1.복소수

1.복소수

방정식 $x^{2}=-1$을 만족하는 실수 $x$는 존재하지 않는다. $i=\sqrt{-1}$이라 하면 $i^{2}=-1$이 성립하고 $i$를 허수단위(imaginary unit)라고 한다.

(전기, 전자공학에서는 전류기호를 $i$로 나타내야 하기 때문에 $j=\sqrt{-1}$로 나타낸다)

$i$의 실수배, 즉 $ix\,(x\in\mathbb{R})$를 순허수(pure imaginary)라 하며 실수와 순허수의 합의 형태로 나타낸 수 $z=x+iy\,(x,\,y\in\mathbb{R})$를 복소수(complex number)라고 한다. 복소수 전체의 집합을 $\mathbb{C}$로 나타낸다. 이때 $x$를 실수부(real part), $y$를 허수부(imaginary part)라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\text{Re}z=x,\,\text{Im}z=y$$ $i=\sqrt{-1}$일 때 $a\cdot1+b\cdot i=0$을 만족하는 $a,\,b$는 $a=0,\,b=0$뿐이므로 $\{1,\,i\}$는 일차독립이고 따라서 복소수 전체의 집합을 $\{1,\,i\}$를 기저로 갖는 벡터공간(2차원 유클리드 공간)으로 볼 수 있고 복소수를 벡터로 생각할 수 있다.

  복소수 $z=x+iy$를 실수부, 허수부를 성분으로 갖는 벡터 $z=(x,\,y)$로 볼 수 있고 이 벡터의 크기를 2차원 유클리드 공간의 경우처럼 $$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,(\text{Re}z=x,\,\text{Im}z=y)$$ 로 정의할 수 있다. 위의 그림은 복소수를 2차원 평면에 나타낸 것이다. 이 2차원 평면을 복소평면(complex plane)이라고 하고 여기서 $$1=(1,\,0),\,i=(0,\,1)$$ 이다.

앞서 언급한대로 복소수를 벡터로 볼 수 있다고 했다. 위의 그림은 두 복소수 $z_{1}=(x_{1},\,y_{1})$, $z_{2}=(x_{2},\,y_{2})$를 복소평면에 나타내어 이 두 복소수의 벡터합을 나타낸 것이다. 앞의 두 복소수에 대하여 복소수의 합은 $$(x_{1},\,y_{1})+(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})$$ 로 나타낼 수 있으나 곱은 $$(x_{1},\,y_{1})(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},\,y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})$$ 로 나타내어진다. 이유는 $i^{2}=-1$이므로 $$(x_{1},\,y_{1})(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})$$ 가 성립하기 때문이다.

복소수에 대해서 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙과 결합법칙, 분배법칙이 성립한다. 즉, $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}\in\mathbb{C}$에 대하여 $$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},\,z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}\\(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3}),\,(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})\\z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$$ 가 성립한다.

임의의 복소수 $z=x+iy(x,\,y\,\in\mathbb{R})$에 대하여 덧셈에 대한 역원이 존재하고 그 역원은 $-z=-x-iy$이다. $z\neq0$일 때 곱셈에 대한 역원이 존재하고 그 역원은 $$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x+iy}\frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$$ 이다. 실수 $x,\,y$에 대하여 $x^{2}+y^{2}=0$인 경우는 오직 $x=y=0$인 경우 뿐이므로 $z=0$일 때는 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않는다.

또한 삼각부등식과 이항공식이 성립한다. $$||z_{1}|-|z_{2}||\leq|z_{1}\pm z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|\\(z_{1}+z_{2})^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}z_{1}^{k}z_{2}^{n-k}}\,\left(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)$$ 허수부분의 부호를 바꾼 복소수를 켤레복소수(conjugate of a complex number)라고 한다. 복소수 $z=x+iy$의 켤레복소수는 $\overline{z}=x-iy$이다. 이때 복소수 $z$에 대하여 다음이 성립한다. $$z\overline{z}=|z|^{2},\,\text{Re}z=\frac{z+\overline{z}}{2},\,\text{Im}z=\frac{z-\overline{z}}{2i},\,\overline{\overline{z}}=z,\,|\overline{z}|=|z|\\ \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}},\,\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}}\,(z_{1},\,z_{2}\in\mathbb{C})$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill