8. 지수함수와 로그함수

8. 지수함수와 로그함수

실수에서의 지수 $e^{x}\,(x\in\mathbb{R})$는 값이 유일하다. 그러나 복소수의 경우 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,(x\in\mathbb{R})$$ 이므로 $e^{ix}$는 주기가 $2\pi$인 주기함수이다. 이는 복소지수는 주기성을 가짐을 나타낸다. 그러므로 이 점에 유의해야 한다. 복소수 $z=x+iy$에 대하여 지수함수 $e^{z}$는 다음과 같이 정의된다. $$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y$$ 여기서 $u(x,\,y)=e^{x}\cos y$, $v(x,\,y)=e^{x}\sin y$라 하면 $$u_{x}=e^{x}\cos y=v_{y},\,u_{y}=-e^{x}\sin y=-v_{x}$$ 이고 $e^{z}$는 전해석 함수이므로 이 결과로부터 $$\frac{d}{dz}e^{z}=u_{x}+iv_{x}=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=e^{x}e^{iy}=e^{x+iy}=e^{z}$$ 라는 결과를 얻는다. 또한 실수 $\theta_{1}$, $\theta_{2}$에 대하여 $e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}=e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}$이므로 임의의 복소수 $z_{1}$과 $z_{2}$에 대하여 다음이 성립한다. $$\displaystyle e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}},\,\frac{e^{z_{1}}}{e^{z_{2}}}=e^{z_{1}-z_{2}}$$ 모든 복소수 $z$에 대해 $e^{z}\neq0$이므로 $$e^{z}=e^{x+iy}=\rho e^{i\phi}\,(\rho=e^{x},\,\phi=y)$$ 로 나타낼 수 있고 $$|e^{z}|=e^{x}=\rho,\,\text{arg}(e^{z})=y+2n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이다.

지수방정식 $e^{z}=1+i$의 해를 구하자. $$1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}=e^{x}e^{iy}$$ 이므로 $$e^{x}=\sqrt{2},\,e^{iy}=e^{i\frac{\pi}{4}}$$ 이다. 그러면 $$x=\frac{1}{2}\ln2,\,y=\frac{\pi}{4}+2n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이므로 이 지수방정식의 해는 $$z=\frac{1}{2}\ln2+\left(2n+\frac{1}{4}\right)\pi i\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이다. 

다음의 지수방정식을 고려하자. $$e^{w}=z\,(z\neq0)$$ $z=re^{i\Theta}\,(-\pi<\Theta\leq\pi)$, $w=u+iv$라 하면 $$e^{u+iv}=e^{u}e^{iv}=re^{i\Theta}$$ 이고 $e^{u}=r$, $v=\Theta+2n\pi$이므로 $$w=\ln r+i(\Theta+2n\pi)\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이다. $w$를 다음과 같이 나타낸다. $$\log z=\ln r+i(\Theta+2n\pi)\,(n\in\mathbb{Z})$$ 여기서의 $\log$표기는 밑이 $10$인 상용로그가 아니라는 점과 하나의 값만을 갖지 않는다(무수히 많은 값을 가진다)는 점에 유의한다. 그러면 $$e^{\log z}=z\,(z\neq0)$$ 이다. 앞의 $\log z$를 나타낸 식에서 $n=0$일 때의 $\log z$의 값을 $\log z$의 주값(principal value)이라 하고 이를 $\text{Log}z$로 나타낸다. 즉 $$\text{Log}z=\ln r+i\Theta$$ 이고 여기서 $\Theta=\text{Arg}z$이다. 그러면 $$\log z=\text{Log}z+2n\pi i\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이 성립한다. 앞에서 지수방정식 $e^{z}=1+i$의 해가 $\displaystyle\frac{1}{2}\ln 2+\left(2n+\frac{1}{4}\right)\pi i\,(n\in\mathbb{Z})$이므로 $$\log(1+i)=\frac{1}{2}\ln2+\left(2n+\frac{1}{4}\right)\pi i\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이다. $\log1=\ln1+i(0+2n\pi)=2n\pi i\,(n\in\mathbb{Z})$이므로 $\text{Log}1=0$이다. 

실수에서의 로그는 양의 실수에서만 정의되지만 복소수에서의 로그는 음의 실수에 대한 값도 가진다. 즉 $\ln(-1)$는 정의되지 않지만 $\log(-1)$은 다음과 같이 정의된다. $$\log(-1)=\ln1+i(\pi+2n\pi)=(2n+1)\pi i\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이때 $\text{Log}(-1)=\pi i$이다.   

복소수 $z=re^{i\theta}\,(\neq0)$의 로그값은 $\log z=\ln r+i\theta\,(\theta=\Theta+2n\pi,\,n\in\mathbb{Z})$이다. 여기서 $\theta$의 값을 임의의 $\alpha\in\mathbb{R}$에 대하여 $\alpha<\theta<\alpha+2\pi$로 제한하자. 그러면 이는 단가함수이고 정의역(아래그림참고)에서 연속이다. 

 이 그림에서의 반직선 $\theta=\alpha$를 $\alpha$-분지(branch)라고 하고 $r>0,\,-\pi<\Theta<\pi$인 경우를 주분지(principal branch)라고 한다. 앞에서 언급한 함수는 정의역에서 연속이고 성분함수 $u(r,\,\theta)=\ln r\,(r>0)$, $v(r,\,\theta)=\theta$에 대하여 $$ru_{r}=r\cdot\frac{1}{r}=1=v_{\theta},\,u_{\theta}=0=-rv_{r}$$ 이므로 $\log z$는 복소평면에서 $\alpha$-분지를 제외한 영역 $r>0,\,\alpha<\theta<\alpha+2\pi$에서 해석적이다. 그러므로 $\log z$는 이 영역에서 미분가능하고 $$\frac{d}{dz}\log z=e^{-i\theta}(u_{r}+iv_{r})=e^{-i\theta}\left(\frac{1}{r}+i0\right)=\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{1}{z}$$ 이다. 이때 $|z|>0$, $\alpha<\text{arg}z<\alpha+2\pi$임에 유의한다. 또한 다음이 성립한다. $$\frac{d}{dz}\text{Log}z=\frac{1}{z}\,(|z|>0,\,-\pi<\text{Arg}z<\pi)$$ 실수상에서는 $\ln8=\ln2^{3}=3\ln2$가 성립했으나 복소수에서는 그렇지 않다. $$\text{Log}(i^{3})=\text{Log}(-i)=\ln1-i\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}i\\3\text{Log}i=3\left(\ln1+i\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{2}\pi i$$ 이므로 $\text{Log}(i^{3})\neq3\text{Log}i$이다. 복소로그도 실수에서와 같이 다음이 성립한다. 즉 $0$이 아닌 임의의 복소수 $z_{1}$, $z_{2}$에 대하여 $$\log(z_{1}z_{2})=\log z_{1}+\log z_{2},\,\log\frac{z_{1}}{z_{2}}=\log z_{1}-\log z_{2}$$ 주값의 경우는 위의 등식이 일반적으로 성립하지 않는다.

$0$이 아닌 복소수 $z$와 임의의 복소수 $c$에 대하여 $z^{c}$는 다음과 같이 정의된다. $$z^{c}=e^{c\log z}$$ 여기서 $\log z$는 값이 여러개이다. $z=re^{i\theta}(r>0,\,-\pi<\theta\leq\pi)$일 때 $$\displaystyle\begin{align*}z^{\frac{1}{3}}&=e^{\frac{1}{3}\log(re^{i\theta})}=e^{\frac{1}{3}(\text{Log}r+i(\theta+2n\pi))}\\&=e^{\frac{1}{3}\text{Log}r}e^{i\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2n\pi}{3}\right)}\\&=\sqrt[3]{r}e^{i\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2n\pi}{3}\right)}\,(n\in\mathbb{Z})\end{align*}$$ 이므로 $z^{\frac{1}{3}}$은 여러개의 값을 갖는다. 또한 $$\log i=\ln1+i\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi i$$ 이므로 $\displaystyle i^{-2i}=e^{-2i\log i}=e^{(4n+1)\pi}$이고 여러개의 값을 갖는다.

그러나 다음과 같이 로그함수의 분지를 이용하면 $z^{c}$의 값을 하나로 결정할 수 있다. $$\log z=\ln r+i\theta\,(r>0,\,\alpha<\theta<\alpha+2\pi)$$ 라 하면 $z^{c}=e^{c\log z}$는 값이 유일하고 해석적이다. 연쇄법칙을 이용해 $z^{c}$의 도함수를 구할 수 있다. $$\frac{d}{dz}z^{c}=\frac{d}{dz}e^{c\log z}=\frac{c}{z}e^{c\log z}=c\frac{e^{c\log z}}{e^{\log z}}=ce^{(c-1)\log z}=cz^{c-1}\,(|z|>0,\,\alpha<\text{arg}z<\alpha+2\pi)$$ $z^{c}$의 주값은 로그가 주값인 경우이고 다음과 같이 나타낸다. $$\text{P.V.}z^{c}=e^{c\text{Log}z}\,(|z|>0,\,-\pi<\text{Arg}z<\pi)$$ $(-i)^{i}$의 주값을 구하면 $\displaystyle e^{i\text{Log}(-i)}=e^{\left\{i\left(\ln1-i\frac{\pi}{2}\right)\right\}}=e^{\frac{\pi}{2}}$이므로 $$\text{P.V.}(-i)^{i}=e^{\frac{\pi}{2}}$$ 이다. 또한 $\displaystyle z^{\frac{2}{3}}$의 주값을 구하면 $\displaystyle e^{\frac{2}{3}\text{Log}z}=e^{\left(\frac{2}{3}\ln r+\frac{2}{3}i\Theta\right)}=\sqrt[3]{r^{2}}e^{i\frac{2}{3}\Theta}$이므로 $$\text{P.V.}z^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{r^{2}}\cos\frac{2}{3}\Theta+i\sqrt[3]{r^{2}}\sin\frac{2}{3}\Theta\,(r>0,\,-\pi<\Theta<\pi)$$ 이다. 

복소수 $z_{1}=1+i$, $z_{2}=1-i$, $z_{3}=-1-i$에 대하여 $(z_{1}z_{2})^{i}=z_{1}^{i}z_{2}^{i}$, $(z_{2}z_{3})^{i}=z_{2}^{i}z_{3}^{i}$가 성립하나 주값으로 고른 경우는 $(z_{1}z_{2})^{i}=z_{1}^{i}z_{2}^{i}$, $(z_{2}z_{3})^{i}=z_{2}^{i}z_{3}^{i}e^{-2\pi}\neq z_{2}^{i}z_{3}^{i}$이다.

0이 아닌 임의의 복소상수 $c$에 대해 밑이 $c$인 복소지수함수를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$c^{z}=e^{z\log c}$$ $\log c$의 값이 정해지면 $c^{z}$는 전해석 함수이고 다음이 성립한다. $$\frac{d}{dz}c^{z}=\frac{d}{dz}e^{z\log c}=e^{z\log c}\log c=c^{z}\log c$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill

복소함수론의 이해, 김군찬, 강영욱, 경문사