11. 복소평면 상의 경로와 경로적분

11. 복소평면 상의 경로와 경로적분

 

 

앞으로 복소변수에 관한 복소함수의 적분을 다루게 될 것인데 이러한 적분은 단순히 1변수 미적분학에서 배운 직선상에서의 적분이 아니라 다변수 미적분학에서 배운 2차원 평면에서의 선적분과 비슷하다.

 복소평면에서 실수변수 $t$($t$로만 나타내지 않음)에 대한 두 연속함수 $x(t)$, $y(t)$에 의해 다음과 같이 정의되는 복소평면상의 점 $z=(x,\,y)$의 집합을 호(arc)라고 한다. $$x=x(t),\,y=y(t)\,(a\leq t\leq b)$$ 이는 구간 $a\leq t\leq b$에서 복소평면상의 점으로 대응하는 연속함수이고 호 $C$의 점을 다음과 같이 나타낸다. $$C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$$ 여기서 $z(t)=x(t)+iy(t)$이다. 호 $C$가 교차하지 않으면 $t_{1}\neq t_{2}$인 $t_{1}$과 $t_{2}$에 대하여 $z(t_{1})\neq z(t_{2})$이고 이러한 호 $C$를 단순호(simple arc)라고 한다. 첫 값과 끝 값이 일치하는 단순 호 $C$를 단순닫힌곡선(simple closed curve)이라고 하고 반시계방향을 양의 방향(positively oriented)으로 정한다. $$z_{0}(x)=\begin{cases}(1+i)x&\,(0\leq x\leq1)\\x+i&\,(1\leq x\leq2)\end{cases},\,z_{1}(\theta)=z_{0}+Re^{i\theta},\,z_{2}(\theta)=e^{2i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)$$ 위의 세 경로 중 $z_{1}(x)$는 원점에서 점 $(1,\,i)$로, 점 $(1,\,i)$에서 $(2,\,i)$로 잇는 직선이다. $z_{2}(\theta)$는 중심이 $z_{0}$이고 반지름의 길이가 $R$인 원이다, $z_{3}(\theta)$는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원이나 두번씩 양의 방향으로 회전한다. 위의 세 경로를 보면 매개변수 표기가 제각각 다르다. 매개변수가 갖는 값의 범위를 다르게 바꿀 수 있다. 다음의 미분가능하고 또한 그 도함수가 연속인 전단사함수를 생각하자. $$t=\phi(\tau)\,(\alpha\leq\tau\leq\beta)$$ 그러면 이 함수 $\phi$는 구간 $\alpha\leq\tau\leq\beta$를 구간 $a\leq t\leq b$로 대응시키며 또한 $\phi'(\tau)>0$이다. 이를 이용하여 $z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$를 $z=Z(\tau)\,(\alpha\leq\tau\leq\beta)$로 나타낼 수 있다.

호 $C:\,z(t)=x(t)+iy(t)$의 도함수 $z'(t)=x'(t)+iy'(t)$에서 $x'(t)$와 $y'(t)$가 구간 $a\leq t\leq b$에서 연속이라고 하자. 이러한 호를 미분가능한 호(differentiable arc)라고 한다. 다음의 함수 $$|z'(t)|=\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}$$ 는 미분가능한 함수이고 $C$의 전체 길이를 $L$이라 할 때 $$L=\int_{a}^{b}{|z'(t)|dt}$$ 이다. 앞에서 $z(t)$를 $Z(\tau)$로 나타낼 수 있음을 보였다. 위의 식에서 $t=\phi(\tau)\,(\alpha\leq\tau\leq\beta)$일 때 $\displaystyle\frac{dt}{d\tau}=\phi'(\tau)$이므로 $$L=\int_{\alpha}^{\beta}{|z'(\phi(\tau))|\phi'(\tau)d\tau}=\int_{\alpha}^{\beta}{|Z'(\tau)|d\tau}\,(\because\phi'(\tau)>0)$$ 로 나타낼 수 있다. 

 

호 $C:\,z(t)$가 미분가능하고 구간 $a<t<b$에서 $z'(t)\neq0$일 때, 이 구간에서의 단위접선벡터 $\overrightarrow{T}$를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\overrightarrow{T}=\frac{z'(t)}{|z'(t)|}$$ 이 곡선 $C$의 경사각은 $\text{arg}z'(t)$이다. $a<t<b$에서 $z'(t)\neq0$인 호를 매끄러운(smooth) 호라고 한다. 매끄러운 호는 도함수가 연속함수이고 구간 $a<t<b$에서 $0$이 아니다.

유한개의 매끄러운 호를 끝점끼리 연결한 호를 경로(contour)라고 한다. 그러면 $C:\,z(t)$가 경로이면 호가 연결되는 점에서 도함수가 존재하지 않을 수 있다. $C:\,z(t)$의 처음과 끝이 같을 때, 이러한 $C$를 단순 닫힌경로(simple closed contour)라고 한다.

 닫순닫힌곡선 또는 단순닫힌경로 $C$에 있는 점은 서로소인 두 영역의 경계점이다. 그 두 영역 중 하나는 $C$의 안쪽으로 닫힌 집합이고 다른 하나는 닫히지 않은 집합이다.(아래그림 참고) 

이것을 조르단 곡선정리(Jordan curve theorem)라고 하는데 이에 대한 증명은 수준을 넘기 때문에 하지 않겠다.   

 

복소평면에서의 점 $z=z_{1}$부터 $z=z_{2}$까지 복소함수 $f(z)$의 적분은 점 $z=z_{1}$에서 $z=z_{2}$를 잇는 경로 $C$에서의 적분으로 정의한다. 이를 $\displaystyle\int_{C}{f(z)dz}$ 또는 $\displaystyle\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}$로 나타낸다. 전자는 폐경로에서의 적분을 나타낼 때 사용되고 후자는 적분값이 두 점을 잇는 임의의 경로와 독립적일 때 사용된다.(보존적인 벡터장의 서로 다른 두 점을 잇는 임의의 경로에 대한 선적분과 비슷하다) 적분을 합의 극한으로 정의할 수 있으나 여기서는 앞에서 다뤘던 실변수 복소함수의 적분을 이용하여 정의하겠다.

곡선 $C$가 다음과 같을 때 $$C:\,z(t)\,(a\leq t\leq b)$$ 곡선 $C$ 위에서의 복소함수 $f(z)$의 선적분(line integral) 또는 경로적분(contour integral)은 다음과 같이 정의된다. $$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$ $C$가 경로이므로 $z'(t)$는 $a\leq t\leq b$에서 조각연속이고 따라서 위의 적분은 반드시 존재한다. 이 적분은 이변수함수의 선적분과 비슷하다. 앞에서 다른 실변수 복소함수의 성질로부터 임의의 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{C}$와 복소함수 $f(z)$, $g(z)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_{C}{\{\alpha f(z)+\beta g(z)\}dz}=\alpha\int_{C}{f(z)dz}+\beta\int_{C}{g(z)dz}$$ 경로 $C$에 대하여 $-C$는 경로 $C$와 반대방향을 의미한다. 즉 $C$가 다음의 곡선일 때 $$C:\,z(t)\,(a\leq t\leq b)$$ $-C$는 $$-C:\,z(-t)\,(-b\leq t\leq -a)$$ 이고 $$\int_{-C}{f(z)dz}=\int_{-b}^{-a}{f(z(-t))\frac{d}{dt}z(-t)dt}=-\int_{-b}^{-a}{f(z(-t))z'(-t)dt}=-\int_{a}^{b}{f(z(\tau))z'(\tau)d\tau}\,(\tau=-t)$$ 이므로 $$\int_{-C}{f(z)dz}=-\int_{C}{f(z)dz}$$ 이다. 

곡선 $C_{1}$이 점 $z_{1}$에서 $z_{2}$까지 잇는 경로, $C_{2}$가 점 $z_{2}$에서 $z_{3}$까지 잇는 경로라고 하자. 이를 $a<c<b$인 실수 $a$, $c$, $b$에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$C_{1}:\,z(t)\,(a\leq t\leq c)\\C_{2}:\,z(t)\,(c\leq t\leq b)$$ 이때 $z_{1}=z(a)$, $z_{2}=z(c)$, $z_{3}=z(b)$이다. 앞에서 정의한 경로적분의 정의를 이용하면 $$\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}=\int_{a}^{c}{f(z(t))z'(t)dt}+\int_{c}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$ 이므로 $$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$ 여기서 $C$는 $C_{1}$과 $C_{2}$를 이은 경로이다. 이 $C$를 $C_{1}$과 $C_{2}$의 합(sum)이라 하고 $C_{1}+C_{2}$로 나타낸다. 즉 $C=C_{1}+C_{2}$.

 

참고자료:

Complex Variables and applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill