2. 복소수의 극형식

2. 복소수의 극형식

미적분학 시간에 지수함수 \(e^{x}\)의 매클로린급수가$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}$$이라는 것을 배웠다. 위의 식에 \(x=i\theta\,(i=\sqrt{-1},\,\theta\in\mathbb{R})\)을 대입하면$$\begin{align*}e^{i\theta}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(i\theta)^{n}}{n!}}=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\cdots\\&=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots\right)\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}\theta^{2n}}{(2n)!}}+i\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=\cos\theta+i\sin\theta\end{align*}$$오일러의 공식(Euler's formula)으로 알려진 식 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)을 얻는다. \(|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1\)이므로 \(e^{i\theta}\)는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원을 나타낸다. 이를 이용하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(R\)인 원의 방정식은 \(Re^{i\theta}\)이고 중심이 \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\)이고 반지름의 길이가 \(R\)인 원의 방정식은 \(|z-z_{0}|=R\) 또는 \(z=z_{0}+Re^{i\theta}\)로 나타낼 수 있다.

  위의 그림은 원 \(z=e^{i\theta}\), \(z=Re^{i\theta}\), \(z=z_{0}+Re^{i\theta}\)를 복소평면에 나타낸 것이다.

 

\(0\)이 아닌 임의의 복소수 \(z=x+iy\)를 다음과 같이 복소평면에 나타낼 수 있다.

여기서 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\), \(\displaystyle\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)이다. 위 그림으로부터 임의의 복소수 \(z\)를$$z=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\,\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\,\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)$$로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식(polar form)이라고 한다. 앞에서와 같이 복소수를 두 삼각함수의 선형결합으로 나타낼 수 있고 삼각함수는 주기함수이다보니 \(\theta\)의 값은 유일하게 결정되지 않는다. \(\theta\)를 복소수 \(z\)의 편각(argument)이라 하고 \(\text{arg}z\)로 나타낸다. \(\text{arg}z\)는 유일하게 결정되지 않으므로 \(\text{arg}z\)의 값 중 \((-\pi,\,\pi]\)에 속하는 값 \(\Theta\)를 \(\text{arg}z\)의 주값(principal value)또는 \(z\)의 주편각이라 하고 \(\text{Arg}z\)로 나타낸다. 그러면 \(-\pi<\Theta(=\text{Arg}z)\leq\pi\)이고$$\text{arg}z=\text{Arg}z+2n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$$이다. 예를들어 \(\text{Arg}(-1)=\pi\)이다.

위의 그림은 복소수 \(1+i\sqrt{3}\)과 \(1-i\)를 각각 복소평면에 나타낸 것이다. \(\text{Arg}(1+i\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}\), \(\text{Arg}(1-i)=-\frac{\pi}{4}\)이므로$$\text{arg}(1+i\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}+2n\pi\\ \text{arg}(1-i)=-\frac{\pi}{4}+2n\pi$$이다. 

복소수 \(e^{i\theta_{1}},\,e^{i\theta_{2}}\)에 대하여 \(e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}\)가 성립한다. 그러면 임의의 복소수 \(z_{1}=r_{1}e^{i\theta}\), \(z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}\)에 대하여 \(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}\)가 성립한다. 또한 \(\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}e^{i\theta_{1}}}{r_{2}e^{i\theta_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}\)가 성립하고, 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)으로 알려진$$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\left(e^{i\theta}\right)^{n}=e^{in\theta}=\cos n\theta+i\sin n\theta$$이 성립한다. \(z=re^{i\theta}\neq0\)일 때 \(\displaystyle z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1e^{i0}}{re^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{i(0-\theta)}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}\)는 \(z\)의 곱셈에 대한 역원이다.

\(|1+i\sqrt{3}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2\), \(|1-i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)이므로$$1+i\sqrt{3}=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=2e^{i\frac{\pi}{3}}\\1-i=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$$이다. \(\displaystyle(1+i\sqrt{3})(1-i)=(2e^{i\frac{\pi}{3}})\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}=2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{12}}\)이므로$$\text{Arg}((1+i\sqrt{3})(1-i))=\text{Arg}(1+i\sqrt{3})+\text{Arg}(1-i),\,\text{arg}((1+i\sqrt{3})(1-i))=\text{Arg}(1+i\sqrt{3})+\text{Arg}(1-i)$$이다.

여기서 생기는 궁금증은 다음과 같다. 임의의 \(z_{1}=r_{1}e^{i\theta_{1}},\,z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}\in\mathbb{C}\)에 대하여$$\text{arg}(z_{1}z_{2})=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2},\,\text{Arg}(z_{1}z_{2})=\text{Arg}z_{1}+\text{Arg}z_{2}$$위의 두가지는 항상 성립할 것 처럼 보이나 둘 중 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이다. 먼저 \(\text{arg}(z_{1}z_{2})=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2}\)는 참이다. \(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}\) \(\text{arg}z_{1}=\theta_{1}+2n_{1}\pi\), \(\text{arg}z_{2}=\theta_{2}+2n_{2}\pi\,(n_{1},\,n_{2}\in\mathbb{Z})\)이고 정수가 덧셈에 대해 닫혀있다는 사실로부터 \(\text{arg}(z_{1}z_{2})=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2}\)가 성립함을 알 수 있다. \(z_{1}=-1\), \(z_{2}=i\)라 하면 \(z_{1}z_{2}=-i\), \(\displaystyle\text{Arg}(z_{1}z_{2})=-\frac{\pi}{2}\), \(\text{Arg}z_{1}=\pi\), \(\displaystyle\text{Arg}z_{2}=\frac{\pi}{2}\)이므로 \(\displaystyle\text{Arg}(z_{1}z_{2})=-\frac{\pi}{2}\neq\frac{3}{2}\pi=\pi+\frac{\pi}{2}=\text{Arg}z_{1}+\text{Arg}z_{2}\)이다. 그러나 \(\text{Re}z_{1}>0\), \(\text{Re}z_{2}>0\)이라는 조건이 있으면 \(\text{Arg}(z_{1}z_{2})=\text{Arg}z_{1}+\text{Arg}z_{2}\)가 성립한다. 앞에서 언급했던 두 복소수 \(1+i\sqrt{3}\)과 \(1-i\)는 실수부가 모두 양수여서 \(\text{Arg}((1+i\sqrt{3})(1-i))=\text{Arg}(1+i\sqrt{3})+\text{Arg}(1-i)\)가 성립한다.

\(\displaystyle z_{1}^{-1}=\frac{1}{r_{1}}e^{-i\theta_{1}}\)이므로 \(\text{arg}z_{1}^{-1}=-\text{arg}z_{1}\)이 성립하고 따라서 \(\displaystyle\text{arg}\frac{z_{1}}{z_{2}}=\text{arg}z_{1}+\text{arg}\frac{1}{z_{2}}=\text{arg}z_{1}-\text{arg}z_{2}\)가 성립한다.

참고자료:

Complex variables and applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill