25. 유수의 응용(2: 조르단의 보조정리와 부등식, 오목한 경로)

25. 유수의 응용(2: 조르단의 보조정리와 부등식, 오목한 경로)

조르단 부등식(Jordan's inequality)

\(R>0\)에 대하여 부등식 \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}{e^{-R\sin\theta}d\theta}<\frac{\pi}{R}\)이 성립한다.

증명: 구간 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]\)에서 두 함수 \(y=\sin\theta\), \(\displaystyle y=\frac{2\theta}{\pi}\)의 그래프는 다음과 같다.

그러면 \(\displaystyle0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)일 때 \(\sin\theta\geq\frac{2\theta}{\pi}\)이고 \(R>0\), \(\displaystyle0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)일 때 \(\displaystyle e^{-R\sin\theta}\leq e^{-\frac{2R\theta}{\pi}}\)이다. 그러므로$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-R\sin\theta}d\theta}\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-\frac{2R}{\pi}\theta}d\theta}=\frac{\pi}{2R}(1-e^{-R})\leq\frac{\pi}{2R}$$이고 \(y=\sin\theta\)는 구간 \([0,\,\pi]\)에서 직선 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}\)에 대칭이므로 따라서 다음의 조르단 부등식$$\int_{0}^{\pi}{e^{-R\sin\theta}d\theta}\leq\frac{\pi}{R}$$을 얻는다.

조르단 보조정리(Jordan's Lemma)

(1) 함수 \(f(z)\)는 원 \(|z|=R_{o}\)의 외부인 상반평면 \(\text{Im}z\geq0\)에서 해석적이다.

(2) \(R>R_{0}\)일 때 반원 \(z=Re^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq\pi)\)를 \(C_{R}\)로 나타내자(아래 그림 참고)

(3) 모든 \(z\in C_{R}\)에 대하여 \(M_{R}>0\)이 존재해서 \(|f(z)|\leq M_{R}\)이고 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{M_{R}}=0\)이다.

그러면 임의의 \(a>0\)에 대하여 식 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)e^{iaz}dz}}=0\)이 성립한다.

증명: 반원 \(C_{R}\)에서$$\int_{C_{R}}{f(z)e^{iaz}dz}=\int_{0}^{\pi}{f(Re^{i\theta})e^{iaRe^{i\theta}}Rie^{i\theta}d\theta}$$이고 \(|f(Re^{i\theta})|\leq M_{R}\), \(|e^{iaRe^{i\theta}}|\leq e^{-aR\sin\theta}\)이므로 조르단의 부등식에 의해$$\left|\int_{C_{R}}{f(z)e^{iaz}dz}\right|\leq M_{R}R\int_{0}^{\pi}{e^{-aR\sin\theta}d\theta}<\frac{\pi M_{R}}{a}$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{M_{R}}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi M_{R}}{a}}=0\)이고 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)e^{iaz}dz}}=0\)이다.

이상적분 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{x\sin x}{x^{2}+2x+2}dx}\)의 값을 구하자. \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{z^{2}+2z+2}=\frac{z}{(z+1-i)(z+1+i)}\)이고 \(z_{1}=-1+i\)는 \(x\)축 위의 점이므로 $$\begin{align*}\text{Res}_{z=z_{1}}f(z)e^{iz}&=\frac{(-1+i)e^{i(-1+i)}}{(-1+i)-(-1-i)}=\frac{(-1+i)e^{-1-i}}{2i}=\frac{(-1+i)e^{-1}(\cos1-i\sin1)}{2i}\\&=\frac{(-\cos1+\sin1)+i(\cos1+\sin1)}{2ei}\end{align*}$$이다.

\(|z|>\sqrt{2}\)이고 \(C_{R}\)이 원 \(|z|=R\)의 위쪽 반을 나타낼 때$$\int_{-R}^{R}{\frac{xe^{ix}}{x^{2}+2x+2}dx}=2\pi i\text{Res}_{z=z_{1}}f(z)e^{iz}-\int_{C_{R}}{f(z)e^{iz}dz}$$이고$$\int_{-R}^{R}{\frac{x\sin x}{x^{2}+2x+2}dx}=\frac{\pi}{e}(\cos1+\sin1)-\text{Im}\int_{C_{R}}{f(z)e^{iz}dz}$$이며 \(\displaystyle\left|\text{Im}\int_{C_{R}}{f(z)e^{iz}dz}\right|\leq\left|\int_{C_{R}}{f(z)e^{iz}dz}\right|\), \(|z^{2}+2z+2|\geq||z|^{2}-2|z|+2|=R^{2}-2R+2\geq R^{2}-2\sqrt{2}R+2=(R-\sqrt{2})^{2}\)이므로 \(\displaystyle|f(z)|\leq\frac{R}{(R-\sqrt{2})^{2}}=M_{R}\)이고 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{M_{R}}=0\)이므로 조르단의 보조정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)e^{iz}dz}}=0\)이고 따라서$$\text{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{x\sin x}{x^{2}+2x+2}dx}=\frac{\pi}{e}(\cos1+\sin1)$$이다.

오목한 경로

(i) 실수 축 상의 점 \(z=x_{o}\)는 \(f(z)\)의 단순 극점이고 이 점에서의 유수는 \(B_{0}\)이며, \(f(z)\)는 뚫린 원판 \(0<|z-x_{o}|<R_{2}\)에서 로랑급수로 표현된다.

(ii) \(\rho<R_{2}\)일 때 시계방향의 원 \(|z-x_{o}|=\rho\)의 위쪽 반을 \(C_{\rho}\)라고 하자.(아래 그림 참고)

그러면 \(\displaystyle\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{p}}{f(z)dz}}=-B_{0}\pi i\)이다.

증명: \(f\)의 로랑급수를$$f(z)=g(z)+\frac{B_{o}}{z-x_{o}}\,(0<|z-x_{0}|<R_{2})$$라고 하자. 여기서$$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-x_{0})^{n}}\,(|z-x_{0}|<R_{2})$$이다. 그러므로$$\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}=\int_{C_{\rho}}{g(z)dz}+B_{0}\int_{C_{p}}{\frac{1}{z-x_{0}}dz}$$이고 \(\rho<\rho_{0}<R_{0}\)이면 \(g(z)\)는 \(|z-x_{0}|\leq\rho_{0}\)에서 유계이므로 \(M\geq0\)이 존재해서 \(|z-x_{0}|\leq\rho_{0}\)일 때 \(|g(z)|\leq M\)이다. 또한 \(\displaystyle\left|\int_{C_{\rho}}{g(z)dz}\right|\leq M\pi\rho\)이므로 \(\displaystyle\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{\rho}}{g(z)dz}}=0\)이다.

반원 \(-C_{\rho}\)를 \(z=x_{0}+\rho e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq\pi)\)로 나타낼 수 있으므로$$\int_{C_{\rho}}{\frac{1}{z-x_{0}}dz}=-\int_{-C_{\rho}}{\frac{1}{z-x_{0}}dz}=-\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\rho e^{i\theta}}\rho ie^{i\theta}d\theta}=-i\int_{0}^{\pi}{d\theta}=-i\pi$$이고 따라서$$\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}}=B_{0}(-\pi i)=-B_{0}\pi i$$이다.

이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}\)의 값을 다음의 방법으로 구할 수 있다.

코시-구르사 정리로부터$$\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=0$$이므로$$\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=-\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}-\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}$$이고 \(L_{1}:\,z=r\,(\rho\leq r\leq R),\,L_{2}:\,z=r\,(-R\leq r\leq-\rho)\)이므로$$\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=\int_{\rho}^{R}{\frac{e^{ir}}{r}dr}-\int_{\rho}^{R}{\frac{e^{-ir}}{r}dr}=2i\int_{\rho}^{R}{\frac{\sin r}{r}dr}$$이고$$2i\int_{\rho}^{R}{\frac{\sin r}{r}dr}=-\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}-\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}$$이다. 이때$$\frac{e^{iz}}{z}=\frac{1}{z}+\frac{i}{1!}+\frac{i^{2}}{2!}z+\frac{i^{3}}{3!}z^{3}+\cdots\,(0<|z|<\infty)$$이고 원점에서의 \(\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}\)의 유수는 1이므로 앞의 정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}}=-\pi i\)이다. 또한 \(z\in C_{R}\)에 대하여 \(\displaystyle\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}=\frac{1}{R}\)이므로 조르단 보조정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}}=0\)이고 따라서 극한 \(\rho\,\rightarrow\,0\)과 \(R\,\rightarrow\,\infty\)를 취하면 \(\displaystyle2i\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin r}{r}dr}=\pi i\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin x}{x}dx}=\frac{\pi}{2}\)이다.

