10. 실변수 복소함수의 미분과 적분

10. 실변수 복소함수의 미분과 적분

변수가 실수 $t$인 복소함수 $w(t)$가 다음과 같다고 하자. $$w(t)=u(t)+iv(t)$$ 여기서 $u(t)$와 $v(t)$는 실수를 값으로 갖는 함수이다. 함수 $w(t)$의 도함수 $\displaystyle\frac{d}{dt}w(t)=w'(t)$는 $u'(t)$와 $v'(t)$가 모두 존재할 때 다음과 같이 정의한다. $$w'(t)=u'(t)+iv'(t)$$ 임의의 복소상수 $z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,(x_{0},\,y_{0}\in\mathbb{R})$에 대하여 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\frac{d}{dt}\{z_{0}w(t)\}&=\{(x_{0}+iy_{0})(u+iv)\}'=\{(x_{0}u-y_{0}v)+i(y_{0}u+x_{0}v)\}'\\&=(x_{0}u-y_{0}v)'+i(y_{0}u+x_{0}v)'=(x_{0}u'-y_{0}v')+i(y_{0}u'+x_{0}v')\\&=(x_{0}+iy_{0})(u'+iv')=z_{0}w'(t)\end{align*}$$ 그러므로 $$\frac{d}{dt}\{z_{0}w(t)\}=z_{0}w'(t)$$ 이다. 복소상수 $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$에 대하여 $$e^{z_{0}t}=e^{(x_{0}+iy_{0})t}=e^{x_{0}t}e^{iy_{0}t}=e^{x_{0}t}\cos y_{0}t+ie^{x_{0}t}\sin y_{0}t$$ 이다. 그러면 $$\begin{align*}\frac{d}{dt}e^{z_{0}t}&=(e^{x_{0}t}\cos y_{0}t)'+i(e^{x_{0}t}\sin y_{0}t)'=(x_{0}e^{x_{0}t}\cos y_{0}t-y_{0}e^{x_{0}t}\sin y_{0}t)+i(x_{0}e^{x_{0}t}\sin y_{0}t+y_{0}e^{x_{0}t}\cos y_{0}t)\\&=(x_{0}+iy_{0})(e^{x_{0}t}\cos y_{0}t+ie^{x_{0}t}\sin y_{0}t)=(x_{0}+iy_{0})e^{x_{0}t}e^{iy_{0}t}\\&=z_{0}e^{z_{0}t}\end{align*}$$ 이므로 $$\frac{d}{dt}e^{z_{0}t}=z_{0}e^{z_{0}t}$$ 이다.

실변수 복소함수 $w(t)$가 다음과 같다고 하자. $$w(t)=u(t)+iv(t)$$ 여기서 $u(t)$, $v(t)$는 실수를 값으로 갖는 함수이다. 구간 $a\leq t\leq b$에서 $w(t)$의 정적분은, 이 구간에서 $u$와 $v$의 정적분이 존재할 때 다음과 같이 정의한다. $$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{b}{u(t)dt}+i\int_{a}^{b}{v(t)dt}$$ 그러므로 다음이 성립한다. $$\text{Re}\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{b}{\text{Re}\{w(t)\}dt},\,\text{Im}\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{b}{\text{Im}\{w(t)\}dt}$$ 이 방법을 이용하여 실변수 복소함수 $w(t)=(1+it)^{2}=(1-t^{2})+i2t$의 구간 $0\leq t\leq1$에서의 정적분을 구하면 다음과 같다. $$\int_{0}^{1}{(1+it)^{2}dt}=\int_{0}^{1}{(1-t^{2})dt}+i\int_{0}^{1}{2t}dt=\frac{2}{3}+i$$ 유계구간이 아닌 곳에서의 특이적분도 이와 같은 방법으로 정의한다. 앞에서 언급했던 함수 $u$와 $v$가 조각연속(piecewise continuous)이면, 이 함수들의 정적분을 구할 수 있는데 조각연속함수는 불연속점의 개수가 유한개이기 때문이다. 그리고 이때 $w$도 조각연속이다.

실함수의 정적분의 성질로부터 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\int_{a}^{c}{w(t)dt}+\int_{c}^{b}{w(t)dt}\\ \int_{-a}^{a}{w(t)dt}=\begin{cases}&\displaystyle2\int_{0}^{a}{w(t)dt}\,(w(-t)=w(t))\\&0\,(w(-t)=-w(t))\end{cases}$$ $w_{1}(t)$와 $w_{2}(t)$가 실수변수 복소함수이고 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{C}$일 때 $$\int_{a}^{b}{\{\alpha w_{1}(t)+\beta w_{2}(t)\}dt}=\alpha\int_{a}^{b}{w_{1}(t)dt}+\beta\int_{a}^{b}{w_{2}(t)dt}$$ 특히 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 적용할 수 있는데 다음의 함수들이 구간 $a\leq t\leq b$에서 연속이라고 하자. $$w(t)=u(t)+iv(t),\,W(t)=U(t)+iV(t)$$ $a\leq t\leq b$에서 $W'(t)=w(t)$이면 $U'(t)=u(t)$, $V'(t)=v(t)$이므로 $$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=\left[U(t)\right]_{a}^{b}+i\left[V(t)\right]_{a}^{b}=\{U(b)+iV(b)\}-\{U(a)+iV(a)\}$$ 이고 $$\int_{a}^{b}{w(t)dt}=W(b)-W(a)=\left[W(t)\right]_{a}^{b}$$ 이다.

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{it}}{i}\right)=e^{it}$$ 가 성립한다. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{e^{it}dt}=\left[\frac{e^{it}}{i}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ 다음의 정적분 $$\int_{0}^{\pi}{e^{x}\cos xdx},\,\int_{0}^{\pi}{e^{x}\sin xdx}$$ 을 구하려면 부분적분을 두번 적용해야 하는 불편함이 있다. 그러나 등식 $$e^{(1+i)x}=e^{x}\cos x+ie^{x}\sin x$$ 을 이용하면 앞의 두 정적분을 쉽게 구할 수 있다. $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+i}e^{(1+i)x}\right)=e^{(1+i)x}$$ 이므로 $$\begin{align*}\int_{0}^{\pi}{e^{(1+i)x}dx}&=\left[\frac{1}{1+i}e^{(1+i)x}\right]_{0}^{\pi}=\frac{e^{(1+i)\pi}-1}{1+i}=\frac{\{(e^{\pi}\cos\pi+ie^{\pi}\sin\pi)-1\}(1-i)}{2}\\&=\frac{(-e^{\pi}-1)(1-i)}{2}=-\frac{1+e^{\pi}}{2}+i\frac{1+e^{\pi}}{2}\end{align*}$$ 이고 따라서 $$\int_{0}^{\pi}{e^{x}\cos xdx}=-\frac{1+e^{\pi}}{2},\,\int_{0}^{\pi}{e^{x}\sin xdx}=\frac{1+e^{\pi}}{2}$$ 이다.

구간 $a\leq x\leq b$에서 정의된 실수값을 갖는 실수함수 $f(x)$에 대하여 어떤 $c\in\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다. $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\,\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$$ 여기서 미분의 경우는 정의된 구간에서 미분가능하고, 적분의 경우는 정의된 구간에서의 정적분이 존재한다고 한다.(이를 각각 미분에 관한 평균값정리, 적분에 관한 평균값정리라고 한다)

복소함수의 경우, 일반적으로 위의 등식이 성립하지 않는다. 구간 $0\leq t\leq2\pi$에서 정의된 함수 $w(t)=e^{it}$에 대하여 $w(2\pi)=w(0)=1$이고 $$|w'(t)|=|ie^{it}|=1,\,\int_{0}^{2\pi}{w(t)dt}=\left[\frac{e^{it}}{i}\right]_{0}^{2\pi}=0$$ 이므로 위의 등식을 성립하게 하는 $c$를 찾을 수 없다.    

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill