18. 테일러 급수

18. 테일러 급수

테일러의 정리(Taylor's theorem) 

함수 \(f\)가 중심이 \(z_{0}\)이고 반지름이 \(R_{0}\)인 원판 \(|z-z_{0}|<R_{0}\)에서 해석적이라고 하자. 그러면 \(f(z)\)는 다음과 같이 멱급수로 나타낼 수 있다.$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}\,(|z-z_{0}|<R_{0})$$

증명: \(|z|=r\), \(C_{0}:\,|z|=r_{0}\,(r<r_{0}<R_{0})\)이라 하자.

\(f\)는 원 \(C_{0}\)과 그 내부에서 해석적이고, \(z\)는 \(C_{0}\)내부의 점이므로 코시 적분공식에 의해$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)ds}{s-z}}$$이다.$$\frac{1}{s-z}=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{\displaystyle1-\left(\frac{z}{s}\right)}$$이고$$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{N-1}{z^{n}}+\frac{z^{N}}{1-z}$$이므로 이 등식에서 \(z\)를 \(\displaystyle\frac{z}{s}\)로 대입하면$$\frac{1}{s-z}=\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{1}{s^{n+1}}z^{n}}+z^{N}\frac{1}{(s-z)s^{N}}$$이고 이 식으로부터$$\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{s-z}ds}=\sum_{n=0}^{N-1}{\int_{C_{0}}{\frac{z^{n}f(s)}{s^{n+1}}ds}}+z^{N}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{(s-z)s^{N}}ds}$$이다. 코시 적분공식에 의해$$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{s^{n+1}}ds}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,(n\in\mathbb{N}\cup\{0\})$$이므로$$f(z)=\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n}}+\rho_{N}(z)$$이고 여기서$$\rho_{N}(z)=\frac{z^{N}}{2\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{(s-z)s^{N}}ds}$$이다. \(|z|=r<r_{0}\)이므로 \(s\)가 \(C_{0}\)상의 점일 때 \(|s-z|\geq||s|-|z||=r_{0}-r\)이고, \(C_{0}\)에서 \(|f(s)|\)의 최댓값을 \(M\)이라고 하면$$|\rho_{N}(z)|\leq\frac{r^{N}}{2\pi}\frac{M}{(r_{0}-r)r_{0}^{N}}2\pi r_{0}=\frac{Mr_{0}}{r_{0}-r}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{N}$$이고 \(\displaystyle0<\frac{r}{r_{0}}<1\)이므로 \(\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\rho_{N}(z)}=0\)이고 따라서 다음 등식이 성립한다.$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}}z^{n}\,(|z|<R_{0})$$이제 원판의 중심이 임의의 점 \(z_{0}\)에 있는 경우에 대해 보이자. \(f\)가 \(|z-z_{0}|<R_{0}\)인 \(z\)에서 해석적이라고 하면 합성함수 \(f(z+z_{0})\)는 \(|(z+z_{0}-z_{0})|=|z|<R_{0}\)인 \(z\)에서 해석적이고, \(g(z)=f(z+z_{0})\)이라 하면, \(g(z)\)는 \(|z|<R_{0}\)에서 해석적이므로 앞의 결과에 의해$$f(z+z_{0})=g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}z^{n}}\,(|z|<R_{0})$$이고 여기서 \(z\)에 \(z-z_{0}\)를 대입하면 다음 등식이 성립한다.$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}}\,(|z-z_{0}|<R_{0})$$

\(z_{0}=0\)인 경우를 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 한다. 테일러의 정리로부터 점 \(z_{0}\)에서 해석적인 임의의 함수에 대해 \(z_{0}\)를 중심으로 하는 테일러급수가 존재한다. 특히 전해석 함수의 경우는 \(R_{0}=\infty\)이다.

 

\(f(z)=e^{z}\)는 전해석 함수이므로 모든 \(z\)에 대해 매클로린 급수로 나타낼 수 있다. \(f^{(n)}(z)=e^{z}\)이고 \(f^{(n)}(0)=1\)이므로$$e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{n}}{n!}}$$\(z^{2}e^{3z}\)도 전해석 함수이므로 다음과 같이 매클로린 급수로 나타낼 수 있다.$$z^{2}e^{3z}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{3^{n}}{n!}z^{n}\cdot z^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{3^{n-2}}{(n-2)!}z^{n}}$$

복소삼각함수 \(f(z)=\sin z\)는$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$로 나태낼 수 있으므로$$\sin z=\frac{1}{2i}\left\{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(iz)^{n}}{n!}}-\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-iz)^{n}}{n!}}\right\}$$이고 \(n\)이 짝수일 때 \(1-(-1)^{n}=0\)이므로$$\sin z=\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}{\{1-(-1)^{2n+1}\}\frac{i^{2n+1}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$이고 \(1-(-1)^{2n+1}=2,\,i^{2n+1}=i^{2n}\cdot i=(-1)^{n}i\)이므로 따라서$$\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$이고 이 결과는 실수에서의 \(\sin x\)의 매클로린 급수와 비슷하다. 이와 같은 방법으로 \(\cos z\)에 대한 매클로린 급수는 다음과 같다.$$\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$$\(\sinh z=-i\sin(iz),\,\cosh z=\cos(iz)\)이므로 \(\sinh z\)와 \(\cosh z\)에 대한 매클로린 급수는 다음과 같다.$$\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\,\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}$$\(|z|<1\)인 \(z\)에 대한 다음의 급수$$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}{z^{n}}$$도 매클로린 급수이고 이때$$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(1-z)^{n+1}},\,f^{(n)}(0)=n!$$이다. 이 급수에서 \(z\)를 \(-z\)로 바꾸어도 수렴하는 영역은 그대로이고 이 때의 급수는 다음과 같다.$$\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}z^{n}}\,(|z|<1)$$새로 얻은 급수식에서 \(z\)를 \(1-z\)로 바꾸면 다음과 같은 테일러 급수를 얻는다.$$\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(z-1)^{n}}\,(|z-1|<1)$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill