18. 테일러 급수

18. 테일러 급수

테일러의 정리(Taylor's theorem) 

함수 $f$가 중심이 $z_{0}$이고 반지름이 $R_{0}$인 원판 $|z-z_{0}|<R_{0}$에서 해석적이라고 하자. 그러면 $f(z)$는 다음과 같이 멱급수로 나타낼 수 있다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}\,(|z-z_{0}|<R_{0})$$

증명: $|z|=r$, $C_{0}:\,|z|=r_{0}\,(r<r_{0}<R_{0})$이라 하자.

$f$는 원 $C_{0}$과 그 내부에서 해석적이고, $z$는 $C_{0}$내부의 점이므로 코시 적분공식에 의해 $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)ds}{s-z}}$$ 이다. $$\frac{1}{s-z}=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{\displaystyle1-\left(\frac{z}{s}\right)}$$ 이고 $$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{N-1}{z^{n}}+\frac{z^{N}}{1-z}$$ 이므로 이 등식에서 $z$를 $\displaystyle\frac{z}{s}$로 대입하면 $$\frac{1}{s-z}=\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{1}{s^{n+1}}z^{n}}+z^{N}\frac{1}{(s-z)s^{N}}$$ 이고 이 식으로부터 $$\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{s-z}ds}=\sum_{n=0}^{N-1}{\int_{C_{0}}{\frac{z^{n}f(s)}{s^{n+1}}ds}}+z^{N}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{(s-z)s^{N}}ds}$$ 이다. 코시 적분공식에 의해 $$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{s^{n+1}}ds}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,(n\in\mathbb{N}\cup\{0\})$$ 이므로 $$f(z)=\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n}}+\rho_{N}(z)$$ 이고 여기서 $$\rho_{N}(z)=\frac{z^{N}}{2\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{(s-z)s^{N}}ds}$$ 이다. $|z|=r<r_{0}$이므로 $s$가 $C_{0}$상의 점일 때 $|s-z|\geq||s|-|z||=r_{0}-r$이고, $C_{0}$에서 $|f(s)|$의 최댓값을 $M$이라고 하면 $$|\rho_{N}(z)|\leq\frac{r^{N}}{2\pi}\frac{M}{(r_{0}-r)r_{0}^{N}}2\pi r_{0}=\frac{Mr_{0}}{r_{0}-r}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{N}$$ 이고 $\displaystyle0<\frac{r}{r_{0}}<1$이므로 $\displaystyle\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\rho_{N}(z)}=0$이고 따라서 다음 등식이 성립한다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}}z^{n}\,(|z|<R_{0})$$ 이제 원판의 중심이 임의의 점 $z_{0}$에 있는 경우에 대해 보이자. $f$가 $|z-z_{0}|<R_{0}$인 $z$에서 해석적이라고 하면 합성함수 $f(z+z_{0})$는 $|(z+z_{0}-z_{0})|=|z|<R_{0}$인 $z$에서 해석적이고, $g(z)=f(z+z_{0})$이라 하면, $g(z)$는 $|z|<R_{0}$에서 해석적이므로 앞의 결과에 의해 $$f(z+z_{0})=g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}z^{n}}\,(|z|<R_{0})$$ 이고 여기서 $z$에 $z-z_{0}$를 대입하면 다음 등식이 성립한다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}}\,(|z-z_{0}|<R_{0})$$

$z_{0}=0$인 경우를 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 한다. 테일러의 정리로부터 점 $z_{0}$에서 해석적인 임의의 함수에 대해 $z_{0}$를 중심으로 하는 테일러급수가 존재한다. 특히 전해석 함수의 경우는 $R_{0}=\infty$이다.

 

$f(z)=e^{z}$는 전해석 함수이므로 모든 $z$에 대해 매클로린 급수로 나타낼 수 있다. $f^{(n)}(z)=e^{z}$이고 $f^{(n)}(0)=1$이므로 $$e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{n}}{n!}}$$ $z^{2}e^{3z}$도 전해석 함수이므로 다음과 같이 매클로린 급수로 나타낼 수 있다. $$z^{2}e^{3z}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{3^{n}}{n!}z^{n}\cdot z^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{3^{n-2}}{(n-2)!}z^{n}}$$

복소삼각함수 $f(z)=\sin z$는 $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$ 로 나태낼 수 있으므로 $$\sin z=\frac{1}{2i}\left\{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(iz)^{n}}{n!}}-\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-iz)^{n}}{n!}}\right\}$$ 이고 $n$이 짝수일 때 $1-(-1)^{n}=0$이므로 $$\sin z=\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}{\{1-(-1)^{2n+1}\}\frac{i^{2n+1}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$ 이고 $1-(-1)^{2n+1}=2,\,i^{2n+1}=i^{2n}\cdot i=(-1)^{n}i$이므로 따라서 $$\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$ 이고 이 결과는 실수에서의 $\sin x$의 매클로린 급수와 비슷하다. 이와 같은 방법으로 $\cos z$에 대한 매클로린 급수는 다음과 같다. $$\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$$ $\sinh z=-i\sin(iz),\,\cosh z=\cos(iz)$이므로 $\sinh z$와 $\cosh z$에 대한 매클로린 급수는 다음과 같다. $$\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\,\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}$$ $|z|<1$인 $z$에 대한 다음의 급수 $$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}{z^{n}}$$ 도 매클로린 급수이고 이때 $$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(1-z)^{n+1}},\,f^{(n)}(0)=n!$$ 이다. 이 급수에서 $z$를 $-z$로 바꾸어도 수렴하는 영역은 그대로이고 이 때의 급수는 다음과 같다. $$\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}z^{n}}\,(|z|<1)$$ 새로 얻은 급수식에서 $z$를 $1-z$로 바꾸면 다음과 같은 테일러 급수를 얻는다. $$\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(z-1)^{n}}\,(|z-1|<1)$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill