24. 유수의 응용(1: 이상적분)

24. 유수의 응용(1: 이상적분)

앞에서 다룬 유수정리를 이용하여 실수 함수의 이상적분의 값을 구할 수 있다.

미적분학에서 구간 $[0,\,\infty)$에서 적분가능한 함수 $f(x)$의 정적분은 $$\int_{0}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{R}{f(x)dx}}$$ 이고, 우변의 극한이 존재하면, 이 적분은 수렴한다고 한다. 실수 전체 $\mathbb{R}$에서의 이 함수의 이상적분은 $$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{R_{1}\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-R_{1}}^{0}{f(x)dx}}+\lim_{R_{2}\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{R_{2}}{f(x)dx}}$$ 이고 우변의 두 극한이 모두 존재하면, 이 적분은 그 극한값들의 합으로 수렴한다. 이 적분의 코시 주값(Cauchy principal value)을 $$\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-R}^{R}{f(x)dx}}$$ 로 정의한다. 코시 주값이 존재하더라도 이상적분이 발산할 수 있다. 예를들어 $$\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{xdx}=\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-R}^{R}{xdx}}=0$$ 이나 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{xdx}$의 값은 존재하지 않는다.

코시 주값이 존재하는 우함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\int_{-R}^{R}{f(x)dx}=2\int_{0}^{R}{f(x)dx}=2\int_{-R}^{0}{f(x)dx}$이므로 $$\int_{0}^{\infty}{f(x)dx}=\frac{1}{2}\left\{\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}\right\}$$ 이다.

적분범위가 실수 전체인 유리함수의 정적분을 다음의 방법을 이용하여 구할 수 있다.

유리함수 $\displaystyle f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$에 대해서 $p(x),\,q(x)$는 계수가 실수인 다항함수이고 $q(x)$는 실수 영점을 갖지 않고, 대수학의 기본정리에 의해 복소수 영점을 갖는다. 이 복소수 영점들은 유한개이고 $q(z)$의 차수보다 작거나 같은 $n$에 대하여 $z_{1},\,z_{2},\,\cdots,\,z_{n}$으로 나타낼 수 있다. 위 그림의 양의 반원과 직선 경로 $C_{R}\cup[-R,\,R]$에 대해 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$를 적분한다. 그러면 $$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}+\int_{C_{R}}{f(z)dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{\text{Res}_{z=z_{k}}f(z)}$$ 이므로 $$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}=2\pi i\sum_{i=1}^{n}{\text{res}_{z=z_{k}}f(z)}-\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)dz}}=0$이면, $$\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{\text{Res}_{z=z_{k}}f(z)}$$ 이다. 

이상적분 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{6}+1}dx}$의 값을 구하자. 복소함수 $\displaystyle f(z)=\frac{z^{2}}{z^{6}+1}$의 고립특이점은 $\displaystyle c_{k}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)}\,(k=0,\,1,\,\cdots,\,5)$이고, 모두 복소수이다.

위 그림의 반원 내부에 있는 고립특이점은 $\displaystyle c_{o}=e^{i\frac{\pi}{6}},\,c_{2}=i,\,c_{3}=e^{i\frac{5\pi}{6}}$이고 $B_{k}=\text{Res}_{z=c_{k}}f(z)$라고 하면 $$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}+\int_{C_{R}}{f(z)dz}=2\pi i(B_{o}+B_{1}+B_{2})$$ 이고 $\displaystyle B_{k}=\text{Res}_{z=c_{k}}\frac{z^{2}}{z^{6}+1}=\frac{c_{k}^{2}}{6c_{k}^{5}}=\frac{1}{6c_{k}^{3}}$이므로 $$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}=2\pi i\left(\frac{1}{6i}-\frac{1}{6i}+\frac{1}{6i}\right)-\int_{C_{R}}{f(z)dz}=\frac{\pi}{3}-\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$ 이다.

$|z|=R>1$일 때 $|z^{2}|=|z|^{2}=R^{2}$이고 $|z^{6}+1|\geq||z|^{6}-1|=R^{6}-1$이므로 반원경로 $C_{R}$에서 $\displaystyle|f(z)|\leq\frac{R^{2}}{R^{6}-1}$이고 $$\left|\int_{C_{R}}{f(z)dz}\right|\leq\frac{R^{2}}{R^{6}-1}\pi R=\frac{\pi R^{3}}{R^{6}-1}$$ , $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi R^{3}}{R^{6}-1}}=0$이므로 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)dz}}=0$이고 $\displaystyle\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{6}+1}dx}=\frac{\pi}{3}$이므로 따라서 $$\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{6}+1}dx}=\frac{\pi}{6}$$ 이다.

$a>0$에 대하여 다음의 두 이상적분 $$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos axdx},\,\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\sin axdx}$$ 을 다음의 식 $$\int_{-R}^{R}{f(x)e^{iax}dx}=\int_{-R}^{R}{f(x)\cos axdx}+i\int_{-R}^{R}{f(x)\sin axdx}$$ 을 이용하여 쉽게 구할 수 있다.(참고: $\text{Im}z\geq0$일 때, $|e^{iaz}|=e^{-ay}<1$이다.)

이상적분 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos3x}{(x^{2}+1)^{2}}dx}$의 값을 구하자. 복소함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{(z^{2}+1)^{2}}$의 고립특이점은 $z=\pm i$이고 모두 복소수이다.

위의 반원 내부에 있는 $f(z)$의 고립특이점은 $z=i$뿐이므로 $$\int_{-R}^{R}{\frac{e^{i3x}}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=2\pi i\left\{\text{Res}_{z=i}f(z)e^{i3z}\right\}$$ 이고 $z=i$는 2차 극점이므로 $\displaystyle\phi(z)=\frac{e^{i3z}}{(z+i)^{2}}$라고 하면 $\displaystyle\text{Res}_{z=i}f(z)e^{i3z}=\phi'(i)=\frac{1}{ie^{3}}$이므로 $$\int_{-R}^{R}{\frac{e^{i3x}}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=\frac{2\pi}{e^{3}}-\int_{C_{R}}{f(z)e^{i3z}dz}$$ 이고 $$\int_{-R}^{R}{\frac{\cos3x}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=\frac{2\pi}{e^{3}}-\text{Re}\int_{C_{R}}{f(z)e^{i3z}dz}$$ 이다. 

$|z|=R>1$이라고 하면 $|z^{2}+1|\geq||z|^{2}-1|=R^{2}-1$이므로 $\displaystyle|f(z)e^{i3z}|\leq|f(z)|\leq\frac{1}{R^{2}-1}$이고 $$\left|\text{Re}\int_{C_{R}}{f(z)e^{i3z}dz}\right|\leq\left|\int_{C_{R}}{f(z)dz}\right|\leq\frac{\pi R}{R^{2}-1}$$ 이며 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi R}{R^{2}-1}}=0$이므로 $$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos3x}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=\frac{2\pi}{e^{3}}$$ 이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill