3. 복소수의 제곱근과 위상

3. 복소수의 제곱근과 위상

두 복소수 \(z_{1}=r_{1}e^{i\theta_{1}}\)과 \(z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}\)가 서로 같을 필요충분조건은$$r_{1}=r_{2},\,\theta_{1}-\theta_{2}=2k\pi\,(k\in\mathbb{Z})$$이다.

 

복소수 \(z_{0}=r_{0}e^{i\theta}_{0}\)의 \(n\)제곱근을 구하자. 그 \(n\)제곱근을 \(z=re^{i\theta}\)라고 하면$$r^{n}e^{in\theta}=r_{0}e^{i\theta_{0}}$$이므로$$r^{n}=r_{0},\,n\theta=\theta_{0}+2k\pi\,(k\in\mathbb{Z})$$이다. 그러므로$$r=\sqrt[n]{r_{0}},\,\theta=\frac{\theta_{0}+2k\pi}{n}=\frac{\theta_{0}}{n}+\frac{2k\pi}{n}$$이고 따라서 \(z_{0}\)의 \(n\)제곱근은$$z=\sqrt[n]{r_{0}}e^{i\left(\frac{\theta_{0}}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}$$이다. \(k\)의 값이 정수로 무한하기 때문에 제곱근의 개수는 무한하다고 할 수 있지만 삼각함수의 주기성으로 인해 \(n\)개의 서로다른 제곱근만 남는다. 이러한 서로다른 \(n\)제곱근들을 \(c_{k}\,(k=0,\,1,\,...,\,n-1)\)로 나타내면 다음과 같다.(아래그림 참고)$$c_{k}=\sqrt[n]{r_{0}}e^{i\left(\frac{\theta_{0}}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}\,(k=0,\,1,\,...,\,n-1)$$

\(\sqrt[n]{r_{0}}\)는 \(n\)제곱근들을 나타내는 위치벡터들의 길이이다. \(c_{k}\)에서 \(\theta_{0}=\text{Arg}z_{0}\)일 때, \(c_{0}\)를 \(z_{0}\)의 주\(n\)제곱근(principal root)이라고 한다.

예를들어 방정식 \(z^{3}=1\)에서 \(z^{3}-1\)이 \((z-1)\)과 \((z^{2}+z+1)\)로 실수 범위에서 인수분해되므로 방정식 \(z^{3}-1=(z-1)(z^{2}+z+1)=0\)의 근은$$z=1=e^{i0},\,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\frac{2}{3}\pi},\,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\frac{4}{3}\pi}$$이다. 방정식 \(z^{3}=1\)의 \(1\)이 아닌 임의의 근을 \(\omega\)라 하면 \(\omega^{2}+\omega+1=0\)이 성립한다.

일반적으로 방정식 \(z^{n}=1\,(n\geq3)\)의 해는 \(c_{k}=e^{i\frac{2k}{n}\pi}\,(k=0,\,1,\,...,\,n-1)\)이고 이 방정식의 \(1\)이 아닌 임의의 근을 \(\omega\)라고 하면 \(\omega^{n-1}+\omega^{n-2}+\cdots+\omega+1=0\)이 성립한다.

\(z_{0}\)의 \(n\)제곱근들의 집합(편각의 값이 유일하지 않은 점을 참고할 것)을 \(\displaystyle z_{0}^{\frac{1}{n}}\)로 나타낸다. 

복소평면에 위치한 점 \(z_{0}\)을 중심으로 하고 반지름이 \(\epsilon\), 경계선을 포함하지 않는 점들의 집합을 점 \(z_{0}\)의 \(\epsilon\)-근방(\(\epsilon\)-neighborhood)이라고 한다.(아래그림 참고)$$|z-z_{0}|<\epsilon$$

 앞에서 언급한 근방에서 \(\epsilon\)의 값이 중요하지 않은 경우에는 간단히 근방이라고 하고 점 \(z_{0}\)를 제외한 나머지 점 \(z\) 전체로 이루어진 근방을 제거된 근방(deleted neighborhood) 또는 뚫린 원판(punctured disk)이라고 한다.$$0<|z-z_{0}|<\epsilon$$복소평면에서 점 \(z_{0}\)과 집합 \(S\)에 대하여 집합 \(S\)의 점만으로 이루어진 \(z_{0}\)의 근방이 존재하면 \(z_{0}\)를 \(S\)의 내점(interior point)이라고 하고, 집합 \(S\)가 내점만을 원소로 가지면 \(S\)를 열린집합(Open set)이라고 한다. \(S\)의 점을 포함하지 않는 \(z_{0}\)의 근방이 존재하면 \(z_{0}\)를 외점(exterior point)이라 하고 \(z_{0}\)가 \(S\)의 내점도, 외점도 아닌 경우에는 \(S\)의 경계점(boundary point)이라고 한다. 열린집합은 경계점을 포함하지 않는다. \(S\)의 내점과 경계점 모두를 포함하는 집합을 닫힌집합(closed set), \(S\)의 경계점들로만 이루어진 집합을 \(S\)의 경계(boundary)라고 한다. \(S\)의 모든 점과 \(S\)의 경계점들로 이루어진 닫힌집합을 \(S\)의 폐포(closure)라고 한다.$$A=\{z\,|\,|z|<1\},\,B=\{z\,|\,|z|\leq1\},\,C=\{z\,|\,0<|z|\leq1\}$$위의 집합에서 \(A\)는 열린집합, \(B\)는 닫힌집합이다. 또한 원 \(|z|=1\)은 집합 \(A\)와 \(B\)의 경계이다. 집합 \(C\)(뚫린원판)는 열린집합도 아니고 닫힌집합도 아니다.

집합 \(S\)에 속하는 임의의 두 점 \(z_{1}\)과 \(z_{2}\)를 \(S\)상에서 완전히 놓이는 꺾인선(다각선, polygonal line: 끝점끼리 이어진 유한개의 선분)으로 연결할 수 있을 때, \(S\)를 연결집합(connected set)이라 한다. 앞에서 언급했던 집합 \(A\)와 \(B\)는 연결집합이다. 원환(원형고리, annulus) \(1<|z|<2\)는 열린집합이고 연결집합이다. 연결집합이면서 열린집합을 영역(domain)이라고 한다. 임의의 근방은 영역이다. 영역과 영역의 경계점을 일부 또는 전부 합친것을 구역(region)이라고 한다.

집합 \(S\)의 모든 점이 어떤 원 \(|z|=R\)의 안쪽에 있을 때, \(S\)를 유계(bounded)집합이라고 하고 그렇지 않으면 유계가 아닌(unbounded)집합이라고 한다. 점 \(z_{0}\)의 모든 빠진 근방에 집합 \(S\)의 점이 적어도 하나가 있을 때, \(z_{0}\)을 \(S\)의 집적점(accumulation point)이라고 한다. 따라서 \(S\)가 닫힌집합이면 \(S\)의 집적점들을 모두 포함한다.     

참고자료:

Complex variables and applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill