14. 코시-구르사 정리, 단순, 다중연결영역

14. 코시-구르사 정리, 단순, 다중연결영역

코시-구르사 정리(Cauchy-Goursat theorem)는 다음과 같다:

코시-구르사 정리: 함수 $f$가 단순닫힌경로 $C$와 그 내부의 모든 점에서 해석적이면 $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 이다.

(코시): 함수 $f$가 단순닫힌경로 $C$와 그 내부의 모든 점으로 이루어진 닫힌영역 $R$에서 해석적이고 $f'$이 여기서 연속이면 $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 이다.

다음과 같이 증명할 수 있다. $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)$로 놓자. 그러면 $dz=dx+idy$이므로 $$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{C}{(u+iv)(dx+idy)}=\int_{C}{udx-vdy}+i\int_{C}{vdx+udy}$$ 이다. $f'$이 $R$에서 연속이므로 $u$와 $v$의 1계 편도함수는 $R$에서 연속이고 코시-리만 방정식 $u_{x}=v_{y}$, $u_{y}=-v_{x}$이 성립한다. 또한 그린정리로부터 원하는 결과를 얻을 수 있다. $$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\iint_{R}{(-v_{x}-u_{y})dxdy}+i\iint_{R}{(u_{x}-v_{y})dxdy}\\&=0\,(\because -v_{x}-u_{y}=0,\,u_{x}-v_{y}=0)\end{align*}$$ (QED)

구르사는 $f'$가 연속이라는 조건 없이 $f'$이 해석적임을 증명했다. 이를 토대로 위의 결과와 결합한 정리가 코시-구르사 정리인데 이 정리의 증명은 복잡해서 여기서는 다루지 않겠다.

단순연결영역(simply connected domain) $D$는 $D$에 포함되는 모든 단순닫힌경로의 안쪽에 $D$의 점만이 속하는 영역이다. 단순 닫힌경로의 내부는 단순연결영역이고 중심이 가은 두 원 사이의 고리(annulus)는 아니다. 여기서 경로는 교차하는 경우를 포함한다.(아래그림 참고)

 

이러한 교차하는 경로에 대해서도 코시-구르사 정리를 적용할 수 있다. 위의 그림에서 $C_{k}\,(k=1,\,2,\,3,\,4)$는 닫힌곡선이고 $C$는 이러한 $C_{k}$들로 이루어진 경로이고 이러한 경로에 대해 $$\int_{C}{f(z)dz}=\sum_{k=1}^{4}{\int_{C_{k}}{f(z)dz}}=0$$ 이 성립한다. 

단순연결이 아닌 영역을 다중연결영역(multiply connected domain)이라고 한다. 다음은 다중연결영역에 대한 코시-구르사 정리이다.

(1) $C$는 반시계방향의 단순닫힌경로이다.

(2) $C_{k}\,(k=1,\,...,\,n)$는 $C$의 내부에 위치한 시계방향의 단순닫힌경로이고, 그 내부는 서로 겹치지 않는다.

위 (1)과 (2)를 가정하고 함수 $f$가 $C$를 포함한 내부와 각 $C_{k}$의 외부에 위치한 모든 점으로 구성된 다중연결영역 전체에서 해석적일 때, $$\int_{C}{f(z)dz}=-\sum_{k=1}^{n}{\int_{C_{k}}{f(z)}dz}$$ 이다. 이 정리에 대한 증명은 다음의 그림을 참고한다.

이 결과를 이용하여 다음의 결과를 얻는다.

(경로 변형의 원리, principle of deformation of path): $C_{1}$과 $C_{2}$의 안쪽에 포함된다. 함수 $f$가 이런 경로들과 그 사이의 모든 점으로 구성된 닫힌영역에서 해석적이면, $$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$ 이다.(아래그림 참고)

    

이 결과를 이용하여 다음을 얻는다. $C$가 원점을 둘러싼 양의 방향의 임의의 단순닫힌경로라고 하면 $$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$ 이다. 반지름의 길이가 매우 작아서 $C$의 내부에 완전히 포함되는 양의 방향의 원 $C_{0}$에 대하여 $$\int_{C_{0}}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$ 이다. 또한 $\displaystyle\frac{1}{z}$는 $z=0$을 제외한 모든 점에서 해석적이기 때문에 앞의 결과로부터 $$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=\int_{C_{0}}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$ 이다.(아래그림 참고)

 

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill