16. 리우빌의 정리, 대수학의 기본정리, 최대 절댓값 원리

16. 리우빌의 정리, 대수학의 기본정리, 최대 절댓값 원리

리우빌의 정리(Liouville's theorem): 복소평면 전체에서 유계인 전해석함수는 상수함수이다.

함수 $f$가 이 정리의 가정을 만족한다고 하고 $|f|$의 최댓값을 $M$이라 하자. 임의의 $z_{0}\in\mathbb{C}$와 $z_{0}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $R$인 원에서 $f$는 해석적이므로 코시 부등식에 의해 $$|f'(z_{0})|\leq\frac{M}{R}$$ 이다. $R\,\rightarrow\,\infty$이면 앞에서 언급했던 원은 복소평면 전체가 되고 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{M}{R}}=0$이므로 복소평면 전체에서 $|f'(z_{0})|=0$이고 $f'(z_{0})=0$이다. 이때 $z_{0}$는 복소평면 상의 임의의 점이므로 $f'(z)=0$이고 따라서 $f$는 상수함수이다.(QED)

대수학의 기본정리는 임의의 복소 다항함수는 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 이는 리우빌의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

대수학의 기본정리(Fundamental theorem of algebra): 임의의 복소 다항함수는 적어도 하나의 영점을 갖는다. 즉, 다음의 임의의 $n\,(\geq1)$차 다항함수 $$P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}\,(a_{n}\neq0)$$ 에 대하여 적어도 하나의 $z_{0}\in\mathbb{C}$가 존재해서 $P(z_{0})=0$이다.

(귀류법으로 증명) 임의의 $z\in\mathbb{C}$에 대하여 $P(z)\neq0$이라 하자. 그러면 함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{P(z)}$는 전해석 함수이고 유계이다. 전해석 함수임은 분명하므로 유계임을 보이자. 삼각부등식으로부터 다음의 부등식이 성립한다.

$$\begin{align*}|p(z)|&=\left|z^{n}\left(\frac{a_{0}}{z^{n}}+\frac{a_{1}}{z^{n-1}}+\cdots+a_{n}\right)\right|\\&\geq|z|^{n}\left(|a_{n}|-\left|\frac{a_{0}}{z^{n}}+\frac{a_{1}}{z^{n-1}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{z}\right|\right)\end{align*}$$ .그러면 $\displaystyle\lim_{|z|\,\rightarrow\,\infty}{|p(z)|}=\infty$이므로 $\displaystyle\lim_{|z|\,\rightarrow\,\infty}{|f(z)|}=\lim_{|z|\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{|P(z)|}}=0$이고 $f$는 복소평면 전체에서 유계이다. 리우빌의 정리로부터 $f$는 상수함수가 되고 $P$도 상수함수가 되는데 이는 모순이다.(QED)   

최대 절댓값 원리는 정해진 영역에서 해석적인 함수가 최댓값을 가지면, 그 함수는 상수함수라는 정리이다.

최대 절댓값 원리(Maximum modulus principle): 함수 $f$가 영역 $D$에서 해석적이고 이 영역에서 최댓값을 취하면 즉, $z_{0}\in D$에 대하여 $|f(z)|\leq|f(z_{0})|$이면, $f$는 이 영역 $D$에서 상수함수이다.

이 명제에 대한 증명은 생략하겠다.

마무리하기 전에 코시 적분공식 $$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$ 에서 $z=z_{0}+\rho e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)$라 하면 식 $$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+\rho e^{i\theta})d\theta}$$ 를 얻고, 이 결과를 가우스의 평균값 정리(Gauss's mean value theorem)라고 한다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Churchill, Brown, McGraw-Hill

기초 복소해석, 계승혁, 김영원, 서울대학교출판문화원