z-z_{0})g(z)\)이다. 그러면 \(z_{0}\)는 \(\displaystyle\frac{p(z)}{q(z)}\)의 단순극점이고$$\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{\phi(z)}{z-z_{0}},\,\phi(z)=\frac{p(z)}{g(z)}$$이며 \(\phi(z)\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(0\)이 아니므로$$\text{Res}_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_{0})}{g(z_{0})}$$이고 이때 \(g(z_{0})=q'(z_{0})\) 이므로$$\text{Res}_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_{0})}{q'(z_{0})}$$이다.

 

\(z_{0}=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}=1+i\) 은 다항함수 \(z^{4}+4\)의 영점이고 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{z^{4}+4}\)의 고립특이점이다. \(p(z)=z,\,q(z)=z^{4}+4\)라 하자. 그러면$$p(z_{0})=z_{0}\neq0,\,q(z_{0})=z_{0}^{4}+4=0,\,q'(z_{0})=4z_{0}^{3}\neq0$$이므로 \(z_{0}\)은 함수 \(f(z)\)의 단순 극이고 이 점에서의 유수 \(B_{0}\)는$$B_{0}=\frac{p(z_{0})}{q'(z_{0})}=\frac{z_{0}}{4z_{0}^{3}}=\frac{1}{8i}=-\frac{1}{8}i$$이다.

 

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill