20. 멱급수의 미분과 적분, 곱셈과 나눗셈

20. 멱급수의 미분과 적분, 곱셈과 나눗셈

\(C\)를 다음의 멱급수$$S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}$$가 수렴하는 원의 내부에 있는 임의의 경로라고 하자. \(C\)에서 연속인 함수 \(g(z)\)에 대하여 다음 등식이 성립한다.$$\int_{C}{g(z)S(z)dz}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\int_{C}{g(z)(z-z_{0})^{n}dz}}$$이 정리의 증명은 생략하겠다. 이 정리로부터 급수 \(S(z)\)는 그 급수의 수렴하는 원의 내부에 있는 모든 점 \(z\)에서 해석적임을 알 수 있다.(수렴하는 원의 바깥에 있는 점에 대해서는 수렴하지 않는다)

다음의 함수$$f(z)=\begin{cases}\displaystyle\frac{e^{z}-1}{z},&\,(z\neq0)\\1,&\,(z=0)\end{cases}$$는 전해석 함수이다. 그 이유는 $$e^{z}-1=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^{n}}{n!}}$$이므로 \(z\neq0\)일 때$$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^{n-1}}{n!}}=1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots$$이고 이 급수는 \(z=0\)일 때 \(f(0)\)으로 수렴하므로 \(f(z)\)는 모든 \(z\)에 대해 수렴하는 멱급수로 표현되고 따라서 \(f\)는 전해석 함수이다. 따라서 \(f\)는 \(z=0\)에서 연속이고 \(z\neq0\)일 때 \(\displaystyle f(z)=\frac{e^{z}-1}{z}\)이므로$$\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{z}-1}{z}}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f(z)}=f(0)=1$$이다.

멱급수$$S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}$$이 수렴하는 원의 내부에 있는 모든 점 \(z\)에 대하여 \(S(z)\)를 항별로 미분할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.$$S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}(z-z_{0})^{n-1}}$$이 정리의 증명은 앞 정리에서 \(\displaystyle g(z)=\frac{1}{2\pi i(s-z)^{2}}\)라고 하면 코시 적분공식에 의해$$S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}\frac{d}{dz}(z-z_{0})^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}(z-z_{0})^{n-1}}$$이 성립한다.

급수$$\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(z-1)^{n}}\,(|z-1|<1)$$를 미분하면$$-\frac{1}{z^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}n(z-1)^{n-1}}\,(|z-1|<1)$$이고$$\frac{1}{z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(n+1)(z-1)^{n}}\,(|z-1|<1)$$이다.

두 멱급수$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}},\,g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}(z-z_{0})^{n}}$$가 원 \(|z-z_{0}|=R\)내부에서 수렴한다고 하자. 그러면 \(f(z),\,g(z)\)는 \(|z-z_{0}|<R\)에서 해석적이고$$f(z)g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}}\,(|z-z_{0}|<R)$$이다. 이때$$\begin{align*}c_{0}&=f(z_{0})g(z_{0})=a_{0}b_{0}\\c_{1}&=\frac{f(z_{0})g'(z_{0})+f'(z_{0})g(z_{0})}{1!}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}\\c_{2}&=\frac{f(z_{0})g''(z_{0})+2f'(z_{0})g'(z_{0})+f''(z_{0})g(z_{0})}{2!}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}\end{align*}$$이므로$$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}\frac{g^{(n-k)}(z_{0})}{(n-k)!}}=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}$$이고 따라서$$f(z)g(z)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})(z-z_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})(z-z_{0})^{2}+\cdots+\left(\sum_{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}\right)(z-z_{0})^{n}+\cdots$$(\(|z-z_{0}|<R\))이다. 이 것을 두 급수의 코시 곱(cauchy product)이라고 한다.

함수 \(\displaystyle\frac{e^{z}}{1+z}\)는 \(z=-1\)에서 정의되지 않는다. 따라서 이 함수의 매클로린 전개는 \(|z|<1\)에서$$\frac{e^{z}}{1+z}=e^{z}\frac{1}{1-(-z)}=\left(1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots\right)(1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots)$$이고 \(z\)의 각 동류항을 아래와 같이 같은 세로 줄에 모으면

다음의 결과를 얻는다.$$\frac{e^{z}}{1+z}=1+\frac{1}{2}z^{2}-\frac{1}{3}z^{3}+\cdots\,(|z|<1)$$

\(f(z),\,g(z)\)가 앞에서의 급수이고 \(|z-z_{0}|<R\)에서 \(g(z)\neq0\)이라 하자. 그러면 \(\frac{f(z)}{g(z)}\)는 \(|z-z_{0}|<R\)에서 해석적이므로$$\frac{f(z)}{g(z)}=\sum_{n=0}^{\infty}{d_{n}(z-z_{0})^{n}}$$이고 여기서$$d_{n}=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\left(\frac{f(z)}{g(z)}\right)\,(|z-z_{0}|<R)$$이다.

\(\sinh z=-i\sin(iz)\)이므로 \(\sinh z\)의 영점은 \(z=n\pi i\,(n\in\mathbb{Z})\)이다. 그러면 \(|z|<\pi\)일 때$$\frac{1}{z^{2}\sinh z}=\frac{1}{z^{2}\left(\displaystyle z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\cdots\right)}=\frac{1}{z^{3}}\left(\frac{1}{\displaystyle1+\frac{z^{2}}{3!}}+\frac{z^{4}}{5!}+\cdots\right)$$이고

이므로$$\frac{1}{\displaystyle1+\frac{z^{2}}{3!}+\frac{z^{4}}{5!}+\cdots}=1-\frac{1}{3!}z^{2}+\left\{\frac{1}{(3!)^{2}}-\frac{1}{5!}\right\}z^{4}+\cdots=1-\frac{1}{6}z^{2}+\frac{7}{360}z^{4}+\cdots\,(|z|<\pi)$$이고 따라서$$\frac{1}{z^{2}\sinh z}=\frac{1}{z^{3}}-\frac{1}{6z}+\frac{7}{360}z+\cdots\,(0<|z|<\pi)$$이고 이때$$\int_{|z|=1}{\frac{1}{z^{2}\sinh z}dz}=-\frac{\pi}{3}i$$이다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill