5. 함수의 연속과 미분

5. 함수의 연속과 미분

복소함수의 연속의 조건은 실함수의 경우와 비슷하다. 함수 \(f\)가 점 \(z_{0}\)에서 연속(continuous)이라는 것은 다음의 세가지 조건이 성립하는 것이다:

(1) \(z_{0}\)에서의 함숫값인 \(f(z_{0})\)가 정의되었다.

(2) \(z_{0}\)에서의 극한값 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}\)가 존재한다.

(3) \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=f(z_{0})\)

이를 \(\epsilon\)과 \(\delta\)를 이용하여 나타내면 "임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|z-z_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon\)"이다. 이것도 실함수의 연속의 정의와 비슷하다.

◆연속함수와 연속함수를 합성한 함수는 연속함수이다. 먼저 함수 \(w=f(z)\)가 점 \(z_{0}\)의 근방 \(|z-z_{0}|<\delta\)에서 정의되었다고 하고 함수 \(W=g(w)\)를 \(|z-z_{0}|<\delta\)의 \(f\)에 의한 상(image)에서 정의되었다고 하자. 그러면 \(W=g(f(z))\)는 \(|z-z_{0}|<\delta\)에서 정의된다. \(f\)가 \(z_{0}\)에서 연속이고 \(g\)를 \(w\)평면상의 점 \(f(z_{0})\)에서 정의되었다고 하자. \(g\)는 \(f(z_{0})\)에서 연속이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\gamma>0\)가 존재해서 \(|f(z)-f(z_{0})|<\gamma\)일 때 \(|g(f(z))-g(f(z_{0}))|<\epsilon\)이다. \(f\)가 \(z_{0}\)에서 연속이므로 \(|z-z_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(z)-f(z_{0})|<\gamma\)이고 따라서 \(W=g(f(z))\)도 연속함수이다.(QED)

◆연속함수 \(f\)가 \(f(z_{0})\neq0\)이면, \(z_{0}\)의 한 근방에서 \(f(z)\neq0\)이다. \(f\)가 연속함수이므로 연속함수의 정의에서 \(\displaystyle\epsilon=\frac{|f(z_{0})|}{2}\)이라 할 수 있고 따라서 \(|z-z_{0}|<\delta\)일 때 \(\displaystyle|f(z)-f(z_{0})|<\frac{|f(z_{0})|}{2}\)이다. 여기서 \(|z-z_{0}|<\delta\)상의 한 점 \(z\)에서 \(f(z)=0\)이면 \(\displaystyle|f(z_{0})|<\frac{|f(z_{0})|}{2}\)이라는 모순이 도출된다.(QED) 

 

복소함수는 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)꼴로 나타나므로 \(f(z)\)가 연속일 필요충분조건은 \(u(x,\,y)\)와 \(v(x,\,y)\)가 연속인 것이다.

◆함수 \(f\)가 닫힌 유계구역 \(R\)에서 연속이면 \(M\geq0\)이 존재해서 모든 \(z\in R\)에 대하여 \(|f(z)|\leq M\)이고 적어도 하나의 \(z\in R\)에 대해 등식이 성립한다. \(f\)가 \(R\)에서 연속이고$$|f(z)|=\sqrt{\{u(x,\,y)\}^{2}+\{v(x,\,y)\}^{2}}$$이므로 \(|f(z)|\)는 \(R\)에서 최댓값 \(M\)을 갖는다.(QED) 이러한 함수 \(f\)를 \(R\)에서 유계(bounded, 유계함수)라고 한다.

복소함수의 미분도 실함수의 경우와 비슷하다. 함수 \(f\)가 점 \(z_{0}\)의 근방 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)에서 정의되었다고 하자. 함수 \(f\)의 \(z_{0}\)에서의 도함수는$$f'(z_{0})=\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$$이고 이 극한값 \(f'(z_{0})\)이 존재하면 \(f\)는 \(z_{0}\)에서 미분가능(differentiable)이라고 한다. 위의 식에서 \(\Delta z=z-z_{0}\)라고 하면$$f'(z_{0})=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$$로 나타낼 수 있다. 일반적인 변수 \(z\)에 대한 도함수를 구할 때$$\Delta w=f(z+\Delta z)-f(z)\,(w=f(z))$$를 이용하여 다음과 같이 구한다.$$\frac{dw}{dz}=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}}=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}$$함수 \(f(z)=z^{2}\)의 도함수는 다음과 같다.$$f'(z)=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}}=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{(z+\Delta z)^{2}-z^{2}}{\Delta z}}=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{(2z+\Delta z)}=2z$$함수 \(f(z)=\overline{z}\)는 미분가능하지 않다.$$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\overline{z+\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z}=\frac{\overline{z}+\overline{\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$$이고$$\overline{\Delta z}=\overline{\Delta x+i0}=\Delta x-i0=\Delta x+i0=\Delta z\,(\Delta z=(\Delta x,\,0))\\ \overline{\Delta z}=\overline{0+i\Delta y}=0-i\Delta y=-(0+i\Delta y)=-\Delta z\,(\Delta z=(0,\,\Delta y))$$이므로 \(f(z)=\overline{z}\)는 미분가능하지 않다.

◆함수 \(f\)가 \(z_{0}\)에서 미분가능하면 \(z_{0}\)에서 연속이다. 가정에 의해 \(f'(z_{0})\)가 존재하고$$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\{f(z)-f(z_{0})\}}=\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{(z-z_{0})}=f'(z_{0})\cdot0=0$$이므로 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=f(z_{0})\)이다.(QED) (물론 역은 성립하지 않는다.)

점 \(z\)에서 미분가능한 함수 \(f\)와 복소상수 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\frac{d}{dz}c=0,\,\frac{d}{dz}z=1,\,\frac{d}{dz}\{cf(z)\}=cf'(z)$$또한 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\frac{d}{dz}z^{n}=nz^{n-1}$$위의 식은 \(n\)이 음의 정수일 때도 성립하는데 이때는 \(z\neq0\)이다.

◆점 \(z\)에서 미분가능한 함수 \(f\)와 \(g\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\frac{d}{dz}\{f(z)+g(z)\}=f'(z)+g'(z)\)

(2) \(\displaystyle\frac{d}{dz}\{f(z)g(z)\}=f'(z)g(z)+g'(z)f(z)\)

(3) \(\displaystyle\frac{d}{dz}\left\{\frac{f(z)}{g(z)}\right\}=\frac{f'(z)g(z)-g'(z)f(z)}{\{g(z)\}^{2}}\,(g(z)\neq0)\)

(1)은 증명하기 쉬우므로 패스. (2)는 \(w=f(z)g(z)\)라 하고 다음의 식을 이용하면 되고$$\Delta w=f(z+\Delta z)g(z+\Delta )-f(z)g(z)=f(z)\{g(z+\Delta z)-g(z)\}+\{f(z+\Delta z)-f(z)\}g(z+\Delta z)$$(3)은 \(g(z)\neq0\)이라 하고 \(\displaystyle\frac{1}{g(z)}\)의 도함수를 구한 다음, (2)를 이용하면 된다. \(\displaystyle\frac{1}{g(z)}\)의 도함수를 구할 때 \(\displaystyle w=\frac{1}{g(z)}\)라 놓고 다음의 식을 이용한다.$$\Delta w=\frac{1}{g(z+\Delta z)}-\frac{1}{g(z)}=-\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{g(z+\Delta z)g(z)}$$◆함수 \(f\)가 \(z_{0}\)에서 도함수를 갖고, 함수 \(g\)가 \(f(z_{0})\)에서 도함수를 가지면 합성함수 \(F(z)=g(f(z))\)는 \(z_{0}\)에서 도함수를 갖고 다음이 성립한다. 이를 연쇄법칙이라고 한다.$$F'(z_{0})=g'(f(z_{0}))g'(z_{0})$$여기서 \(w=f(z)\), \(W=g(w)\)라고 하면 \(W=F(z)\)의 도함수는 다음과 같다.$$\frac{dW}{dz}=\frac{dW}{dw}\frac{dw}{dz}$$\(z_{0}\)에서 \(f'(z_{0})\)의 값이 존재한다고 하고 \(w_{0}=f(z_{0})\)라 하고 \(g'(w_{0})\)의 값이 존재한다고 하자. 그러면 \(w_{0}\)의 근방 \(|w-w_{0}|<\epsilon\)의 모든점 \(w\)에 대하여 함수 \(\Phi(w)\)를 다음과 같이 정의할 수 있다$$\Phi(w)=\begin{cases}\displaystyle\frac{g(w)-g(w_{0})}{w-w_{0}}-g'(w_{0})&(w\neq w_{0})\\0&(w=w_{0})\end{cases}$$도함수의 정의로부터$$\lim_{w\,\rightarrow\,w_{0}}{\Phi(w)}=0$$이고 따라서 \(\Phi\)는 \(w_{0}\)에서 연속이다. 그러면 함수 \(g\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고$$g(w)-g(w_{0})=\{g'(w_{0})+\Phi(w)\}(w-w_{0})\,(|w-w_{0}|<\epsilon)$$\(f'(z_{0})\)가 존재하므로 \(f\)는 \(z_{0}\)에서 연속이고 따라서 \(\delta>0\)이 존재해서 \(|z-z_{0}|<\delta\)일 때 \(|w-w_{0}|<\epsilon\)이다. 그러면$$\frac{g(f(z))-g(f(z_{0}))}{z-z_{0}}=\{g'(f(z_{0}))+\Phi(f(z))\}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\,(0<|z-z_{0}|<\delta)$$\(f\)가 \(z_{0}\)에서 연속이고 \(\Phi\)가 \(w_{0}\)에서 연속이므로 \(\Phi(f(z))\)도 \(z_{0}\)에서 연속이다. 또한 \(\Phi(w_{0})=0\)이므로$$\lim_{w\,\rightarrow\,w_{0}}{\Phi(w)}=0$$이고 따라서 \(F'(z_{0})=g'(f(z_{0}))f'(z_{0})\)가 성립한다.(QED)  

      

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill