4. 함수와 함수의 극한

4. 함수와 함수의 극한

\(S,\,W\subset\mathbb{C}\)라 하자. 함수 \(f:\,S\,\rightarrow\,W\)는 각각의 \(z\in S\)를 \(w\in W\)로 대응시킨다. 즉, \(w=f(z)\)이다. 집합 \(S\)를 \(f\)의 정의역(domain), \(W\)를 \(f\)의 치역(range)이라고 한다. 복소함수의 정의역에 대한 언급이 없다면 해당 함수가 정의되게 하는 집합이 정의역이다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}\)는 \(\mathbb{C}-\{0\}\)이 정의역이고 복소수 전체가 치역이다.

모든 복소수는 \(z=x+iy\,(x,\,y\in\mathbb{R})\)의 형태로 나타나기 때문에 복소함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(z)=f(x+iy)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$$또는 극좌표를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(z)=f(re^{i\theta})=u(r,\,\theta)+iv(r,\,\theta)\,(r>0,\,-\pi<0\leq\pi)$$

함수 \(\displaystyle f(z)=z+\frac{1}{z}\)를 극좌표를 이용하여 나타내면 다음과 같다.$$f(z)=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta+i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta$$복소함수의 허수부가 \(0\)인 함수의 함수값은 실수이고 이러한 함수를 복소변수 실함수(real-valued function of a complex variable)라고 한다.

함수 \(f(z)=|z|^{2}\)는$$f(z)=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}+i0=x^{2}+y^{2}\,(x,\,y\in\mathbb{R})$$이므로 복소변수 실함수이다.

\(n\in\mathbb{N}\)이고 \(a_{0},\,a_{1},\,...,\,a_{n-1}\in\mathbb{C}\), \(a_{n}\in\mathbb{C}-\{0\}\)일 때 함수$$P(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^{n}$$을 \(n\)차 다항식(polynomial of degree \(n\))이라 한다. 이 함수에서 주목할 점은 항의 개수가 유한하고 정의역이 복소수 전체라는 점이다.

두 다항함수 \(P(z)\), \(Q(z)\)에 대하여 함수 \(\displaystyle\frac{P(z)}{Q(z)}\)는 \(Q(z)\neq0\)인 \(z\)에서 정의된다. 이 함수를 유리함수(rational function)라고 한다.

\(0\)이 아닌 복소수 \(z\)에 대하여 \(\displaystyle z^{\frac{1}{2}}\)는 두개의 값을 가진다.$$z^{\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{r}e^{i\frac{\Theta}{2}}\,(r=|z|,\,\Theta=\text{Arg}z)$$이때 \(\displaystyle z^{\frac{1}{2}}\)를$$f(z)=\sqrt{r}e^{i\frac{\Theta}{2}}$$로 정의하고 \(f(0)=0\)이다. 

함수 \(f\)가 \(z_{0}\)의 제거된 근방의 모든 점에서 정의된다고 하자. \(z\)가 \(z_{0}\)에 가까이 접근할 때, 함수 \(f(z)\)의 극한이 \(w_{0}\)라는 것을$$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}$$로 나타낸다. 이를 \(\epsilon\)과 \(\delta\)를 이용하여 나타내면 실함수의 경우와 비슷하다. 

"임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(0<|z-z_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(z)-w_{0}|<\epsilon\)".

 또한 실함수의 경우처럼 함수의 극한이 존재할 때 그 극한값도 유일하다.$$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0},\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{1}$$이라 하자. 그러면 \(\delta_{1},\,\delta_{2}>0\)이 존재해서 \(0<|z-z_{0}|<\delta_{1}\)일때 \(\displaystyle|f(z)-w_{0}|<\frac{\epsilon}{2}\)이고 \(0<|z-z_{0}|<\delta_{2}\)일 때 \(\displaystyle|f(z)-w_{1}|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라 하자. 그러면 \(|z-z_{0}|<\delta\)일 때, 삼각부등식에 의해$$|w_{1}-w_{0}|=|[f(z)-w_{0}]-[f(z)-w_{1}]|\leq|f(z)-w_{0}|+|f(z)-w_{1}|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이고 이는 \(|w_{1}-w_{0}|=0\)을 의미하므로 따라서 \(w_{0}=w_{1}\)이다. 

원 \(|z|<1\)에서 정의된 함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{i\overline{z}}{2}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,1}{f(z)}=\frac{i}{2}\)이다. 왜냐하면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta=2\epsilon\)이라 하자. 그러면 \(0<|z-1|<\delta\)일 때$$\left|f(z)-\frac{i}{2}\right|=\left|\frac{i\overline{z}}{2}-\frac{i}{2}\right|=\frac{|z-1|}{2}<2\delta=\epsilon\,(|i|=1)$$이기 때문이다.

복소함수의 극한을 구할 때 주의할 점은 항상 극한이 존재하지 않는다는 점이다. 이를 보이는 방법은 2변수 함수에 대해서 극한이 존재하지 않음을 보이는 방법과 비슷하다.

함수 \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{\overline{z}}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f(z)}\)의 값은 존재하지 않는다. \(z\)가 (복소평면)\(x\)축에서 \(0\)으로 접근할 때(\(z=(x,\,0)\)) \(\displaystyle f(z)=\frac{x+i0}{x-i0}=1\)이고 (복소평면)\(y\)축에서 \(0\)으로 접근할 때(\(z=(0,\,y)\)) \(\displaystyle f(z)=\frac{0+iy}{0-iy}=-1\)이므로 극한이 존재하지 않는다.

복소수 \(z=x+iy\)에 대하여 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)라 하고, \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\), \(w_{0}=u_{0}+iv_{0}\)이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{u(x,\,y)}=u_{0}\)이고 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{v(x,\,y)}=v_{0}\)이다. 이에 대한 증명은 다음과 같다. 

(\(\Leftarrow\)): \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{u(x,\,y)}=u_{0}\), \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{v(x,\,y)}=v_{0}\)이라 하자. 그러면 \(\delta_{1},\,\delta_{2}>0\)가 존재해서 임의의 \(\epsilon>\)에 대해 \(0<\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<\delta_{1}\)일 때 \(\displaystyle|u-u_{0}|<\frac{\epsilon}{2}\), \(0<\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<\delta_{2}\)일 때 \(\displaystyle|v-v_{0}|<\frac{\epsilon}{2}\)이다.

\(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라 하자. 그러면$$\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}=|(x-x_{0})+i(y-y_{0})|=|(x+iy)-(x_{0}+iy_{0})|=|z-z_{0}|\\|w-w_{0}|=|(u+iv)-(u_{0}+iv_{0})|=|(u-u_{0})+i(v-v_{0})|\leq|u-u_{0}|+|v-v_{0}|$$이므로 \(0<|z-z_{0}|<\delta\)일 때 \(\displaystyle|w-w_{0}|\leq|u-u_{0}|+|v-v_{0}|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)이다. 그러므로 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}\)가 증명되었다.

(\(\Rightarrow\)): \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}\)이라 하자. 그러면 \(\delta>0\)가 존재해서 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(0<|z-z_{0}|=|(x+iy)-(x_{0}+iy_{0})|<\delta\)일 때 \(|w-w_{0}|=|(u+iv)+(u_{0}+iv_{0})|<\epsilon\)이다. 다음 삼각부등식$$|u-u_{0}|\leq|(u-u_{0})+i(v-v_{0})|=|(u+iv)-(u_{0}+iv_{0})|<\epsilon\\|v-v_{0}|\leq|(u-u_{0})+i(v-v_{0})|=|(u+iv)-(u_{0}+iv_{0})|<\epsilon$$으로부터 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{u(x,\,y)}=u_{0}\), \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{v(x,\,y)}=v_{0}\)이 성립한다. (QED)   

\(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{g(z)}=\beta\)라 하자. 그러면$$(1)\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{[f(z)+g(z)]}=\alpha+\beta\\(2)\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)g(z)}=\alpha\beta\\(3)\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{f(z)}{g(z)}}=\frac{\alpha}{\beta}\,(\beta\neq0)$$이 성립한다. 이 정리의 증명은 앞의 정리를 이용하여 아주 쉽게(?) 증명할 수 있다. 극한의 정의를 이용하여 다음의 두 극한$$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{c}=c,\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{z}=z_{0}$$을 정의를 이용하여 쉽게 보일 수 있다. 여기서 \(c\)는 상수이다. 수학적귀납법을 이용하여 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{z^{n}}=z_{0}^{n}\)이 성립함을 보일 수 있고 따라서 다항함수 \(P(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^{n}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{P(z)}=P(z_{0})\)이 성립함을 보일 수 있다.

위의 그림은 리만구면(Riemann sphere)을 나타낸 것이다. 이 그림의 평면은 중심이 원점인 단위 구의 적도를 지나는 복소평면이다. 무한원점(point at infinity) \(\infty\)을 포함하는 복소평면을 확장 복소평면(extended complex plane)이라고 한다. 위 그림에서 점 \(N\)은 구의 북극이고 점 \(P\)는 구의 북극 \(N\)과 복소평면상의 점 \(z\)를 이은 직선이 구와 만나는 점이다. 이 방법대로라면 모든 \(z\)에 대해 단하나의 구면의 점 \(P\)가 대응한다. 또한 북극 \(N\)을 제외한 구면의 각 점 \(P\)에 대해 단하나의 평면의 점 \(z\)가 대응한다. 여기서 북극 \(N\)을 무한원점에 대응시키면 구면의 점들과 확장 복소평면(점 \(P\)들의 집합)의 점들 사이의 일대일 대응을 얻는다. 이러한 대응을 입체사영(stereographic projection)이라고 한다.

복소평면의 원점이 중심인 단위원의 바깥은 적도(단위원)와 북극 \(N\)을 제외한 상반구면과 대응하고, 충분히 작은 양수 \(\epsilon\)에 대하여 복소평면에서 원 \(\displaystyle|z|=\frac{1}{\epsilon}\)의 바깥에 있는 점들은 \(N\)의 가까운 구면의 점들과 대응한다. 여기서 집합 \(\displaystyle|z|>\frac{1}{\epsilon}\)을 무한대(\(\infty\))의 \(\epsilon\)근방(단순히 '근방')이라고 한다. 

 

점 \(z_{0}\)와 \(w_{0}\)가 각각 \(z\)평면과 \(w\)평면위의 점이면 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=\infty\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{1}{f(z)}}=0\).

(2) \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{f(z)}=w_{0}\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f\left(\frac{1}{z}\right)}=w_{0}\).

(3) \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{f(z)}=\infty\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{f\left(\frac{1}{z}\right)}}=0\).

이에 대한 증명은 하지 않고 힌트만 남기겠다.

(1): \(\displaystyle0<|z-z_{0}|<\delta,\,|f(z)|>\frac{1}{\epsilon}\,\Leftrightarrow\,0<|z-z_{0}|<\delta,\left|\frac{1}{f(z)}-0\right|<\epsilon\)

(2): \(\displaystyle|z|>\frac{1}{\delta},\,|f(z)-w_{0}|<\epsilon\,\Leftrightarrow0<|z-0|<\delta,\,\left|f\left(\frac{1}{z}\right)-w_{0}\right|<\epsilon\)

(3): \(\displaystyle|z|>\frac{1}{\delta},\,|f(z)|>\frac{1}{\epsilon}\,\Leftrightarrow\,0<|z-0|<\delta,\,\left|\frac{1}{f\left(\frac{1}{z}\right)}-0\right|<\epsilon\)

((2)와 (3)의 오른쪽은 왼쪽의 \(z\)를 \(\displaystyle\frac{1}{z}\)로 대입한 것이다.)

\(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,-1}{\frac{z+1}{iz+3}}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,-1}{\frac{iz+3}{z+1}}=\infty\)이다. 또한 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{\frac{2}{z}+i}{\frac{1}{z}+1}}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{2+iz}{1+z}}=2\)이므로 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{\frac{2z+i}{z+1}}=2\)이다. 게다가\(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{\frac{1}{z^{2}}+1}{\frac{2}{z^{3}}-1}}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{z+z^{3}}{2-z^{3}}}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{\frac{2z^{3}-1}{z^{2}+1}}=\infty\)이다. 

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill