24. 유수의 응용(1: 이상적분)

24. 유수의 응용(1: 이상적분)

앞에서 다룬 유수정리를 이용하여 실수 함수의 이상적분의 값을 구할 수 있다.

미적분학에서 구간 \([0,\,\infty)\)에서 적분가능한 함수 \(f(x)\)의 정적분은$$\int_{0}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{R}{f(x)dx}}$$이고, 우변의 극한이 존재하면, 이 적분은 수렴한다고 한다. 실수 전체 \(\mathbb{R}\)에서의 이 함수의 이상적분은$$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{R_{1}\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-R_{1}}^{0}{f(x)dx}}+\lim_{R_{2}\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{R_{2}}{f(x)dx}}$$이고 우변의 두 극한이 모두 존재하면, 이 적분은 그 극한값들의 합으로 수렴한다. 이 적분의 코시 주값(Cauchy principal value)을$$\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-R}^{R}{f(x)dx}}$$로 정의한다. 코시 주값이 존재하더라도 이상적분이 발산할 수 있다. 예를들어$$\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{xdx}=\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-R}^{R}{xdx}}=0$$이나 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{xdx}\)의 값은 존재하지 않는다.

코시 주값이 존재하는 우함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{-R}^{R}{f(x)dx}=2\int_{0}^{R}{f(x)dx}=2\int_{-R}^{0}{f(x)dx}\)이므로$$\int_{0}^{\infty}{f(x)dx}=\frac{1}{2}\left\{\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}\right\}$$이다.

적분범위가 실수 전체인 유리함수의 정적분을 다음의 방법을 이용하여 구할 수 있다.

유리함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\)에 대해서 \(p(x),\,q(x)\)는 계수가 실수인 다항함수이고 \(q(x)\)는 실수 영점을 갖지 않고, 대수학의 기본정리에 의해 복소수 영점을 갖는다. 이 복소수 영점들은 유한개이고 \(q(z)\)의 차수보다 작거나 같은 \(n\)에 대하여 \(z_{1},\,z_{2},\,\cdots,\,z_{n}\)으로 나타낼 수 있다. 위 그림의 양의 반원과 직선 경로 \(C_{R}\cup[-R,\,R]\)에 대해 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}\)를 적분한다. 그러면$$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}+\int_{C_{R}}{f(z)dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{\text{Res}_{z=z_{k}}f(z)}$$이므로$$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}=2\pi i\sum_{i=1}^{n}{\text{res}_{z=z_{k}}f(z)}-\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$이고 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)dz}}=0\)이면,$$\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{\text{Res}_{z=z_{k}}f(z)}$$이다. 

이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{6}+1}dx}\)의 값을 구하자. 복소함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{z^{2}}{z^{6}+1}\)의 고립특이점은 \(\displaystyle c_{k}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)}\,(k=0,\,1,\,\cdots,\,5)\)이고, 모두 복소수이다.

위 그림의 반원 내부에 있는 고립특이점은 \(\displaystyle c_{o}=e^{i\frac{\pi}{6}},\,c_{2}=i,\,c_{3}=e^{i\frac{5\pi}{6}}\)이고 \(B_{k}=\text{Res}_{z=c_{k}}f(z)\)라고 하면$$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}+\int_{C_{R}}{f(z)dz}=2\pi i(B_{o}+B_{1}+B_{2})$$이고 \(\displaystyle B_{k}=\text{Res}_{z=c_{k}}\frac{z^{2}}{z^{6}+1}=\frac{c_{k}^{2}}{6c_{k}^{5}}=\frac{1}{6c_{k}^{3}}\)이므로$$\int_{-R}^{R}{f(x)dx}=2\pi i\left(\frac{1}{6i}-\frac{1}{6i}+\frac{1}{6i}\right)-\int_{C_{R}}{f(z)dz}=\frac{\pi}{3}-\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$이다.

\(|z|=R>1\)일 때 \(|z^{2}|=|z|^{2}=R^{2}\)이고 \(|z^{6}+1|\geq||z|^{6}-1|=R^{6}-1\)이므로 반원경로 \(C_{R}\)에서 \(\displaystyle|f(z)|\leq\frac{R^{2}}{R^{6}-1}\)이고$$\left|\int_{C_{R}}{f(z)dz}\right|\leq\frac{R^{2}}{R^{6}-1}\pi R=\frac{\pi R^{3}}{R^{6}-1}$$, \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi R^{3}}{R^{6}-1}}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)dz}}=0\)이고 \(\displaystyle\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{6}+1}dx}=\frac{\pi}{3}\)이므로 따라서$$\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{2}}{x^{6}+1}dx}=\frac{\pi}{6}$$이다.

\(a>0\)에 대하여 다음의 두 이상적분$$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos axdx},\,\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\sin axdx}$$을 다음의 식$$\int_{-R}^{R}{f(x)e^{iax}dx}=\int_{-R}^{R}{f(x)\cos axdx}+i\int_{-R}^{R}{f(x)\sin axdx}$$을 이용하여 쉽게 구할 수 있다.(참고: \(\text{Im}z\geq0\)일 때, \(|e^{iaz}|=e^{-ay}<1\)이다.)

이상적분 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos3x}{(x^{2}+1)^{2}}dx}\)의 값을 구하자. 복소함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{(z^{2}+1)^{2}}\)의 고립특이점은 \(z=\pm i\)이고 모두 복소수이다.

위의 반원 내부에 있는 \(f(z)\)의 고립특이점은 \(z=i\)뿐이므로$$\int_{-R}^{R}{\frac{e^{i3x}}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=2\pi i\left\{\text{Res}_{z=i}f(z)e^{i3z}\right\}$$이고 \(z=i\)는 2차 극점이므로 \(\displaystyle\phi(z)=\frac{e^{i3z}}{(z+i)^{2}}\)라고 하면 \(\displaystyle\text{Res}_{z=i}f(z)e^{i3z}=\phi'(i)=\frac{1}{ie^{3}}\)이므로$$\int_{-R}^{R}{\frac{e^{i3x}}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=\frac{2\pi}{e^{3}}-\int_{C_{R}}{f(z)e^{i3z}dz}$$이고$$\int_{-R}^{R}{\frac{\cos3x}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=\frac{2\pi}{e^{3}}-\text{Re}\int_{C_{R}}{f(z)e^{i3z}dz}$$이다. 

\(|z|=R>1\)이라고 하면 \(|z^{2}+1|\geq||z|^{2}-1|=R^{2}-1\)이므로 \(\displaystyle|f(z)e^{i3z}|\leq|f(z)|\leq\frac{1}{R^{2}-1}\)이고$$\left|\text{Re}\int_{C_{R}}{f(z)e^{i3z}dz}\right|\leq\left|\int_{C_{R}}{f(z)dz}\right|\leq\frac{\pi R}{R^{2}-1}$$이며 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi R}{R^{2}-1}}=0\)이므로$$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos3x}{(x^{2}+1)^{2}}dx}=\frac{2\pi}{e^{3}}$$이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill