2. 복소수의 극형식

2. 복소수의 극형식

미적분학 시간에 지수함수 $e^{x}$의 매클로린급수가

$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}$$ 이라는 것을 배웠다. 위의 식에 $x=i\theta\,(i=\sqrt{-1},\,\theta\in\mathbb{R})$을 대입하면 $$\begin{align*}e^{i\theta}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(i\theta)^{n}}{n!}}=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\cdots\\&=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots\right)\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}\theta^{2n}}{(2n)!}}+i\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=\cos\theta+i\sin\theta\end{align*}$$ 오일러의 공식(Euler's formula)으로 알려진 식 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$을 얻는다. $|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1$이므로 $e^{i\theta}$는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원을 나타낸다. 이를 이용하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $R$인 원의 방정식은 $Re^{i\theta}$이고 중심이 $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$이고 반지름의 길이가 $R$인 원의 방정식은 $|z-z_{0}|=R$ 또는 $z=z_{0}+Re^{i\theta}$로 나타낼 수 있다.

  위의 그림은 원 $z=e^{i\theta}$, $z=Re^{i\theta}$, $z=z_{0}+Re^{i\theta}$를 복소평면에 나타낸 것이다.

 

$0$이 아닌 임의의 복소수 $z=x+iy$를 다음과 같이 복소평면에 나타낼 수 있다.

여기서 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, $\displaystyle\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$이다. 위 그림으로부터 임의의 복소수 $z$를

$$z=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\,\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\,\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)$$ 로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식(polar form)이라고 한다. 앞에서와 같이 복소수를 두 삼각함수의 선형결합으로 나타낼 수 있고 삼각함수는 주기함수이다보니 $\theta$의 값은 유일하게 결정되지 않는다. $\theta$를 복소수 $z$의 편각(argument)이라 하고 $\text{arg}z$로 나타낸다. $\text{arg}z$는 유일하게 결정되지 않으므로 $\text{arg}z$의 값 중 $(-\pi,\,\pi]$에 속하는 값 $\Theta$를 $\text{arg}z$의 주값(principal value)또는 $z$의 주편각이라 하고 $\text{Arg}z$로 나타낸다. 그러면 $-\pi<\Theta(=\text{Arg}z)\leq\pi$이고 $$\text{arg}z=\text{Arg}z+2n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이다. 예를들어 $\text{Arg}(-1)=\pi$이다.

위의 그림은 복소수 $1+i\sqrt{3}$과 $1-i$를 각각 복소평면에 나타낸 것이다. $\text{Arg}(1+i\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$, $\text{Arg}(1-i)=-\frac{\pi}{4}$이므로

$$\text{arg}(1+i\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}+2n\pi\\ \text{arg}(1-i)=-\frac{\pi}{4}+2n\pi$$ 이다. 

복소수 $e^{i\theta_{1}},\,e^{i\theta_{2}}$에 대하여 $e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$가 성립한다. 그러면 임의의 복소수 $z_{1}=r_{1}e^{i\theta}$, $z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}$에 대하여 $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$가 성립한다. 또한 $\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}e^{i\theta_{1}}}{r_{2}e^{i\theta_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}$가 성립하고, 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)으로 알려진

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\left(e^{i\theta}\right)^{n}=e^{in\theta}=\cos n\theta+i\sin n\theta$$ 이 성립한다. $z=re^{i\theta}\neq0$일 때 $\displaystyle z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1e^{i0}}{re^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{i(0-\theta)}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$는 $z$의 곱셈에 대한 역원이다.

$|1+i\sqrt{3}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$, $|1-i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$이므로

$$1+i\sqrt{3}=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=2e^{i\frac{\pi}{3}}\\1-i=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$$ 이다. $\displaystyle(1+i\sqrt{3})(1-i)=(2e^{i\frac{\pi}{3}})\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}=2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{12}}$이므로 $$\text{Arg}((1+i\sqrt{3})(1-i))=\text{Arg}(1+i\sqrt{3})+\text{Arg}(1-i),\,\text{arg}((1+i\sqrt{3})(1-i))=\text{Arg}(1+i\sqrt{3})+\text{Arg}(1-i)$$ 이다.

여기서 생기는 궁금증은 다음과 같다. 임의의 $z_{1}=r_{1}e^{i\theta_{1}},\,z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}\in\mathbb{C}$에 대하여

$$\text{arg}(z_{1}z_{2})=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2},\,\text{Arg}(z_{1}z_{2})=\text{Arg}z_{1}+\text{Arg}z_{2}$$ 위의 두가지는 항상 성립할 것 처럼 보이나 둘 중 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이다. 먼저 $\text{arg}(z_{1}z_{2})=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2}$는 참이다. $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$ $\text{arg}z_{1}=\theta_{1}+2n_{1}\pi$, $\text{arg}z_{2}=\theta_{2}+2n_{2}\pi\,(n_{1},\,n_{2}\in\mathbb{Z})$이고 정수가 덧셈에 대해 닫혀있다는 사실로부터 $\text{arg}(z_{1}z_{2})=\text{arg}z_{1}+\text{arg}z_{2}$가 성립함을 알 수 있다. $z_{1}=-1$, $z_{2}=i$라 하면 $z_{1}z_{2}=-i$, $\displaystyle\text{Arg}(z_{1}z_{2})=-\frac{\pi}{2}$, $\text{Arg}z_{1}=\pi$, $\displaystyle\text{Arg}z_{2}=\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle\text{Arg}(z_{1}z_{2})=-\frac{\pi}{2}\neq\frac{3}{2}\pi=\pi+\frac{\pi}{2}=\text{Arg}z_{1}+\text{Arg}z_{2}$이다. 그러나 $\text{Re}z_{1}>0$, $\text{Re}z_{2}>0$이라는 조건이 있으면 $\text{Arg}(z_{1}z_{2})=\text{Arg}z_{1}+\text{Arg}z_{2}$가 성립한다. 앞에서 언급했던 두 복소수 $1+i\sqrt{3}$과 $1-i$는 실수부가 모두 양수여서 $\text{Arg}((1+i\sqrt{3})(1-i))=\text{Arg}(1+i\sqrt{3})+\text{Arg}(1-i)$가 성립한다.

$\displaystyle z_{1}^{-1}=\frac{1}{r_{1}}e^{-i\theta_{1}}$이므로 $\text{arg}z_{1}^{-1}=-\text{arg}z_{1}$이 성립하고 따라서 $\displaystyle\text{arg}\frac{z_{1}}{z_{2}}=\text{arg}z_{1}+\text{arg}\frac{1}{z_{2}}=\text{arg}z_{1}-\text{arg}z_{2}$가 성립한다.

참고자료:

Complex variables and applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill