26. 유수의 응용(3: 분지절단 위에서의 적분, 삼각함수가 포함된 정적분)

26. 유수의 응용(3: 분지절단 위에서의 적분, 삼각함수가 포함된 정적분)

분지절단 위에서의 적분

 

\(0<a<1\)일 때 이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{-a}}{x+1}dx}\)의 값을 구하자.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{z^{-a}}{z+1}\,\left(|z|>0,\,0<\text{arg}z<2\pi\right)\)의 분지를 위의 그림과 같게 하자. \(z=re^{i\theta}\)일 때 \(\displaystyle f(z)=\frac{e^{-a\log z}}{z+1}=\frac{e^{-a(\ln r+i\theta)}}{re^{i\theta}+1}\)이고

\(\theta=0\)은 원환을 절단하는 윗쪽 모서리이고 이때 \(z=re^{i0}\)이므로 \(\displaystyle f(z)=\frac{e^{-a(\ln r+i0)}}{r+1}=\frac{r^{-a}}{r+1}\)이다.

\(\theta=2\pi\)는 원환을 절단하는 아랫쪽 모서리이고 이때 \(z=re^{i2\pi}\)이므로 \(\displaystyle f(z)=\frac{e^{-a(\ln r+i2\pi)}}{r+1}=\frac{r^{-a}e^{-i2a\pi}}{r+1}\)이다.

그러므로 유수정리에 의해$$\int_{\rho}^{R}{\frac{r^{-a}}{r+1}dr}+\int_{C_{R}}{f(z)dz}-\int_{\rho}^{R}{\frac{r^{-a}e^{-i2a\pi}}{r+1}dr}+\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=-1}f(z)$$이다.

\(\displaystyle\phi(z)=z^{-a}=e^{-a\log z}=e^{-a(\ln r+i\theta)}\,(r>0,\,0<\theta<2\pi)\)라고 하면 \(\phi(-1)=e^{-a(\ln1+i\pi)}=e^{-ia\pi}\)이므로 \(z=-1\)에서 함수 \(f(z)\)의 유수는 \(e^{-ia\pi}\)이다. 따라서$$(1-e^{-i2a\pi})\int_{\rho}^{R}{\frac{r^{-a}}{r+1}dr}=2\pi ie^{-ia\pi}-\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}-\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$이고$$\begin{align*}\left|\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}\right|&\leq\frac{\rho^{-a}}{1-\rho}2\pi\rho=\frac{2\pi}{1-\rho}\rho^{1-a}\\ \left|\int_{C_{R}}{f(z)dz}\right|\leq\frac{R^{-a}}{R-1}2\pi R=\frac{2\pi R}{(R-1)R^{a}}\end{align*}$$이며 \(0<a<1\)이므로 \(\displaystyle\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}}=0,\,\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)dz}}=0\)이다.

그러므로 \(\displaystyle(1-e^{-i2a\pi})\int_{0}^{\infty}{\frac{r^{-a}}{r+1}dr}=2\pi ie^{-ia\pi}\)이고 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{r^{-a}}{r+1}dr}=2\pi i\frac{e^{-ia\pi}}{1-e^{-i2a\pi}}\frac{e^{ia\pi}}{e^{ia\pi}}=\pi\frac{2i}{e^{ia\pi}-e^{-ia\pi}}=\frac{\pi}{\sin a\pi}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{-a}}{x+1}dx}=\frac{\pi}{\sin a\pi}\,(0<a<1)\)이다.

삼각함수가 포함된 정적분

유수정리를 이용하여 \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{F(\sin\theta,\,\cos\theta)d\theta}\)형태의 정적분 값을 구할 수 있다.

\(z=e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)\)라고 하면 \(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}=iz\)이고 \(\displaystyle\sin\theta=\frac{z-z^{-1}}{2i},\,\cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2}\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{F(\sin\theta,\,\cos\theta)d\theta}=\int_{C}{F\left(\frac{z-z^{-1}}{2i},\,\frac{z+z^{-1}}{2}\right)\frac{dz}{iz}}\)이다.

정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{1+a\sin\theta}d\theta}\,(-1<a<1)\)의 값을 구하자.

\(\displaystyle\sin\theta=\frac{z-z^{-1}}{2i}\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{1+a\sin\theta}d\theta}=\int_{C}{\frac{2}{a\left(z^{2}+\frac{2i}{a}z-1\right)}dz}\)이고 여기서 \(C:\,|z|=1\)이다. 근의 공식으로부터 분모의 영점은$$z_{1}=\left(\frac{-1+\sqrt{1-a^{2}}}{a}\right)i,\,z_{2}=\left(\frac{-1-\sqrt{1-a^{2}}}{a}\right)i$$이고 이때 \(|z_{1}|<1,\,|z_{2}|>1\)이므로 \(\displaystyle\phi(z)=\frac{2}{a(z-z_{2})}\)라고 하면 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{2}{a(z-z_{1})(z-z_{2})}\)의 \(z=z_{1}\)에서의 유수는 \(\displaystyle\phi(z_{1})=\frac{2}{a(z_{1}-z_{2})}=\frac{1}{i\sqrt{1-a^{2}}}\)이므로$$\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{1+a\sin\theta}d\theta}=\int_{C}{\frac{2}{a\left(z^{2}+\frac{2i}{a}z-1\right)}dz}=\frac{2\pi}{\sqrt{1-a^{2}}}$$이다.

정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}\,(n\in\mathbb{N})\)의 값을 구하자.

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\int_{C}{\frac{1}{iz}\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2n}dz}\,(C:\,z=e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi))\)이고$$\begin{align*}\frac{1}{iz}\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2n}&=\frac{1}{i2^{2n}(-1)^{n}z}\sum_{r=0}^{2n}{\binom{2n}{r}z^{r}(-z^{-1})^{2n-r}}\\&=\frac{1}{i2^{2n}(-1)^{n}z}\sum_{r=0}^{2n}{\binom{2n}{r}z^{2r-2n}(-1)^{2n-r}}\end{align*}$$이므로 위 함수의 \(z=0\)에서의 유수는 \(\displaystyle\frac{1}{i2^{2n}(-1)^{n}}\binom{2n}{n}(-1)^{n}=\frac{(2n)!}{i2^{2n}(n!)^{2}}\)이고$$\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=2\pi i\left(\frac{(2n)!}{i2^{2n}(n!)^{2}}\right)=\frac{2(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi$$이므로 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi\)이다.

참고자료:       

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill