9. 삼각함수와 역삼각함수

9. 삼각함수와 역삼각함수

오일러공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$로부터 복소삼각함수를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\,\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\,\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\\ \csc z=\frac{1}{\sin z},\,\sec z=\frac{1}{\cos z},\,\cot z=\frac{1}{\tan z}$$ 이때 $$\sin(-z)=\frac{e^{-iz}-e^{iz}}{2i}=-\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=-\sin z\\ \cos(-z)=\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z$$ 이므로 복소수에서도 사인함수는 기함수, 코사인함수는 우함수이다. 

복소지수함수 $e^{iz}$와 $e^{-iz}$의 도함수가 다음과 같으므로 $$\frac{d}{dz}e^{iz}=ie^{iz},\,\frac{d}{dz}e^{-iz}=-ie^{-iz}$$ $\sin z$와 $\cos z$의 도함수는 다음과 같다. $$\frac{d}{dz}\sin z=\frac{d}{dz}\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)=i\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2i}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z\\ \frac{d}{dz}\cos z=\frac{d}{dz}\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)=i\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=-\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=-\sin z$$ 이 결과를 이용하여 다음의 결과들을 얻는다. $$\frac{d}{dz}\tan z=\sec^{2}z,\,\frac{d}{dz}\cot z=-\csc^{2}z,\,\frac{d}{dz}\csc z=-\csc z\cot z,\,\frac{d}{dz}\sec z=\sec z\tan z$$ 복소수 $z_{1}$, $z_{2}$에 대하여 다음의 등식 $$\begin{align*}\cos(z_{1}+z_{2})+i\sin(z_{1}+z_{2})&=e^{i(z_{1}+z_{2})}=e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}=(\cos z_{1}+i\sin z_{1})(\cos z_{2}+i\sin z_{2})\\&=(\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2})+i(\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2})\end{align*}$$ 으로부터 삼각함수의 덧셈공식 $$\sin(z_{1}+z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2}\\ \cos(z_{1}+z_{2})=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}$$ 를 얻고 이를 토대로 다음의 공식을 얻는다. $$\sin 2z=2\sin z\cos z,\,\cos 2z=\cos^{2}z-\sin^{2}z,\,\sin\left(\frac{\pi}{2}+z\right)=\cos z,\,\sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=-\cos z$$ 또한 다음이 성립하며 $$\sin^{2}z+\cos^{2}z=\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^{2}+\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^{2}=-\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}-2}{4}+\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}+2}{4}=1$$ $\sin z$와 $\cos z$의 주기성도 실수에서처럼 복소수에서도 성립한다. 이는 앞의 덧셈공식을 이용하여 쉽게 보일 수 있다. $$\sin(z+2\pi)=\sin z,\,\cos(z+2\pi)=\cos z,\,\sin(z+\pi)=-\sin z,\,\cos(z+\pi)=-\cos z$$ 실수 $x$에 대한 쌍곡선함수는 다음과 같다. $$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\,\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$ 이때 다음이 성립한다. $$\sin(ix)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2i}=i\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=-i\sinh x,\,\cos(ix)=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\cosh x\,(x\in\mathbb{R})$$ 그러면 덧셈공식으로부터 다음이 성립하고 $$\sin z=\sin(x+iy)=\sin x\cos(iy)+\cos x\sin(iy)=\sin x\cosh x+i\cos x\sinh y\\ \cos z=\cos(x+iy)=\cos x\cos(iy)-\sin x\sin(iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$$ 실수 $x$, $y$에 대한 쌍곡선함수의 등식 $\cosh^{2}y-\sinh^{2}y=1$과 삼각함수의 등식 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$로부터 다음이 성립한다. $$|\sin z|=(\sin x\cosh y)^{2}+(\cos x\sinh y)^{2}=\sin^{2}x(1+\sinh^{2}y)+(1-\sin^{2}x)\sinh^{2}y=\sin^{2}x+\sinh^{2}y\\|\cos z|=(\cos x\cosh y)^{2}+(-\sin x\sinh y)^{2}=\cos^{2}x(1+\sinh^{2}y)+(1-\cos^{2}x)\sinh^{2}y=\cos^{2}x+\sinh^{2}y$$ 이는 실수에서와는 달리 복소수 범위에서의 $\sin$과 $\cos$이 유계가 아님을 보여준다. 

함수 $f(z)$의 영점(zero)은 $f(z_{0})=0$인 점 $z_{0}$이다. 위의 결과로부터 $\sin$의 영점은 $x=n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$, $\cos$의 영점은 $\displaystyle z=\frac{\pi}{2}+n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$이다. 

사인함수 $w=\sin z$의 역함수는 $w=\sin^{-1}z\,(z=\sin w)$이다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$z=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$$ 다음과 같이 $e^{iw}$에 대한 이차방정식으로 나타낼 수 있다. $$(e^{iw})^{2}-2iz(e^{iw})-1=0$$ 이 이차방정식을 풀면 $$e^{iw}=iz+(1-z^{2})^{\frac{1}{2}}$$ 이고 따라서 $$\sin^{-1}z=-i\log\{iz+(1-z^{2})^{\frac{1}{2}}\}$$ 이다. 이 방법을 이용하여 $\cos z$와 $\tan z$의 역함수도 구할 수 있고 그 역함수는 다음과 같다. $$\cos^{-1}z=-i\log\{z+i(1-z^{2})^{\frac{1}{2}}\}\\ \tan^{-1}z=\frac{i}{2}\log\frac{i+z}{i-z}$$ 이 역함수들의 도함수는 다음과 같고 실수의 경우와 비슷하다. $$\frac{d}{dz}\sin^{-1}z=\frac{1}{(1-z^{2})^{\frac{1}{2}}},\,\frac{d}{dz}\cos^{-1}z=\frac{-1}{(1-z^{2})^{\frac{1}{2}}},\,\frac{d}{dz}\tan^{-1}z=\frac{1}{1+z^{2}}$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill

복소함수론의 이해, 김군찬, 강영욱, 경문사