이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{\ln x}{(x^{2}+4)^{2}}dx}\)의 값을 다음의 방법으로 구할 수 있다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{\log z}{(z^{2}+4)}\,\left(|z|>0,\,-\frac{\pi}{2}<\text{arg}z<\frac{3}{2}\pi\right)\)의 분지를 위의 그림과 같게 하자. 코시의 유수정리에 의해$$\int_{L_{1}}{f(z)dz}+\int_{C_{R}}{f(z)dz}+\int_{L_{2}}{f(z)dz}+\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=2i}f(z)$$이고$$\int_{L_{1}}{f(z)dz}+\int_{L_{2}}{f(z)dz}=2\pi i\text{Res}_{z=2i}f(z)-\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}-\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$이다. \(z=re^{i\theta}\)라고 하면 \(\displaystyle f(z)=\frac{\ln r+i\theta}{(r^{2}e^{i2\theta}+4)^{2}}\)이고 \(L_{1}:\,z=r\,(\rho\leq r\leq R),\,L_{2}:\,z=r\,(-R\leq r\leq-\rho)\)이므로$$\int_{L_{1}}{f(z)dz}+\int_{L_{2}}{f(z)dz}=\int_{\rho}^{R}{\frac{\ln r}{(r^{2}+4)^{2}}dr}+\int_{\rho}^{R}{\frac{\ln r+i\pi}{(r^{2}+4)^{2}}dr}$$이고 \(z=2i\)는 \(f(z)\)의 2차 극점이므로 \(\displaystyle\phi=\frac{\log z}{(z+2i)^{2}}\)라고 하면 \(z=2i\)에서 \(f(z)\)의 유수는 \(\displaystyle\phi'(2i)=\frac{\pi}{64}+i\frac{1-\ln2}{32}\)이다. 그러면$$2\int_{\rho}^{R}{\frac{\ln r}{(r^{2}+4)^{2}}dr}+i\pi\int_{\rho}^{R}{\frac{1}{(r^{2}+4)}dr}=\frac{\pi}{16}(\ln2-1)+i\frac{\pi^{2}}{32}-\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}-\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$이고$$2\int_{\rho}^{R}{\frac{\ln r}{(r^{2}+4)^{2}}dr}=\frac{\pi}{16}(\ln2-1)-\text{Re}\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}-\text{Re}\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$이다.

\(\rho<1\)이고 \(z=\rho e^{i\theta}\in C_{\rho}\)일 때,$$\begin{align*}|\log z|&=|\ln\rho+i\theta|\leq|\ln\rho|+|i\theta|\leq-\ln\rho+pi\\|z^{2}+4|&\geq||z|^{2}-4|=4-\rho^{2}\end{align*}$$이므로$$\left|\text{Re}\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}\right|\leq\left|\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}\right|\leq\frac{-\ln\rho+\pi}{(4-\rho^{2})^{2}}\pi\rho=\pi^{2}\frac{\rho}{(4-\rho^{2})^{2}}-\pi\frac{\rho\ln\rho}{(4-\rho^{2})^{2}}$$이고 \(\displaystyle\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}}=0\)이다.

\(R>2\)이고 \(z=Re^{i\theta}\in C_{R}\)일 때,$$\begin{align*}|\log z|&=|\ln R+i\theta|\leq|\ln R|+|i\theta|\leq\ln R+\pi\\|z^{2}+4|&\geq||z|^{2}-4|=R^{2}-4\end{align*}$$이므로$$\left|\text{Re}\int_{C_{R}}{f(z)dz}\right|\leq\left|\int_{C_{R}}{f(z)dz}\right|\leq\frac{\ln R+\pi}{(R^{2}-4)^{2}}\pi R=\pi\frac{R\ln R}{(R^{2}-4)^{2}}+\pi^{2}\frac{R}{(R^{2}-4)^{2}}$$이고 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{f(z)dz}}=0\)이다.

그러면 극한 \(\rho\,\rightarrow\,0,\,R\,\rightarrow\,\infty\)를 취했을 때, \(\displaystyle2\int_{0}^{\infty}{\frac{\ln r}{(r^{2}+4)^{2}}dr}=\frac{\pi}{16}(\ln2-1)\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{\ln x}{(x^{2}+4)^{2}}dx}=\frac{\pi}{32}(\ln2-1)\)이다.

또한$$\pi\int_{\rho}^{R}{\frac{1}{(r^{2}+4)^{2}}dr}=\frac{\pi^{2}}{32}-\text{Im}\int_{C_{\rho}}{f(z)dz}-\text{Im}\int_{C_{R}}{f(z)dz}$$이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}dx}=\frac{\pi}{32}\)이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill