15. 코시의 적분공식과 그 결과들

15. 코시의 적분공식과 그 결과들

코시의 적분공식은 적분값을 함수를 이용하여 나타내는 공식이다. 다음과 같이 나타낼 수 있다.

코시의 적분공식(Cauchy integral formula): 함수 $f$가 양의 방향의 단순닫힌경로 $C$와 그 내부에서 해석적이라고 하자. $C$ 내부의 임의의 점 $z_{0}$에 대하여 다음의 등식이 성립한다. $$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$   

$C_{\rho}:\,|z-z_{0}|=\rho$라 하자. 여기서 $\rho$는 $C$의 내부에 포함되도록 정한다.(아래그림 참고)

함수 $\displaystyle\frac{f(z)}{z-z_{0}}$는 $C$와 $C_{\rho}$사이의 영역에서 해석적이므로 경로변형의 원리에 의해 다음 등식이 성립한다. $$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}=\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$ 이 등식으로부터 다음 등식이 성립한다. $$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}-f(z_{0})\int_{C_{\rho}}{\frac{dz}{z-z_{0}}}=\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz}$$ $C_{\rho}$를 $z=z_{0}+\rho e^{i\theta}\,(-\pi\leq\theta\leq\pi)$로 나타낼 수 있으므로 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{\rho}}{\frac{dz}{z-z_{0}}}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{\rho e^{i\theta}}i\rho e^{i\theta}d\theta}=i\int_{-\pi}^{\pi}{d\theta}=2\pi i$$ 그러면 $$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}-2\pi if(z_{0})=\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz}$$ 이고 함수 $f$가 $z_{0}$에서 해석적이므로 연속의 정의로부터 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $|z-z_{0}|<\delta$이면 $|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$이다. $\rho<\delta$라 하자. $z\in C_{\rho}$일 때 $|z-z_{0}|=\rho<\delta$이므로 $$\left|\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz}\right|\leq\int_{C_{\rho}}{\left|\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\right|dz}=\frac{1}{\rho}\int_{C_{\rho}}{|f(z)-f(z_{0})|dz}<\frac{1}{\rho}\epsilon\int_{C_{\rho}}{dz}=\frac{\epsilon}{\rho}2\pi\rho=2\pi\epsilon$$ 이다. 그러면 $$\left|\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}-2\pi if(z_{0})\right|<2\pi\epsilon$$ 이고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 이 부등식의 절댓값 안은 반드시 $0$이어야 한다. 따라서 $$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}=2\pi if(z_{0})$$ 이고 이 등식의 양 변을 $2\pi i$로 나누면 원하는 결과를 얻는다.(QED) 

$C:\,z=e^{i\theta}\,(-\pi\leq\theta\pi)$라 하자. 함수 $f(z)=e^{az}\,(a\in\mathbb{R})$는 $C$ 내부의 점 $z=0$에서 해석적이다. 그러면 코시의 적분공식으로부터 $$\int_{C}{\frac{e^{az}}{z}dz}=\int_{C}{\frac{f(z)}{z}dz}=2\pi if(0)=2\pi i$$ 이고 이때 $$\begin{align*}\int_{C}{\frac{e^{az}}{z}dz}&=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{e^{a(\cos\theta+i\sin\theta)}}{e^{i\theta}}ie^{i\theta}d\theta}=i\int_{-\pi}^{\pi}{e^{a\cos\theta}(\cos(a\sin\theta)+i\sin(a\sin\theta))d\theta}\\&=-\int_{-\pi}^{\pi}{e^{a\sin\theta}\sin(a\sin\theta)d\theta}+i\int_{-\pi}^{\pi}{e^{a\sin\theta}\cos(a\sin\theta)d\theta}\end{align*}$$ 이므로 $$\int_{-\pi}^{\pi}{e^{a\cos\theta}\cos(a\sin\theta)d\theta}=2\pi$$ 라는 결과를 얻는다. 함수 $e^{a\cos\theta}\cos(a\sin\theta)$는 $\theta$에 대해 우함수이므로 $$\int_{0}^{\pi}{e^{a\cos\theta}\cos(a\sin\theta)d\theta}=\pi$$ 이다.

코시 적분공식을 확장해서 $z_{0}$에서 $f$의 도함수를 적분으로 나타낼 수 있다. 즉 양의 방향의 단순닫힌경로 $C$와 그 내부에서 해석적인 함수 $f$에 대하여 $$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}$$ 이다. 이 식을 가장 쉽게 증명하는 방법은 코시적분공식 $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{s-z}ds}$$ 에 있는 식을 $z$에 대해 미분을 하는 것이다. 이 방법은 엄밀하지 않다. 다음의 증명이 엄밀한 증명이다.

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{s-z}ds}$$ 라 하고 $z$에서 $s\in C$까지의 가장 짧은 거리를 $d$라고 하면 $0<|\Delta z|<d$일 때(위의 그림 참고), 다음 식이 성립한다. $$\begin{align*}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\left(\frac{1}{s-z-\Delta z}-\frac{1}{s-z}\right)\frac{f(s)}{\Delta z}ds}\\&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z-\Delta z)(s-z)}ds}\end{align*}$$ 그러면 $$\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}-\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{\Delta zf(s)}{(s-z-\Delta z)(s-z)^{2}}ds}$$ 이다. $|s-z|\geq d$, $|\Delta z|<d$이므로 다음의 부등식이 성립한다. $$|s-z-\Delta z|=|(s-z)-\Delta z|\geq||s-z|-|\Delta z||\geq d-|\Delta z|>0$$ $C$에서 $|f(s)|$의 최댓값을 $M$, $L$을 $C$의 길이라고 할 때, 위의 부등식으로부터 다음이 성립한다. $$\left|\int_{C}{\frac{\Delta zf(s)}{(s-z-\Delta z)(s-z)^{2}}ds}\right|\leq\frac{|\Delta z|M}{(d-|\Delta z|)d^{2}}L$$ 이 부등식에서 $\displaystyle\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{|\Delta z|M}{(d-|\Delta z|)d^{2}}}L=0$이므로 $$\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}-\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}=0$$ 이고 따라서 $$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}$$ 이다.(QED)

앞의 방법을 이용하여 $f''$에 대한 코시 적분공식을 얻을 수 있다. $$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}$$ 라 하면 $$\begin{align*}\frac{f'(z+\Delta z)-f'(z)}{\Delta z}-\frac{1}{\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\left\{\frac{1}{(s-z-\Delta z)^{2}}-\frac{1}{(s-z)^{2}}-\frac{2\Delta z}{(s-z)^{3}}\right\}\frac{f(s)}{\Delta z}ds}\\&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{3(s-z)\Delta z-2(\Delta z)^{2}}{(s-z-\Delta z)^{2}(s-z)^{3}}f(s)ds}\end{align*}$$ $z$에서 $C$ 상의 점들까지의 가장 먼 거리를 $D$, 가장 짧은 거리를 $d$라 하자. 그러면$d\leq|s-z|\leq D$, $|f(z)|\leq M$이고 삼각부등식에 의해 다음의 부등식이 성립한다. $$d-\Delta z<|s-z|-|\Delta z|\leq|s-z-\Delta z|$$ $C$에서 $|f(z)|$의 최댓값을 $M$, $C$의 길이를 $L$이라 하자. $0<|\Delta z|<d$일 때 위의 부등식으로부터 다음이 성립한다. $$\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{3(s-z)\Delta z-2(\Delta z)^{2}}{(s-z-\Delta z)^{2}(s-z)^{3}}f(s)ds}\right|\leq\frac{(3D+2|\Delta z|)ML}{(d-|\Delta z|)^{2}d^{3}}|\Delta z|$$ 이 부등식에서 $\displaystyle\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{(3D+2|\Delta z|)ML}{(d-|\Delta z|)^{2}d^{3}}}|\Delta z|=0$이므로 $$\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{f'(z+\Delta z)-f'(z)}{\Delta z}}-\frac{1}{\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}=0$$ 이고 따라서 $$f''(z)=\frac{1}{\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}$$ 이다.(QED)

수학적 귀납법을 이용하여 일반화된 코시적분공식 $$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}ds}$$ 을 얻을 수 있고 이 과정은 여기서 다루지 않겠다. $n=0$인 경우, $f^{(0)}(z)=f(z)$로 정의한다.

양의 방향의 단순닫힌경로 $C$의 내부에 있는 점 $z_{0}$에 대하여 $f(z)=1$이라고 할 때, 다음을 얻는다. $$\int_{C}{\frac{1}{z-z_{0}}dz}=2\pi i\\ \int_{C}{\frac{1}{(z-z_{0})^{n}}dz}=0\,(n\in\mathbb{N})$$ 코시 적분공식으로부터 몇가지 중요한 결과를 얻는다.

(1) 함수 $f$가 주어진 점에서 해석적이면, 그 점에서 모든 계의 도함수가 존재한다.

: 함수 $f$가 점 $z_{0}$에서 해석적이라고 하면 $z_{0}$의 근방 $|z-z_{0}|<\epsilon$가 존재해서 이곳에서 $f$는 해석적이다. 그러면 중심이 $z_{0}$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle\frac{\epsilon}{2}$인 양의 방향의 원 $C_{0}$가 존재해서 $f$는 $C_{0}$와 그 내부에서 해석적이다. 코시 적분공식으로부터 $C_{0}$내부의 점 $z$에 대하여 $$f''(z)=\frac{1}{\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}$$ 이다. 이 사실은 $f''(z)$가 근방$\displaystyle|z-z_{0}|<\frac{\epsilon}{2}$에서 존재하기 때문에 $f'$는 $z_{0}$에서 해석적이다. 이와 같은 방법을 $f'$에 적용해 $f''$가 해석적임이 증명된다. 이 과정을 반복하면 주장하고자 하는 결론을 얻는다.(QED)

(2) 함수 $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$가 점 $z=x+iy$에서 해석적이면, 이 점에서 $u$와 $v$의 모든 계의 연속인 편도함수가 존재한다.

: 위의 함수 $f(z)$가 점 $z=x+iy$에서 해석적이라고 하자. 그러면 $f'$는 $z$에서 미분가능하므로 $f'$는 연속이다. $$f'(z)=u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}$$ 로 나타낼 수 있으므로 $u$와 $v$의 1계 편도함수는 $z$에서 연속이다. 게다가 (1)의 결과로부터 $f''$는 $z$에서 해석적이고 연속이며 $$f''(z)=u_{xx}+iv_{xx}=v_{yx}-iu_{yx}$$ 이다. 그러므로 주장하고자 하는 결론을 얻는다.(QED)    

(3)(모레라 정리, Morera's theorem) 함수 $f$가 영역 $D$에서 연속이고 $D$에 포함되는 모든 닫힌경로 $C$에 대해 $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 이라 하자. 그러면 $f$는 $D$ 전체에서 해석적이다. 이는 코시-구르사 정리의 역이다.

: $C$에서 $f$의 적분값이 $0$이므로 $f$의 원시함수 $F$가 $D$에서 존재한다. 이때 $F$는 해석함수이고 모든 $z\in D$에 대하여 $F'(z)=f(z)$이다. $f$는 $F$의 도함수이므로 (!)에 의해 $D$에서 해석적이다.(QED)

(4)(코시 부등식, Cauchy's inequality) 함수 $f$가 중심이 $z_{0}$이고 반지름의 길이가 $R$인 양의 방향의 원 $C_{R}$과 그 내부에서 해석적이라고 하자. $C_{R}$에서 $|f(z)|$의 최댓값은 $M_{R}$이라 하면 다음의 부등식이 성립한다. $$|f^{(n)}(z_{0})|\leq\frac{n!M_{R}}{R^{n}}\,(n\in\mathbb{N})$$ : 코시 적분공식 $$f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C_{R}}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}\,(n\in\mathbb{N})$$ 으로부터 유도된다. $$|f^{(n)}(z_{0})|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\int_{C_{R}}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}\right|\leq\frac{n!}{2\pi}\int_{C_{R}}{\left|\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\right|dz}\leq\frac{n!}{2\pi}\frac{M_{R}}{R^{n+1}}2\pi R=\frac{n!M_{R}}{R^{n}}$$ 이다.(QED)

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill