1.복소수

1.복소수

방정식 \(x^{2}=-1\)을 만족하는 실수 \(x\)는 존재하지 않는다. \(i=\sqrt{-1}\)이라 하면 \(i^{2}=-1\)이 성립하고 \(i\)를 허수단위(imaginary unit)라고 한다.

(전기, 전자공학에서는 전류기호를 \(i\)로 나타내야 하기 때문에 \(j=\sqrt{-1}\)로 나타낸다)

\(i\)의 실수배, 즉 \(ix\,(x\in\mathbb{R})\)를 순허수(pure imaginary)라 하며 실수와 순허수의 합의 형태로 나타낸 수 \(z=x+iy\,(x,\,y\in\mathbb{R})\)를 복소수(complex number)라고 한다. 복소수 전체의 집합을 \(\mathbb{C}\)로 나타낸다. 이때 \(x\)를 실수부(real part), \(y\)를 허수부(imaginary part)라 하고 다음과 같이 나타낸다.$$\text{Re}z=x,\,\text{Im}z=y$$\(i=\sqrt{-1}\)일 때 \(a\cdot1+b\cdot i=0\)을 만족하는 \(a,\,b\)는 \(a=0,\,b=0\)뿐이므로 \(\{1,\,i\}\)는 일차독립이고 따라서 복소수 전체의 집합을 \(\{1,\,i\}\)를 기저로 갖는 벡터공간(2차원 유클리드 공간)으로 볼 수 있고 복소수를 벡터로 생각할 수 있다.

  복소수 \(z=x+iy\)를 실수부, 허수부를 성분으로 갖는 벡터 \(z=(x,\,y)\)로 볼 수 있고 이 벡터의 크기를 2차원 유클리드 공간의 경우처럼$$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,(\text{Re}z=x,\,\text{Im}z=y)$$로 정의할 수 있다. 위의 그림은 복소수를 2차원 평면에 나타낸 것이다. 이 2차원 평면을 복소평면(complex plane)이라고 하고 여기서$$1=(1,\,0),\,i=(0,\,1)$$이다.

앞서 언급한대로 복소수를 벡터로 볼 수 있다고 했다. 위의 그림은 두 복소수 \(z_{1}=(x_{1},\,y_{1})\), \(z_{2}=(x_{2},\,y_{2})\)를 복소평면에 나타내어 이 두 복소수의 벡터합을 나타낸 것이다. 앞의 두 복소수에 대하여 복소수의 합은$$(x_{1},\,y_{1})+(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})$$로 나타낼 수 있으나 곱은$$(x_{1},\,y_{1})(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},\,y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})$$로 나타내어진다. 이유는 \(i^{2}=-1\)이므로$$(x_{1},\,y_{1})(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})$$가 성립하기 때문이다.

복소수에 대해서 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙과 결합법칙, 분배법칙이 성립한다. 즉, \(z_{1},\,z_{2},\,z_{3}\in\mathbb{C}\)에 대하여$$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},\,z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}\\(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3}),\,(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})\\z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$$가 성립한다.

임의의 복소수 \(z=x+iy(x,\,y\,\in\mathbb{R})\)에 대하여 덧셈에 대한 역원이 존재하고 그 역원은 \(-z=-x-iy\)이다. \(z\neq0\)일 때 곱셈에 대한 역원이 존재하고 그 역원은$$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x+iy}\frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$$이다. 실수 \(x,\,y\)에 대하여 \(x^{2}+y^{2}=0\)인 경우는 오직 \(x=y=0\)인 경우 뿐이므로 \(z=0\)일 때는 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않는다.

또한 삼각부등식과 이항공식이 성립한다.$$||z_{1}|-|z_{2}||\leq|z_{1}\pm z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|\\(z_{1}+z_{2})^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}z_{1}^{k}z_{2}^{n-k}}\,\left(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)$$허수부분의 부호를 바꾼 복소수를 켤레복소수(conjugate of a complex number)라고 한다. 복소수 \(z=x+iy\)의 켤레복소수는 \(\overline{z}=x-iy\)이다. 이때 복소수 \(z\)에 대하여 다음이 성립한다.$$z\overline{z}=|z|^{2},\,\text{Re}z=\frac{z+\overline{z}}{2},\,\text{Im}z=\frac{z-\overline{z}}{2i},\,\overline{\overline{z}}=z,\,|\overline{z}|=|z|\\ \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}},\,\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}}\,(z_{1},\,z_{2}\in\mathbb{C})$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill