10. 실변수 복소함수의 미분과 적분

10. 실변수 복소함수의 미분과 적분

변수가 실수 \(t\)인 복소함수 \(w(t)\)가 다음과 같다고 하자.$$w(t)=u(t)+iv(t)$$여기서 \(u(t)\)와 \(v(t)\)는 실수를 값으로 갖는 함수이다. 함수 \(w(t)\)의 도함수 \(\displaystyle\frac{d}{dt}w(t)=w'(t)\)는 \(u'(t)\)와 \(v'(t)\)가 모두 존재할 때 다음과 같이 정의한다.$$w'(t)=u'(t)+iv'(t)$$임의의 복소상수 \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,(x_{0},\,y_{0}\in\mathbb{R})\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\frac{d}{dt}\{z_{0}w(t)\}&=\{(x_{0}+iy_{0})(u+iv)\}'=\{(x_{0}u-y_{0}v)+i(y_{0}u+x_{0}v)\}'\\&=(x_{0}u-y_{0}v)'+i(y_{0}u+x_{0}v)'=(x_{0}u'-y_{0}v')+i(y_{0}u'+x_{0}v')\\&=(x_{0}+iy_{0})(u'+iv')=z_{0}w'(t)\end{align*}$$그러므로$$\frac{d}{dt}\{z_{0}w(t)\}=z_{0}w'(t)$$이다. 복소상수 \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\)에 대하여$$e^{z_{0}t}=e^{(x_{0}+iy_{0})t}=e^{x_{0}t}e^{iy_{0}t}=e^{x_{0}t}\cos y_{0}t+ie^{x_{0}t}\sin y_{0}t$$이다. 그러면$$\begin{align*}\frac{d}{dt}e^{z_{0}t}&=(e^{x_{0}t}\cos y_{0}t)'+i(e^{x_{0}t}\sin y_{0}t)'=(x_{0}e^{x_{0}t}\cos y_{0}t-y_{0}e^{x_{0}t}\sin y_{0}t)+i(x_{0}e^{x_{0}t}\sin y_{0}t+y_{0}e^{x_{0}t}\cos y_{0}t)\\&=(x_{0}+iy_{0})(e^{x_{0}t}\cos y_{0}t+ie^{x_{0}t}\sin y_{0}t)=(x_{0}+iy_{0})e^{x_{0}t}e^{iy_{0}t}\\&=z_{0}e^{z_{0}t}\end{align*}$$이므로$$\frac{d}{dt}e^{z_{0}t}=z_{0}e^{z_{0}t}$$이다.

실변수 복소함수 \(w(t)\)가 다음과 같다고 하자.$$w(t)=u(t)+iv(t)$$여기서 \(u(t)\), \(v(t)\)는 실수를 값으로 갖는 함수이다. 구간 \(a\leq t\leq b\)에서 \(w(t)\)의 정적분은, 이 구간에서 \(u\)와 \(v\)의 정적분이 존재할 때 다음과 같이 정의한다.$$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{b}{u(t)dt}+i\int_{a}^{b}{v(t)dt}$$그러므로 다음이 성립한다.$$\text{Re}\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{b}{\text{Re}\{w(t)\}dt},\,\text{Im}\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{b}{\text{Im}\{w(t)\}dt}$$이 방법을 이용하여 실변수 복소함수 \(w(t)=(1+it)^{2}=(1-t^{2})+i2t\)의 구간 \(0\leq t\leq1\)에서의 정적분을 구하면 다음과 같다.$$\int_{0}^{1}{(1+it)^{2}dt}=\int_{0}^{1}{(1-t^{2})dt}+i\int_{0}^{1}{2t}dt=\frac{2}{3}+i$$유계구간이 아닌 곳에서의 특이적분도 이와 같은 방법으로 정의한다. 앞에서 언급했던 함수 \(u\)와 \(v\)가 조각연속(piecewise continuous)이면, 이 함수들의 정적분을 구할 수 있는데 조각연속함수는 불연속점의 개수가 유한개이기 때문이다. 그리고 이때 \(w\)도 조각연속이다.

실함수의 정적분의 성질로부터 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{c}{w(t)dt}+\int_{c}^{b}{w(t)dt}\\ \int_{-a}^{a}{w(t)dt}=\begin{cases}&\displaystyle2\int_{0}^{a}{w(t)dt}\,(w(-t)=w(t))\\&0\,(w(-t)=-w(t))\end{cases}$$\(w_{1}(t)\)와 \(w_{2}(t)\)가 실수변수 복소함수이고 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{C}\)일 때$$\int_{a}^{b}{\{\alpha w_{1}(t)+\beta w_{2}(t)\}dt}=\alpha\int_{a}^{b}{w_{1}(t)dt}+\beta\int_{a}^{b}{w_{2}(t)dt}$$특히 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 적용할 수 있는데 다음의 함수들이 구간 \(a\leq t\leq b\)에서 연속이라고 하자.$$w(t)=u(t)+iv(t),\,W(t)=U(t)+iV(t)$$\(a\leq t\leq b\)에서 \(W'(t)=w(t)\)이면 \(U'(t)=u(t)\), \(V'(t)=v(t)\)이므로$$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\left[U(t)\right]_{a}^{b}+i\left[V(t)\right]_{a}^{b}=\{U(b)+iV(b)\}-\{U(a)+iV(a)\}$$이고$$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=W(b)-W(a)=\left[W(t)\right]_{a}^{b}$$이다.

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{it}}{i}\right)=e^{it}$$가 성립한다. 그러면 다음이 성립한다.$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{e^{it}dt}=\left[\frac{e^{it}}{i}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$다음의 정적분$$\int_{0}^{\pi}{e^{x}\cos xdx},\,\int_{0}^{\pi}{e^{x}\sin xdx}$$을 구하려면 부분적분을 두번 적용해야 하는 불편함이 있다. 그러나 등식$$e^{(1+i)x}=e^{x}\cos x+ie^{x}\sin x$$을 이용하면 앞의 두 정적분을 쉽게 구할 수 있다.$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+i}e^{(1+i)x}\right)=e^{(1+i)x}$$이므로 $$\begin{align*}\int_{0}^{\pi}{e^{(1+i)x}dx}&=\left[\frac{1}{1+i}e^{(1+i)x}\right]_{0}^{\pi}=\frac{e^{(1+i)\pi}-1}{1+i}=\frac{\{(e^{\pi}\cos\pi+ie^{\pi}\sin\pi)-1\}(1-i)}{2}\\&=\frac{(-e^{\pi}-1)(1-i)}{2}=-\frac{1+e^{\pi}}{2}+i\frac{1+e^{\pi}}{2}\end{align*}$$이고 따라서$$\int_{0}^{\pi}{e^{x}\cos xdx}=-\frac{1+e^{\pi}}{2},\,\int_{0}^{\pi}{e^{x}\sin xdx}=\frac{1+e^{\pi}}{2}$$이다.

구간 \(a\leq x\leq b\)에서 정의된 실수값을 갖는 실수함수 \(f(x)\)에 대하여 어떤 \(c\in\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다.$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\,\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$$여기서 미분의 경우는 정의된 구간에서 미분가능하고, 적분의 경우는 정의된 구간에서의 정적분이 존재한다고 한다.(이를 각각 미분에 관한 평균값정리, 적분에 관한 평균값정리라고 한다)

복소함수의 경우, 일반적으로 위의 등식이 성립하지 않는다. 구간 \(0\leq t\leq2\pi\)에서 정의된 함수 \(w(t)=e^{it}\)에 대하여 \(w(2\pi)=w(0)=1\)이고$$|w'(t)|=|ie^{it}|=1,\,\int_{0}^{2\pi}{w(t)dt}=\left[\frac{e^{it}}{i}\right]_{0}^{2\pi}=0$$이므로 위의 등식을 성립하게 하는 \(c\)를 찾을 수 없다.    

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill