앞으로 복소변수에 관한 복소함수의 적분을 다루게 될 것인데 이러한 적분은 단순히 1변수 미적분학에서 배운 직선상에서의 적분이 아니라 다변수 미적분학에서 배운 2차원 평면에서의 선적분과 비슷하다.
복소평면에서 실수변수 \(t\)(\(t\)로만 나타내지 않음)에 대한 두 연속함수 \(x(t)\), \(y(t)\)에 의해 다음과 같이 정의되는 복소평면상의 점 \(z=(x,\,y)\)의 집합을 호(arc)라고 한다.$$x=x(t),\,y=y(t)\,(a\leq t\leq b)$$이는 구간 \(a\leq t\leq b\)에서 복소평면상의 점으로 대응하는 연속함수이고 호 \(C\)의 점을 다음과 같이 나타낸다.$$C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$$여기서 \(z(t)=x(t)+iy(t)\)이다. 호 \(C\)가 교차하지 않으면 \(t_{1}\neq t_{2}\)인 \(t_{1}\)과 \(t_{2}\)에 대하여 \(z(t_{1})\neq z(t_{2})\)이고 이러한 호 \(C\)를 단순호(simple arc)라고 한다. 첫 값과 끝 값이 일치하는 단순 호 \(C\)를 단순닫힌곡선(simple closed curve)이라고 하고 반시계방향을 양의 방향(positively oriented)으로 정한다.$$z_{0}(x)=\begin{cases}(1+i)x&\,(0\leq x\leq1)\\x+i&\,(1\leq x\leq2)\end{cases},\,z_{1}(\theta)=z_{0}+Re^{i\theta},\,z_{2}(\theta)=e^{2i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)$$위의 세 경로 중 \(z_{1}(x)\)는 원점에서 점 \((1,\,i)\)로, 점 \((1,\,i)\)에서 \((2,\,i)\)로 잇는 직선이다. \(z_{2}(\theta)\)는 중심이 \(z_{0}\)이고 반지름의 길이가 \(R\)인 원이다, \(z_{3}(\theta)\)는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원이나 두번씩 양의 방향으로 회전한다. 위의 세 경로를 보면 매개변수 표기가 제각각 다르다. 매개변수가 갖는 값의 범위를 다르게 바꿀 수 있다. 다음의 미분가능하고 또한 그 도함수가 연속인 전단사함수를 생각하자.$$t=\phi(\tau)\,(\alpha\leq\tau\leq\beta)$$그러면 이 함수 \(\phi\)는 구간 \(\alpha\leq\tau\leq\beta\)를 구간 \(a\leq t\leq b\)로 대응시키며 또한 \(\phi'(\tau)>0\)이다. 이를 이용하여 \(z=z(t)\,(a\leq t\leq b)\)를 \(z=Z(\tau)\,(\alpha\leq\tau\leq\beta)\)로 나타낼 수 있다.
호 \(C:\,z(t)=x(t)+iy(t)\)의 도함수 \(z'(t)=x'(t)+iy'(t)\)에서 \(x'(t)\)와 \(y'(t)\)가 구간 \(a\leq t\leq b\)에서 연속이라고 하자. 이러한 호를 미분가능한 호(differentiable arc)라고 한다. 다음의 함수$$|z'(t)|=\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}$$는 미분가능한 함수이고 \(C\)의 전체 길이를 \(L\)이라 할 때$$L=\int_{a}^{b}{|z'(t)|dt}$$이다. 앞에서 \(z(t)\)를 \(Z(\tau)\)로 나타낼 수 있음을 보였다. 위의 식에서 \(t=\phi(\tau)\,(\alpha\leq\tau\leq\beta)\)일 때 \(\displaystyle\frac{dt}{d\tau}=\phi'(\tau)\)이므로$$L=\int_{\alpha}^{\beta}{|z'(\phi(\tau))|\phi'(\tau)d\tau}=\int_{\alpha}^{\beta}{|Z'(\tau)|d\tau}\,(\because\phi'(\tau)>0)$$로 나타낼 수 있다.
호 \(C:\,z(t)\)가 미분가능하고 구간 \(a<t<b\)에서 \(z'(t)\neq0\)일 때, 이 구간에서의 단위접선벡터 \(\overrightarrow{T}\)를 다음과 같이 정의할 수 있다.$$\overrightarrow{T}=\frac{z'(t)}{|z'(t)|}$$이 곡선 \(C\)의 경사각은 \(\text{arg}z'(t)\)이다. \(a<t<b\)에서 \(z'(t)\neq0\)인 호를 매끄러운(smooth) 호라고 한다. 매끄러운 호는 도함수가 연속함수이고 구간 \(a<t<b\)에서 \(0\)이 아니다.
유한개의 매끄러운 호를 끝점끼리 연결한 호를 경로(contour)라고 한다. 그러면 \(C:\,z(t)\)가 경로이면 호가 연결되는 점에서 도함수가 존재하지 않을 수 있다. \(C:\,z(t)\)의 처음과 끝이 같을 때, 이러한 \(C\)를 단순 닫힌경로(simple closed contour)라고 한다.
닫순닫힌곡선 또는 단순닫힌경로 \(C\)에 있는 점은 서로소인 두 영역의 경계점이다. 그 두 영역 중 하나는 \(C\)의 안쪽으로 닫힌 집합이고 다른 하나는 닫히지 않은 집합이다.(아래그림 참고)
이것을 조르단 곡선정리(Jordan curve theorem)라고 하는데 이에 대한 증명은 수준을 넘기 때문에 하지 않겠다.
복소평면에서의 점 \(z=z_{1}\)부터 \(z=z_{2}\)까지 복소함수 \(f(z)\)의 적분은 점 \(z=z_{1}\)에서 \(z=z_{2}\)를 잇는 경로 \(C\)에서의 적분으로 정의한다. 이를 \(\displaystyle\int_{C}{f(z)dz}\) 또는 \(\displaystyle\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}\)로 나타낸다. 전자는 폐경로에서의 적분을 나타낼 때 사용되고 후자는 적분값이 두 점을 잇는 임의의 경로와 독립적일 때 사용된다.(보존적인 벡터장의 서로 다른 두 점을 잇는 임의의 경로에 대한 선적분과 비슷하다) 적분을 합의 극한으로 정의할 수 있으나 여기서는 앞에서 다뤘던 실변수 복소함수의 적분을 이용하여 정의하겠다.
곡선 \(C\)가 다음과 같을 때$$C:\,z(t)\,(a\leq t\leq b)$$곡선 \(C\) 위에서의 복소함수 \(f(z)\)의 선적분(line integral) 또는 경로적분(contour integral)은 다음과 같이 정의된다.$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$\(C\)가 경로이므로 \(z'(t)\)는 \(a\leq t\leq b\)에서 조각연속이고 따라서 위의 적분은 반드시 존재한다. 이 적분은 이변수함수의 선적분과 비슷하다. 앞에서 다른 실변수 복소함수의 성질로부터 임의의 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{C}\)와 복소함수 \(f(z)\), \(g(z)\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\int_{C}{\{\alpha f(z)+\beta g(z)\}dz}=\alpha\int_{C}{f(z)dz}+\beta\int_{C}{g(z)dz}$$경로 \(C\)에 대하여 \(-C\)는 경로 \(C\)와 반대방향을 의미한다. 즉 \(C\)가 다음의 곡선일 때$$C:\,z(t)\,(a\leq t\leq b)$$\(-C\)는$$-C:\,z(-t)\,(-b\leq t\leq -a)$$이고$$\int_{-C}{f(z)dz}=\int_{-b}^{-a}{f(z(-t))\frac{d}{dt}z(-t)dt}=-\int_{-b}^{-a}{f(z(-t))z'(-t)dt}=-\int_{a}^{b}{f(z(\tau))z'(\tau)d\tau}\,(\tau=-t)$$이므로$$\int_{-C}{f(z)dz}=-\int_{C}{f(z)dz}$$이다.
곡선 \(C_{1}\)이 점 \(z_{1}\)에서 \(z_{2}\)까지 잇는 경로, \(C_{2}\)가 점 \(z_{2}\)에서 \(z_{3}\)까지 잇는 경로라고 하자. 이를 \(a<c<b\)인 실수 \(a\), \(c\), \(b\)에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$C_{1}:\,z(t)\,(a\leq t\leq c)\\C_{2}:\,z(t)\,(c\leq t\leq b)$$이때 \(z_{1}=z(a)\), \(z_{2}=z(c)\), \(z_{3}=z(b)\)이다. 앞에서 정의한 경로적분의 정의를 이용하면$$\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}=\int_{a}^{c}{f(z(t))z'(t)dt}+\int_{c}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$이므로$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$여기서 \(C\)는 \(C_{1}\)과 \(C_{2}\)를 이은 경로이다. 이 \(C\)를 \(C_{1}\)과 \(C_{2}\)의 합(sum)이라 하고 \(C_{1}+C_{2}\)로 나타낸다. 즉 \(C=C_{1}+C_{2}\).
참고자료:
Complex Variables and applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill
