17. 복소수열과 복소급수의 수렴

17. 복소수열과 복소급수의 수렴

복소수 값을 갖는 무한수열(infinite sequence) \(\{z_{n}\}\)에 대하여 이 수열의 극한이 \(z\)라는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(n_{0}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n>n_{0}\)일 때 \(|z_{n}-z|<\epsilon\)이 성립하는 것이다.(아래그림 참고) 

복소수열의 극한은 유일하고 극한 \(z\)가 존재할 때, 수열 \(z_{n}\)은 \(z\)로 수렴(converge)한다고 하고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z_{n}}=z$$로 나타낸다. 만약 극한이 존재하지 않으면 발산(diverge)한다고 한다.

\(z_{n}=x_{n}+iy_{n}\,(n\in\mathbb{N}),\,z=x+iy\)라 하자.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z_{n}}=z$$일 필요충분조건은$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=y$$이다.

증명:

\((\Leftarrow)\): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=y\)라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(n_{1},\,n_{2}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n>n_{1}\)일 때 \(\displaystyle|x_{n}-x|<\frac{\epsilon}{2}\)이고 \(n>n_{2}\)일 때 \(\displaystyle|y_{n}-y|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 그러므로 \(n_{0}=\max\{n_{1},\,n_{2}\}\)라 하면, \(n>n_{0}\)일 때, 삼각부등식에 의해$$|z_{n}-z|=|(x_{n}+iy_{n})-(x+iy)|=|(x_{n}-x)+i(y_{n}-y)|\leq|x_{n}-x|+|y_{n}-y|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z_{n}}=z\)이다.

\((\Rightarrow)\): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z_{n}}=z\)이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(n_{0}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n>n_{0}\)일 때 \(|z-z_{n}|=|(x_{n}+iy_{n})-(x+iy)|<\epsilon\)이다. 다음의 부등식으로부터$$\begin{align*}|x_{n}-x|&\leq|(x_{n}-x)+i(y_{n}-y)|=|z_{n}-z|<\epsilon\\|y_{n}-y|&\leq|(x_{n}-x)+i(y_{n}-y)|=|z_{n}-z|<\epsilon\end{align*}$$이므로 \(n>n_{0}\)일 때 \(|x_{n}-x|<\epsilon\)이고 \(|y_{n}-y|<\epsilon\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=y\)이다.

이 정리로부터 다음과 같이 나타낼 수 있는데$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(x_{n}+iy_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}+i\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}$$우변의 두 극한이 모두 존재하거나 좌변의 극한이 존재하는 경우에 한해서만 이렇게 나타낼 수 있다.

수열 \(\displaystyle z_{n}=\frac{1}{n^{3}}+i\)는 \(i\)로 수렴한다. 그 이유는 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\displaystyle n>\frac{1}{\sqrt[3]{\epsilon}}\)이면 \(\displaystyle|z_{n}-i|=\frac{1}{n^{3}}<\epsilon\)이기 때문이다.

수열 \(\displaystyle z_{n}=-2+i\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\)는 \(-2\)로 수렴하는 수열이지만 극좌표로 나타냈을 때,$$r_{n}=|z_{n}|=\sqrt{4+\frac{1}{n^{4}}},\,\Theta_{n}=\text{Arg} z_{n}=\begin{cases}\pi,&\,(n:\,\text{even})\\-\pi,&\,(n:\,\text{odd})\end{cases}$$이고, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}}=2\)이나 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\Theta_{n}}\)은 존재하지 않는다.

무한급수(infinite series) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}}\)가 합(sum) \(S\)로 수렴한다는 것은 다음의 부분합(partial sum)$$S_{N}=\sum_{n=1}^{N}{S_{n}}$$이 \(S\)에 수렴함을 뜻한다. 이 무한급수가 수렴하면 다음과 같이 나타낸다.$$\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}}=S$$이 급수가 수렴하지 않으면 발산한다고 한다.

\(z_{n}=x_{n}+iy_{n}\,(n\in\mathbb{N}),\,S=X+iY\)라 하자.$$\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}}=S$$일 필요충분조건은$$\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}}=X,\,\sum_{n=1}^{\infty}{y_{n}}=Y$$이다.

증명: 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{y_{n}}\)의 부분합을 각각 \(S_{N},\,X_{N},\,Y_{N}\)이라고 하자. 그러면$$S_{N}=X_{N}+iY_{N}$$이고 이 명제가 성립하려면 \(\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{S_{N}}=S\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{X_{N}}=X,\,\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{Y_{N}}=Y\)이 성립해야 한다. 앞의 결과로부터 이 명제가 성립한다.

이 정리로부터 다음과 같이 나타낼 수 있는데$$\sum_{n=1}^{\infty}{(x_{n}+iy_{n})}=\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}}+i\sum_{n=1}^{\infty}{y_{n}}$$우변의 두 급수가 모두 수렴하거나 좌변의 급수가 수렴하는 경우에 한해서만 이렇게 나타낼 수 있다.

복소급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}}\)이 수렴하면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z_{n}}=0\)이다.

증명: \(z_{n}=x_{n}+iy_{n}\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}}\)이 수렴하므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{y_{n}}\)모두 수렴하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=0,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=0\)이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z_{n}}=0+i0=0\)이다.

복소급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}}\)이 절대수렴하면, 그 급수는 수렴한다.

증명: 이 급수가 절대수렴한다고 가정하고 \(z_{n}=x_{n}+iy_{n}\)이라 하자.$$|x_{n}|\leq|z_{n}|,\,|y_{n}|\leq|z_{n}|$$이므로 비교판정법에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|x_{n}|},\,\sum_{n=1}^{\infty}{|y_{n}|}\)은 수렴하고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{x_{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{y_{n}}\)도 수렴하므로 따라서 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{z_{n}}\)는 수렴한다.

무한급수의 합이 \(S\)라고 할 때, \(N\)째항의 나머지 \(\rho_{N}\)을 다음과 같이 정의한다.$$\rho_{N}=S-S_{N}$$그러면 \(S=S_{N}+\rho_{N}\)이고 \(|S_{N}-S|=|\rho_{N}-0|\)이므로 급수가 \(S\)로 수렴할 필요충분조건은 나머지 \(\rho_{N}\)이 \(0\)으로 수렴하는 것이다.

\(|z|<1\)일 때,$$\sum_{n=1}^{\infty}{z^{n}}=\frac{1}{1-z}$$이다.$$1+z+z^{2}+\cdots+z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\,(z\neq1)$$이므로 부분합 \(S_{N}(z)\)는$$S_{N}(z)=\sum_{n=0}^{N-1}{z^{n}}=1+z+z^{2}+\cdots+z^{N-1}=\frac{1-z^{N}}{1-z}\,(z\neq1)$$이고, 급수의 합은 \(\displaystyle S(z)=\frac{1}{1-z}\)이므로 나머지는$$\rho_{N}=S(z)-S_{N}(z)=\frac{z^{N}}{1-z}\,(z\neq1)$$이고, \(\displaystyle|\rho_{N}(z)|=\frac{|z|^{N}}{|1-z|}\)이다. 이 나머지는 \(|z|<1\)일 때, \(0\)으로 수렴하고, 이외의 경우에는 발산한다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill