14. 코시-구르사 정리, 단순, 다중연결영역

14. 코시-구르사 정리, 단순, 다중연결영역

코시-구르사 정리(Cauchy-Goursat theorem)는 다음과 같다:

코시-구르사 정리: 함수 \(f\)가 단순닫힌경로 \(C\)와 그 내부의 모든 점에서 해석적이면$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$이다.

(코시): 함수 \(f\)가 단순닫힌경로 \(C\)와 그 내부의 모든 점으로 이루어진 닫힌영역 \(R\)에서 해석적이고 \(f'\)이 여기서 연속이면$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$이다.

다음과 같이 증명할 수 있다. \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)\)로 놓자. 그러면 \(dz=dx+idy\)이므로$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{C}{(u+iv)(dx+idy)}=\int_{C}{udx-vdy}+i\int_{C}{vdx+udy}$$이다. \(f'\)이 \(R\)에서 연속이므로 \(u\)와 \(v\)의 1계 편도함수는 \(R\)에서 연속이고 코시-리만 방정식 \(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\)이 성립한다. 또한 그린정리로부터 원하는 결과를 얻을 수 있다.$$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\iint_{R}{(-v_{x}-u_{y})dxdy}+i\iint_{R}{(u_{x}-v_{y})dxdy}\\&=0\,(\because -v_{x}-u_{y}=0,\,u_{x}-v_{y}=0)\end{align*}$$(QED)

구르사는 \(f'\)가 연속이라는 조건 없이 \(f'\)이 해석적임을 증명했다. 이를 토대로 위의 결과와 결합한 정리가 코시-구르사 정리인데 이 정리의 증명은 복잡해서 여기서는 다루지 않겠다.

단순연결영역(simply connected domain) \(D\)는 \(D\)에 포함되는 모든 단순닫힌경로의 안쪽에 \(D\)의 점만이 속하는 영역이다. 단순 닫힌경로의 내부는 단순연결영역이고 중심이 가은 두 원 사이의 고리(annulus)는 아니다. 여기서 경로는 교차하는 경우를 포함한다.(아래그림 참고)

 

이러한 교차하는 경로에 대해서도 코시-구르사 정리를 적용할 수 있다. 위의 그림에서 \(C_{k}\,(k=1,\,2,\,3,\,4)\)는 닫힌곡선이고 \(C\)는 이러한 \(C_{k}\)들로 이루어진 경로이고 이러한 경로에 대해 $$\int_{C}{f(z)dz}=\sum_{k=1}^{4}{\int_{C_{k}}{f(z)dz}}=0$$이 성립한다. 

단순연결이 아닌 영역을 다중연결영역(multiply connected domain)이라고 한다. 다음은 다중연결영역에 대한 코시-구르사 정리이다.

(1) \(C\)는 반시계방향의 단순닫힌경로이다.

(2) \(C_{k}\,(k=1,\,...,\,n)\)는 \(C\)의 내부에 위치한 시계방향의 단순닫힌경로이고, 그 내부는 서로 겹치지 않는다.

위 (1)과 (2)를 가정하고 함수 \(f\)가 \(C\)를 포함한 내부와 각 \(C_{k}\)의 외부에 위치한 모든 점으로 구성된 다중연결영역 전체에서 해석적일 때,$$\int_{C}{f(z)dz}=-\sum_{k=1}^{n}{\int_{C_{k}}{f(z)}dz}$$이다. 이 정리에 대한 증명은 다음의 그림을 참고한다.

이 결과를 이용하여 다음의 결과를 얻는다.

(경로 변형의 원리, principle of deformation of path): \(C_{1}\)과 \(C_{2}\)의 안쪽에 포함된다. 함수 \(f\)가 이런 경로들과 그 사이의 모든 점으로 구성된 닫힌영역에서 해석적이면,$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$이다.(아래그림 참고)

    

이 결과를 이용하여 다음을 얻는다. \(C\)가 원점을 둘러싼 양의 방향의 임의의 단순닫힌경로라고 하면$$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$이다. 반지름의 길이가 매우 작아서 \(C\)의 내부에 완전히 포함되는 양의 방향의 원 \(C_{0}\)에 대하여$$\int_{C_{0}}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$이다. 또한 \(\displaystyle\frac{1}{z}\)는 \(z=0\)을 제외한 모든 점에서 해석적이기 때문에 앞의 결과로부터$$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=\int_{C_{0}}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$이다.(아래그림 참고)

 

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill