7. 해석함수와 조화함수

7. 해석함수와 조화함수

복소함수 \(f\)가 점 \(z_{0}\)의 어떤 근방에 속한 모든 점에서 미분가능할 때, \(f\)는 점 \(z_{0}\)에서 해석적(analytic)이라고 한다. 따라서 \(f\)가 \(z_{0}\)에서 해석적이면 \(f\)는 \(z_{0}\)의 어떤 근방에 있는 모든 점에서 반드시 해석적이다. \(f\)가 열린집합 상의 모든 점에서 미분가능하면, \(f\)는 그 열린집합에서 해석적이라고 한다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}\)는 유한 평면에서 \(0\)이 아닌 모든 점에서 해석적이고 함수 \(g(z)=|z|^{2}\)는 \(z=0\)에서만 미분가능하고 그 근방에서 미분가능하지 않기 때문에 어떠한 점에서도 해석적이지 않다.

복소평면 전체에서 해석적인 함수를 전해석(entire)함수라 한다. 함수 \(f\)가 점 \(z_{0}\)에서 해석적이지 않지만 \(z_{0}\)의 모든 근방에는 해석적인 점이 있을 때, \(z_{0}\)를 \(f\)의 특이점(singular point, singularity)이라고 한다. \(z=0\)은 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}\)의 특이점이나 함수 \(g(z)=|z|^{2}\)의 특이점은 아니다. 왜냐하면 함수 \(g\)는 어떠한 점에서 해석적이지 않기 때문이다.   

함수 \(f\)가 영역 \(D\)에서 연속이라는 조건과 코시-리만 방정식을 만족시킨다는 조건으로 해석적이라는 결론을 내릴 수 없다.

두 함수를 미분할 수 있는 점에서 미분가능하면 그 두함수의 합과 곱 또한 미분가능하다. 그러면 영역 \(D\)에서 해석적인 두 함수의 합과 곱도 \(D\)에서 해석적이다. 두 함수의 몫(quotient)의 경우는 \(D\)에서 분모가 \(0\)이 되게 하는 점이 없을 때 해석적이다. 특히 다항함수는 전해석 함수이므로 두 다항함수의 몫\(\displaystyle\frac{P(z)}{Q(z)}\)는 \(Q(z)\neq0\)인 모든 영역에서 해석적이다. 합성함수의 미분으로부터 두 해석함수의 합성함수는 해석적이다. 

영역 \(D\)에서 \(f'(z)=0\)이면 \(f(z)\)는 \(D\)에서 상수함수이다. \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)라 하면 가정에 의해 \(f'(z)=u_{x}+iv_{x}=0\)이고 또한 코시-리만 방정식에 의해 \(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\)이므로 \(v_{y}-iv_{x}=0\)이다. 그러면$$u_{x}=u_{y}=0,\,v_{x}=v_{y}=0$$이고 \(u\)와 \(v\)는 상수함수가 되므로 따라서 \(f\)는 상수함수이다.

*참고: 이 정리의 증명은 엄밀하지 않다.

함수 \(f\)와 \(\overline{f}\)(\(f\)의 켤레)가 영역 \(D\)에서 해석적이면 \(f\)는 \(D\)에서 상수함수이다. \(f\)가 해석적이므로 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)라 하면 코시-리만 방정식으로부터 \(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\)이다. 또한 \(\overline{f(z)}=u(x,\,y)-iv(x,\,y)\)도 해석적이므로 코시-리만 방정식으로부터 \(u_{x}=-v_{y}\), \(u_{y}=v_{x}\) 이다. 그러면$$u_{y}=v_{x}=-v_{x},\,u_{x}=v_{y}=-v_{y}$$이므로 \(u_{x}=u_{y}=0\), \(v_{x}=v_{y}=0\)이고 따라서 \(f\)는 \(D\)에서 상수함수이다.

함수 \(f\)가 \(D\)에서 해석적이고 \(|f|\)가 \(D\)에서 상수함수이면 \(f\)는 \(D\)에서 상수함수이다. 가정에 의해 임의의 \(z\in D\)에 대하여 \(|f(z)|=c\,(c\in\mathbb{R})\)(상수)이고 \(c=0\)이면 분명하다. \(c\neq0\)이라 하면 \(f(z)\overline{f(z)}=|f(z)|^{2}=c^{2}\)이고$$f(z)=\frac{c^{2}}{\overline{f(z)}}=c$$이므로 따라서 \(f\)도 \(D\)에서 상수함수이다.

실수 값을 갖는 이변수함수 \(H(x,\,y)\)가 \(xy\)평면의 주어진 영역에서 조화적(Harmonic) 또는 조화함수(Harmonic function)일 필요충분조건은 \(H\)의 연속인 1계 편도함수와 2계 편도함수가 존재하고 다음의 편미분방정식을 만족하는 경우이다.$$\frac{\partial^{2}H}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}H}{\partial y^{2}}=0$$이 편미분방정식을 라플라스 방정식(Laplace's equation)이라고 한다.

함수 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 영역 \(D\)에서 해석적이면, \(u\)와 \(v\)는 \(D\)에서 조화적이다. 가정에 의해 \(f\)는 \(D\)에서 해석적이므로 코시-리만 방정식에 의해 \(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\)이고$$u_{xx}=v_{yx},\,u_{yx}=-v_{xx},\,u_{xy}=v_{yy},\,u_{yy}=-v_{xy}$$또한 \(u\)와 \(v\)의 편도함수들이 연속이므로 \(u_{xy}=u_{yx}\), \(v_{xy}=v_{yx}\)이다. 따라서$$u_{xx}+u_{yy}=0,\,v_{xx}+v_{yy}=0$$이고 \(u\)와 \(v\)는 \(D\)에서 조화함수이다.   

함수 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)에서 \(u\)와 \(v\)가 영역 \(D\)에서 조화적이고 코시-리만 방정식을 만족하면 \(v\)를 \(u\)의 켤레조화함수(conjugate harmonic function)라고 한다. 여기서 용어 '켤레'의 뜻은 켤레복소수의 정의와 다르다.

함수 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 영역 \(D\)에서 해석적일 필요충분조건은 \(u\)와 \(v\)가 켤레 조화함수인 것이다. 

함수 \(u\)와 \(v\)를 다음과 같이 정의하자.$$u(x,\,y)=x^{2}-y^{2},\,v(x,\,y)=2xy$$그러면 \(u\)와 \(v\)는 \(f(z)=z^{2}\)의 실수 성분과 허수 성분이 되고 \(v\)는 \(u\)의 켤레 조화함수이다. 그러나 \(u\)는 \(v\)의 켤레 조화함수가 아닌데 그 이유는 함수 \(2xy+i(x^{2}-y^{2})\)가 해석함수가 아니기 때문이다. 

이변수함수 \(u(x,\,y)=y^{3}-3x^{2}y\)는 \(xy\)평면에서 조화적이다. 이를 이용하여 \(u\)의 켤레조화함수 \(v\)를 구할 수 있다. 먼저 코시-리만 방정식으로부터 \(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\)이고 \(u_{x}=-6xy=v_{y}\)이므로 \(v=-3xy^{2}+\phi(x)\)이다. 또한 \(u_{y}=3y^{2}-3x^{2}=3y^{2}-\phi'(x)=-v_{x}\)이므로 \(\phi'(x)=3x^{2}\)이고 \(\phi(x)=x^{3}+C\)(\(C\)는 상수)이다. 그러므로$$v(x,\,y)=-3xy^{2}+x^{3}+C$$는 \(u\)의 켤레 조화함수이고 이에 대응되는 해석함수는$$f(z)=(y^{3}-3x^{2}y)+i(-3xy^{2}+x^{3}+C)$$이다. 이때$$z^{3}=(x+iy)^{3}=x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})$$이므로 \(f(z)=i(z^{3}+C)\)이다.  

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition Churchill, Brown, McGraw-Hill