13. 원시함수

13. 원시함수

 

 

서로 다른 두 점 $z_{1}$과 $z_{2}$에 대하여 이 두 점을 잇는 경로에 따라 $f(z)$의 경로적분값이 결정되지만 경로에 독립적인, 즉 경로에 관계없이 항상 적분값이 같은 특정한 함수들이 있다. 이러한 함수들에 대해서 미적분학의 기본정리와 비슷한 정리를 적용할 수 있다.

 여기서 필요한 것은 영역 $D$에서 연속함수 $f$의 원시함수(antiderivatives, 역도함수) $F$, 즉 모든 $z\in D$에서 $F'(z)=f(z)$인 함수 $F$이다.  

 

함수 $f(z)$가 영역 $D$에서 연속이라고 하자. 다음 명제들 중에서 하나가 참이면 나머지 명제들도 참이다.

 

(1) $D$에서 함수 $f(z)$의 원시함수 $F(z)$가 존재한다.

(2) 임의의 고정된 점 $z_{1}$, $z_{2}$에 대하여 $z_{1}$부터 $z_{2}$까지 연결하고 $D$에 완전히 포함되는 임의의 경로에서 $f(z)$의 적분값은 경로에 관계없이 항상 같다. 즉, $F(z)$가 (1)의 원시함수이면 다음이 성립한다. $$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}=\left[F(z)\right]_{z_{1}}^{z_{2}}=F(z_{2})-F(z_{1})$$ (3) $D$에 완전히 포함되는 임의의 닫힌경로에서 $f(z)$의 적분값은 항상 $0$이다.

 

증명:

(1)$\Rightarrow$(2): 영역 $D$에서 $f(z)$의 원시함수 $F(z)$가 존재한다고 하자. $C:\,z(t)\,(a\leq t\leq b)$를 $D$ 상에 놓인 $z_{1}$에서 $z_{2}$를 잇는 임의의 경로라고 하자. 그러면 $z(a)=z_{1}$, $z(b)=z_{2}$이고 다음이 성립한다. $$\frac{d}{dt}F(z(t))=F'(z(t))z'(t)=f(z(t))z'(t)\,(a\leq t\leq b)$$ 그러면 미적분학의 기본정리로부터 $$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}=\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}=\left[F(z(t))\right]_{a}^{b}=F(z(b))-F(z(a))=F(z_{1})-F(z_{2})$$ 이다. 이 식은 $C$가 매끄럽지 않은 임의의 경로일때도 성립한다. $C=C_{k}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)$($C_{k}$는 $z_{k}$에서 $z_{k+1}$로 잇는 매끄러운 호) 일 때 $$\int_{z_{1}}^{z_{n+1}}{f(z)dz}=\int_{C}{f(z)dz}=\sum_{k=1}^{n}{\int_{C_{k}}{f(z)dz}}=\sum_{k=1}^{n}{\int_{z_{k}}^{z_{k+1}}{f(z)dz}}=\sum_{k=1}^{n}{\{F(z_{k+1})-F(z_{k})\}}=F(z_{n+1})-F(z_{1})$$ 이므로 매끄럽지 않은 임의의 경로에 대해서도 성립한다.

 

(2)$\Rightarrow$(3): $C_{1}$과 $C_{2}$가 영역 $D$에서 점 $z_{1}$에서 $z_{2}$를 잇는 서로 다른 경로라 하자. 그러면 $$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$ 이고 $$\int_{C_{1}}{f(z)dz}-\int_{C_{2}}{f(z)dz}=\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{-C_{2}}{f(z)dz}=\int_{C_{1}-C_{2}}{f(z)dz}=0$$ 이다. 경로 $C=C_{1}-C_{2}$는 폐경로이므로 따라서 $C$에서 $f(z)$의 경로적분값은 $0$이다.

 

(3)$\Rightarrow$(1):\,임의의 $z\in D$에 대하여 $$F(z)=\int_{z_{0}}^{z}{f(s)ds}$$ 라 하자. $D$에 완전히 포함되고 $z$의 근방에 속하는데 $z$과 다른 임의의 점을 $z+\Delta z$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$F(z+\Delta z)-F(z)=\int_{z_{0}}^{z+\Delta z}{f(s)ds}-\int_{z_{0}}^{z}{f(s)ds}=\int_{z}^{z+\Delta z}{f(s)ds}$$ 이때 $$\int_{z}^{z+\Delta z}{ds}=(z+\Delta z)-z=\Delta z$$ 이므로 $$f(z)=\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}{f(z)ds}$$ 이고 $$\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)=\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}{\{f(s)-f(z)\}ds}$$ $f$는 $z$에서 연속이므로 연속의 정의로부터 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $|s-z|<\delta$일 때 $|f(s)-f(z)|<\epsilon$이다. 따라서 $|\Delta z|<\delta$일 때 $$\left|\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)\right|=\left|\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}{\{f(s)-f(z)\}ds}\right|\leq\frac{1}{|\Delta z|}\int_{z}^{z+\Delta z}{|f(s)-f(z)|dz}<\frac{1}{|\Delta z|}\epsilon|\Delta z|=\epsilon$$ 이므로 $$F'(z)=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}}=f(z)$$ 이다.(QED)

 

함수 $\displaystyle f(z)=\cos\left(\frac{z}{2}\right)$의 원시함수는 $\displaystyle F(z)=2\sin\left(\frac{z}{2}\right)$이다. 그러므로 $$\int_{0}^{\pi+2i}{\cos\left(\frac{z}{2}\right)dz}=\left[2\sin\left(\frac{z}{2}\right)\right]_{0}^{\pi+2i}=2\sin\left(\frac{\pi}{2}+i\right)-2\sin0=2\sin\frac{\pi}{2}\cos i=2\frac{e^{1}+e^{-1}}{2}=e+\frac{1}{e}$$ 이다.

 

경로 $C_{1}$이 원 $|z|=2$의 오른쪽 반, 즉 $$C_{1}:\,z=2e^{i\theta}\,\left(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right)$$ 이라 하자. 로그함수의 주분지 $$\text{Log}z=\ln r+i\Theta\,(r>0,\,-\pi<\Theta<\pi)$$ 를 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}$의 원시함수로 사용해서 $C_{1}$에서 $f(z)$의 적분값을 구할 수 있다. $$\begin{align*}\int_{C_{1}}{f(z)dz}&=\int_{C_{1}}{\frac{1}{z}dz}=\int_{-2i}^{2i}{\frac{1}{z}dz}=\left[\text{Log}z\right]_{-2i}^{2i}\\&=\text{Log}(2i)-\text{Log}(-2i)=\left(\ln2+i\frac{\pi}{2}\right)-\left(\ln2-i\frac{\pi}{2}\right)\\&=\pi i\end{align*}$$ 여기서 경로가 위의 원 $|z|=2$의 왼쪽반원 $C_{2}$ 즉, $$C_{2}:\,z=2e^{i\theta}\,\left(\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{3}{2}\pi\right)$$ 일 때는 다음의 로그함수의 분지 $$\log z=\ln r+i\theta\,(r>0,\,0<\theta<2\pi)$$ 를 $f(z)$의 원시함수로 보고 이 경로에 대한 $f(z)$의 적분을 다음과 같이 구할 수 있다. $$\begin{align*}\int_{C_{2}}{f(z)dz}&=\int_{2i}^{-2i}{\frac{1}{z}dz}=\left[\log z\right]_{2i}^{-2i}\\&=\log(-2i)-\log(2i)=\left(\ln2+i\frac{3}{2}\pi\right)-\left(\ln2+i\frac{\pi}{2}\right)\\&=\pi i\end{align*}$$ 그러므로 $$\int_{|z|=2}{\frac{1}{z}dz}=\int_{C_{1}}{\frac{1}{z}dz}+\int_{C_{2}}{\frac{1}{z}dz}=\pi i+\pi i=2\pi i$$ 이다.

 

함수 $$\frac{1}{1+i}z^{1+i}=\frac{1}{1+i}e^{(1+i)\log z}\,\left(|z|>0,\,-\frac{\pi}{2}<\text{arg}z<\frac{3}{2}\pi\right)$$ 를 미분하면 $$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1+i}e^{(1+i)\log z}\right)=\frac{1}{1+i}\frac{1+i}{z}e^{(1+i)\log z}=e^{-\log z}e^{(1+i)\log z}=e^{i\log z}=z^{i}$$ 이다. 그러면 $z^{i}$의 역도함수는 앞에서의 함수  $$\frac{1}{1+i}z^{1+i}=\frac{1}{1+i}e^{(1+i)\log z}\,\left(|z|>0,\,-\frac{\pi}{2}<\text{arg}z<\frac{3}{2}\pi\right)$$ 이고 따라서 $$\begin{align*}\int_{-1}^{1}{z^{i}dz}&=\left[\frac{1}{1+i}z^{1+i}\right]_{-1}^{1}=\left[\frac{1}{1+i}e^{(1+i)\log z}\right]_{-1}^{1}\\&=\frac{1-e^{(1+i)\log(-1)}}{1+i}=\frac{1-i}{2}(1-e^{-\pi-\pi i})\\&=\frac{1+e^{-\pi}}{2}(1-i)\end{align*}$$ 이다.

 

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill