20. 멱급수의 미분과 적분, 곱셈과 나눗셈

20. 멱급수의 미분과 적분, 곱셈과 나눗셈

$C$를 다음의 멱급수 $$S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}$$ 가 수렴하는 원의 내부에 있는 임의의 경로라고 하자. $C$에서 연속인 함수 $g(z)$에 대하여 다음 등식이 성립한다. $$\int_{C}{g(z)S(z)dz}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\int_{C}{g(z)(z-z_{0})^{n}dz}}$$ 이 정리의 증명은 생략하겠다. 이 정리로부터 급수 $S(z)$는 그 급수의 수렴하는 원의 내부에 있는 모든 점 $z$에서 해석적임을 알 수 있다.(수렴하는 원의 바깥에 있는 점에 대해서는 수렴하지 않는다)

다음의 함수 $$f(z)=\begin{cases}\displaystyle\frac{e^{z}-1}{z},&\,(z\neq0)\\1,&\,(z=0)\end{cases}$$ 는 전해석 함수이다. 그 이유는 $$e^{z}-1=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^{n}}{n!}}$$ 이므로 $z\neq0$일 때 $$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^{n-1}}{n!}}=1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots$$ 이고 이 급수는 $z=0$일 때 $f(0)$으로 수렴하므로 $f(z)$는 모든 $z$에 대해 수렴하는 멱급수로 표현되고 따라서 $f$는 전해석 함수이다. 따라서 $f$는 $z=0$에서 연속이고 $z\neq0$일 때 $\displaystyle f(z)=\frac{e^{z}-1}{z}$이므로 $$\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{z}-1}{z}}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f(z)}=f(0)=1$$ 이다.

멱급수 $$S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}$$ 이 수렴하는 원의 내부에 있는 모든 점 $z$에 대하여 $S(z)$를 항별로 미분할 수 있다. 즉 다음이 성립한다. $$S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}(z-z_{0})^{n-1}}$$ 이 정리의 증명은 앞 정리에서 $\displaystyle g(z)=\frac{1}{2\pi i(s-z)^{2}}$라고 하면 코시 적분공식에 의해 $$S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}\frac{d}{dz}(z-z_{0})^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}(z-z_{0})^{n-1}}$$ 이 성립한다.

급수 $$\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(z-1)^{n}}\,(|z-1|<1)$$ 를 미분하면 $$-\frac{1}{z^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}n(z-1)^{n-1}}\,(|z-1|<1)$$ 이고 $$\frac{1}{z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(n+1)(z-1)^{n}}\,(|z-1|<1)$$ 이다.

두 멱급수 $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}},\,g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}(z-z_{0})^{n}}$$ 가 원 $|z-z_{0}|=R$내부에서 수렴한다고 하자. 그러면 $f(z),\,g(z)$는 $|z-z_{0}|<R$에서 해석적이고 $$f(z)g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}}\,(|z-z_{0}|<R)$$ 이다. 이때 $$\begin{align*}c_{0}&=f(z_{0})g(z_{0})=a_{0}b_{0}\\c_{1}&=\frac{f(z_{0})g'(z_{0})+f'(z_{0})g(z_{0})}{1!}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}\\c_{2}&=\frac{f(z_{0})g''(z_{0})+2f'(z_{0})g'(z_{0})+f''(z_{0})g(z_{0})}{2!}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}\end{align*}$$ 이므로 $$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}\frac{g^{(n-k)}(z_{0})}{(n-k)!}}=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}$$ 이고 따라서 $$f(z)g(z)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})(z-z_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})(z-z_{0})^{2}+\cdots+\left(\sum_{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}\right)(z-z_{0})^{n}+\cdots$$ ($|z-z_{0}|<R$)이다. 이 것을 두 급수의 코시 곱(cauchy product)이라고 한다.

함수 $\displaystyle\frac{e^{z}}{1+z}$는 $z=-1$에서 정의되지 않는다. 따라서 이 함수의 매클로린 전개는 $|z|<1$에서 $$\frac{e^{z}}{1+z}=e^{z}\frac{1}{1-(-z)}=\left(1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots\right)(1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots)$$ 이고 $z$의 각 동류항을 아래와 같이 같은 세로 줄에 모으면

다음의 결과를 얻는다. $$\frac{e^{z}}{1+z}=1+\frac{1}{2}z^{2}-\frac{1}{3}z^{3}+\cdots\,(|z|<1)$$

$f(z),\,g(z)$가 앞에서의 급수이고 $|z-z_{0}|<R$에서 $g(z)\neq0$이라 하자. 그러면 $\frac{f(z)}{g(z)}$는 $|z-z_{0}|<R$에서 해석적이므로 $$\frac{f(z)}{g(z)}=\sum_{n=0}^{\infty}{d_{n}(z-z_{0})^{n}}$$ 이고 여기서 $$d_{n}=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\left(\frac{f(z)}{g(z)}\right)\,(|z-z_{0}|<R)$$ 이다.

$\sinh z=-i\sin(iz)$이므로 $\sinh z$의 영점은 $z=n\pi i\,(n\in\mathbb{Z})$이다. 그러면 $|z|<\pi$일 때 $$\frac{1}{z^{2}\sinh z}=\frac{1}{z^{2}\left(\displaystyle z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\cdots\right)}=\frac{1}{z^{3}}\left(\frac{1}{\displaystyle1+\frac{z^{2}}{3!}}+\frac{z^{4}}{5!}+\cdots\right)$$ 이고

이므로 $$\frac{1}{\displaystyle1+\frac{z^{2}}{3!}+\frac{z^{4}}{5!}+\cdots}=1-\frac{1}{3!}z^{2}+\left\{\frac{1}{(3!)^{2}}-\frac{1}{5!}\right\}z^{4}+\cdots=1-\frac{1}{6}z^{2}+\frac{7}{360}z^{4}+\cdots\,(|z|<\pi)$$ 이고 따라서 $$\frac{1}{z^{2}\sinh z}=\frac{1}{z^{3}}-\frac{1}{6z}+\frac{7}{360}z+\cdots\,(0<|z|<\pi)$$ 이고 이때 $$\int_{|z|=1}{\frac{1}{z^{2}\sinh z}dz}=-\frac{\pi}{3}i$$ 이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill