7. 해석함수와 조화함수

7. 해석함수와 조화함수

복소함수 $f$가 점 $z_{0}$의 어떤 근방에 속한 모든 점에서 미분가능할 때, $f$는 점 $z_{0}$에서 해석적(analytic)이라고 한다. 따라서 $f$가 $z_{0}$에서 해석적이면 $f$는 $z_{0}$의 어떤 근방에 있는 모든 점에서 반드시 해석적이다. $f$가 열린집합 상의 모든 점에서 미분가능하면, $f$는 그 열린집합에서 해석적이라고 한다.

함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}$는 유한 평면에서 $0$이 아닌 모든 점에서 해석적이고 함수 $g(z)=|z|^{2}$는 $z=0$에서만 미분가능하고 그 근방에서 미분가능하지 않기 때문에 어떠한 점에서도 해석적이지 않다.

복소평면 전체에서 해석적인 함수를 전해석(entire)함수라 한다. 함수 $f$가 점 $z_{0}$에서 해석적이지 않지만 $z_{0}$의 모든 근방에는 해석적인 점이 있을 때, $z_{0}$를 $f$의 특이점(singular point, singularity)이라고 한다. $z=0$은 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}$의 특이점이나 함수 $g(z)=|z|^{2}$의 특이점은 아니다. 왜냐하면 함수 $g$는 어떠한 점에서 해석적이지 않기 때문이다.   

함수 $f$가 영역 $D$에서 연속이라는 조건과 코시-리만 방정식을 만족시킨다는 조건으로 해석적이라는 결론을 내릴 수 없다.

두 함수를 미분할 수 있는 점에서 미분가능하면 그 두함수의 합과 곱 또한 미분가능하다. 그러면 영역 $D$에서 해석적인 두 함수의 합과 곱도 $D$에서 해석적이다. 두 함수의 몫(quotient)의 경우는 $D$에서 분모가 $0$이 되게 하는 점이 없을 때 해석적이다. 특히 다항함수는 전해석 함수이므로 두 다항함수의 몫$\displaystyle\frac{P(z)}{Q(z)}$는 $Q(z)\neq0$인 모든 영역에서 해석적이다. 합성함수의 미분으로부터 두 해석함수의 합성함수는 해석적이다. 

영역 $D$에서 $f'(z)=0$이면 $f(z)$는 $D$에서 상수함수이다. $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$라 하면 가정에 의해 $f'(z)=u_{x}+iv_{x}=0$이고 또한 코시-리만 방정식에 의해 $u_{x}=v_{y}$, $u_{y}=-v_{x}$이므로 $v_{y}-iv_{x}=0$이다. 그러면 $$u_{x}=u_{y}=0,\,v_{x}=v_{y}=0$$ 이고 $u$와 $v$는 상수함수가 되므로 따라서 $f$는 상수함수이다.

*참고: 이 정리의 증명은 엄밀하지 않다.

함수 $f$와 $\overline{f}$($f$의 켤레)가 영역 $D$에서 해석적이면 $f$는 $D$에서 상수함수이다. $f$가 해석적이므로 $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$라 하면 코시-리만 방정식으로부터 $u_{x}=v_{y}$, $u_{y}=-v_{x}$이다. 또한 $\overline{f(z)}=u(x,\,y)-iv(x,\,y)$도 해석적이므로 코시-리만 방정식으로부터 $u_{x}=-v_{y}$, $u_{y}=v_{x}$ 이다. 그러면 $$u_{y}=v_{x}=-v_{x},\,u_{x}=v_{y}=-v_{y}$$ 이므로 $u_{x}=u_{y}=0$, $v_{x}=v_{y}=0$이고 따라서 $f$는 $D$에서 상수함수이다.

함수 $f$가 $D$에서 해석적이고 $|f|$가 $D$에서 상수함수이면 $f$는 $D$에서 상수함수이다. 가정에 의해 임의의 $z\in D$에 대하여 $|f(z)|=c\,(c\in\mathbb{R})$(상수)이고 $c=0$이면 분명하다. $c\neq0$이라 하면 $f(z)\overline{f(z)}=|f(z)|^{2}=c^{2}$이고 $$f(z)=\frac{c^{2}}{\overline{f(z)}}=c$$ 이므로 따라서 $f$도 $D$에서 상수함수이다.

실수 값을 갖는 이변수함수 $H(x,\,y)$가 $xy$평면의 주어진 영역에서 조화적(Harmonic) 또는 조화함수(Harmonic function)일 필요충분조건은 $H$의 연속인 1계 편도함수와 2계 편도함수가 존재하고 다음의 편미분방정식을 만족하는 경우이다. $$\frac{\partial^{2}H}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}H}{\partial y^{2}}=0$$ 이 편미분방정식을 라플라스 방정식(Laplace's equation)이라고 한다.

함수 $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$가 영역 $D$에서 해석적이면, $u$와 $v$는 $D$에서 조화적이다. 가정에 의해 $f$는 $D$에서 해석적이므로 코시-리만 방정식에 의해 $u_{x}=v_{y}$, $u_{y}=-v_{x}$이고 $$u_{xx}=v_{yx},\,u_{yx}=-v_{xx},\,u_{xy}=v_{yy},\,u_{yy}=-v_{xy}$$ 또한 $u$와 $v$의 편도함수들이 연속이므로 $u_{xy}=u_{yx}$, $v_{xy}=v_{yx}$이다. 따라서 $$u_{xx}+u_{yy}=0,\,v_{xx}+v_{yy}=0$$ 이고 $u$와 $v$는 $D$에서 조화함수이다.   

함수 $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$에서 $u$와 $v$가 영역 $D$에서 조화적이고 코시-리만 방정식을 만족하면 $v$를 $u$의 켤레조화함수(conjugate harmonic function)라고 한다. 여기서 용어 '켤레'의 뜻은 켤레복소수의 정의와 다르다.

함수 $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$가 영역 $D$에서 해석적일 필요충분조건은 $u$와 $v$가 켤레 조화함수인 것이다. 

함수 $u$와 $v$를 다음과 같이 정의하자. $$u(x,\,y)=x^{2}-y^{2},\,v(x,\,y)=2xy$$ 그러면 $u$와 $v$는 $f(z)=z^{2}$의 실수 성분과 허수 성분이 되고 $v$는 $u$의 켤레 조화함수이다. 그러나 $u$는 $v$의 켤레 조화함수가 아닌데 그 이유는 함수 $2xy+i(x^{2}-y^{2})$가 해석함수가 아니기 때문이다. 

이변수함수 $u(x,\,y)=y^{3}-3x^{2}y$는 $xy$평면에서 조화적이다. 이를 이용하여 $u$의 켤레조화함수 $v$를 구할 수 있다. 먼저 코시-리만 방정식으로부터 $u_{x}=v_{y}$, $u_{y}=-v_{x}$이고 $u_{x}=-6xy=v_{y}$이므로 $v=-3xy^{2}+\phi(x)$이다. 또한 $u_{y}=3y^{2}-3x^{2}=3y^{2}-\phi'(x)=-v_{x}$이므로 $\phi'(x)=3x^{2}$이고 $\phi(x)=x^{3}+C$($C$는 상수)이다. 그러므로 $$v(x,\,y)=-3xy^{2}+x^{3}+C$$ 는 $u$의 켤레 조화함수이고 이에 대응되는 해석함수는 $$f(z)=(y^{3}-3x^{2}y)+i(-3xy^{2}+x^{3}+C)$$ 이다. 이때 $$z^{3}=(x+iy)^{3}=x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})$$ 이므로 $f(z)=i(z^{3}+C)$이다.  

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition Churchill, Brown, McGraw-Hill