19. 로랑 급수

19. 로랑 급수

복소함수 $f$가 점 $z_{0}$에서 해석적이지 않으면, 이 점에서 테일러 정리를 적용할 수 없으나 $z-z_{0}$의 양과 음의 제곱을 포함한 급수로 나타낼 수는 있다. 이것을 가능하게 하는 정리가 다음의 로랑 정리이다.

로랑 정리(Laurent's theorem)

함수 $f$가 중심이 $z_{0}$인 원환영역 $R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}$전체에서 해석적이고 $C$는 이 원환영역에 포함되면서 $z_{0}$의 둘레를 양의 방향으로 도는 임의의 단순닫힌경로라고 하자. 그러면 이 영역의 각 점에서 $f(z)$는 다음과 같은 급수로 나타낼 수 있다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}\,(R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2})$$ 여기서 $$\begin{align*}a_{n}&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}\,(n\in\mathbb{N}\cup\{0\})\\b_{n}&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}\,(n\in\mathbb{N})\end{align*}$$ 이다.

증명: 영역 $R_{1}<|z|<R_{2}$에 포함되는 닫힌원환영역 $r_{1}\leq|z|\leq r_{2}$내부에 점 $z$와 경로 $C$가 있다고 하자. 또 두 원 $|z|=r_{1}$과 $|z|=r_{2}$를 각각 $C_{1},\,C_{2}$로 나타내자. 함수 $f$는 $C_{1}$과 $C_{2}$, 그 사이의 원환영역에서 해석적이다. 원 $\gamma$를 중심이 $z$이고 반지름이 충분히 작아 원환영역 $r_{1}\leq|z|\leq r_{2}$내부에 완전히 포함되도록 하자.

그러면 코시-구르사의 정리에 의해 다음 식이 성립한다. $$\int_{C_{2}}{\frac{f(s)}{s-z}ds}-\int_{C_{1}}{\frac{f(s)}{s-z}ds}-\int_{\gamma}{\frac{f(s)}{s-z}ds}=0$$ 이때 코시 적분공식에 의해 $\displaystyle\int_{\gamma}{\frac{f(s)}{s-z}ds}=2\pi if(z)$이므로 $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{2}}{\frac{f(s)}{s-z}ds}+\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{1}}{\frac{f(s)}{z-s}ds}$$ 이고 $$\begin{align*}\frac{1}{s-z}&=\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{1}{s^{n+1}}z^{n}}+z{N}\frac{1}{(s-z)s^{N}}\\ \frac{1}{z-s}&=\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{1}{s^{-n}}\cdot\frac{1}{z^{n+1}}}+\frac{1}{z^{N}}\frac{s^{N}}{z-s}\\&=\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{s^{-n+1}}\cdot\frac{1}{z^{n}}}+\frac{1}{z^{N}}\frac{s^{N}}{z-s}\end{align*}$$ 이므로 $$f(z)=\sum_{n=0}^{N-1}{a_{n}z^{n}}+\rho_{N}(z)+\sum_{n=1}^{N}{\frac{b_{n}}{z^{n}}}+\sigma_{N}(z)$$ 이고 여기서 $$\begin{align*}a_{n}&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{2}}{\frac{f(s)}{s^{n+1}}ds},\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{1}}{\frac{f(s)}{s^{-n+1}}ds}\\ \rho_{N}(z)&=\frac{z^{N}}{2\pi i}\int_{C_{2}}{\frac{f(s)}{(s-z)s^{N}}ds},\,\sigma_{N}(z)=\frac{1}{2\pi i z^{N}}\int_{C_{1}}{\frac{s^{N}f(s)}{z-s}ds}\end{align*}$$ 이다. $|z|=r$, $C_{1}$과 $C_{2}$에서의 $|f(z)|$의 최댓값을 $M$이라 하자. 그러면 $r_{1}<r<r_{2}$이고 $s\in C_{2}$에 대해 $|s-z|\geq r_{2}-r$, $s\in C_{1}$에 대해 $|z-s|\geq r-r_{1}$이므로 $$|\rho_{N}(z)|\leq\frac{Mr_{2}}{r_{2}-r}\left(\frac{r}{r_{2}}\right)^{N},\,|\sigma_{N}(z)|\leq\frac{Mr_{1}}{r-r_{1}}\left(\frac{r_{1}}{r}\right)^{N}$$ 이고 $\displaystyle0<\frac{r}{r_{2}}<1,\,0<\frac{r_{1}}{r}<1$이므로 $$\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\rho_{N}(z)}=0,\,\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\sigma_{N}(z)}=0$$ 이고 따라서 $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{b_{n}}{z^{n}}}\,\left(R_{1}<|z|<R_{2},\,a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{2}}{\frac{f(s)}{s^{n+1}}ds},\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_{1}}{\frac{f(s)}{s^{-n+1}}ds}\right)$$ 이다.

이제 임의의 $z_{0}$에 대해서 성립함을 보이자. $g(z)=f(z+z_{0})$이라 하자. 함수 $f(z)$가 원환 $R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}$에서 해석적이면, $g(z)=f(z+z_{0})$는 $R_{1}<|(z+z_{0})-z_{0}|<R_{2}$에서 해석적이다. 즉 $g(z)$는 $R_{1}<|z|<R_{2}$에서 해석적이고 $C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$라 하자. 그러면 모든 $t\in[a,\,b]$에 대하여 $R_{1}<|z(t)-z_{0}|<R_{2}$가 성립한다. $\Gamma:\,z=z(t)-z_{0}\,(a\leq t\leq b)$라 하자. 그러면 $\Gamma$는 단순닫힌경로이고 영역 $R_{1}<|z|<R_{2}$에 포함된다. 따라서 $g(z)$의 로랑급수는 $$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{b_{n}}{z^{n}}}\,\left(R_{1}<|z|<R_{2},\,a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}{\frac{g(z)dz}{z^{n+1}}ds},\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}{\frac{g(z)}{z^{-n+1}}dz}\right)$$ 이고 $$\int_{\Gamma}{\frac{g(z)}{z^{n+1}}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{f(z(t))z'(t)}{\{z(t)-z_{0}\}^{n+1}}dt}=\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}$$ 이므로 $g(z)$의 로랑급수에 $z-z_{0}$를 대입하면 다음 등식이 성립한다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}\,\left(R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2},\,a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz},\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}\right)$$

$$c_{n}=\begin{cases}b_{-n},&\,(n\leq-1)\\a_{n},&\,(n\geq0)\end{cases}$$ 이라 하면 $$c_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}=\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이므로 로랑급수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}}\,(R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2})$$

함수 $f$가 $z_{0}$에서 해석적이지 않고 $|z-z_{0}|<R_{2}$바깥의 다른 점에서 해석적일 때, $R_{1}$을 임의로 작게 선택할 수 있고 따라서 로랑급수를 $0<|z-z_{0}|<R_{2}$에서 나타낼 수 있다. 마찬가지로 $f$가 $|z-z_{0}|=R$바깥의 모든 점에서 해석적이면 로랑급수를 $|z-z_{0}|>R_{1}$에서 나타낼 수 있다.

$$e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{n}}{n!}}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\cdots$$ 이므로 $\displaystyle e^{\frac{1}{z}}$의 로랑급수는 다음과 같다. $$e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!z^{n}}}=1+\frac{1}{1!z}+\frac{1}{2!z^{2}}+\cdots$$ 이고 여기서 $\displaystyle\frac{1}{z}$의 계수는 $e^{\frac{1}{z}}$를 원점을 포함하는 임의의 단순닫힌경로 $C$에 대한 적분의 값에 $\displaystyle\frac{1}{2\pi i}$를 곱한 값이다. 즉 $$1=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{e^{\frac{1}{z}}dz}$$ 이므로 $$\int_{C}{e^{\frac{1}{z}}dz}=2\pi i$$ 이다.

함수 $\displaystyle f(z)=\frac{-1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}$는 다음의 영역에서 해석적이다. $$D_{1}:\,|z|<1,\,D_{2}:\,1<|z|<2,\,D_{3}:\,|z|>2$$ $D_{1}$에서 함수 $f(z)$의 로랑급수는 매클로린 급수이고 이때 $\displaystyle,\,\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-z},\,\frac{1}{z-2}=\frac{1}{2}\frac{1}{\displaystyle1-\left(\frac{z}{2}\right)}$이므로 $$f(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}{z^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{n}}{2^{n+1}}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(2^{-n-1}-1)z^{n}}\,(|z|<1)$$

$D_{2}$에서 $1<|z|<2$이므로 $\displaystyle\left|\frac{1}{z}\right|<1,\,\left|\frac{z}{2}\right|<1$이고 $$f(z)=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{\displaystyle1-\frac{1}{z}}+\frac{1}{2}\frac{1}{\displaystyle1-\left(\frac{z}{2}\right)}$$ 이므로 f(z)의 로랑급수는 다음과 같다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{n}}{2^{n+1}}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{z^{n+1}}}\,(1<|z|<2)$$ 이다. 

$D_{3}$에서 $|z|>2$이므로 $\displaystyle\left|\frac{1}{z}\right|<\left|\frac{2}{z}\right|<1$이고 $$f(z)=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{1}{z}\right)}-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{2}{z}\right)}$$ 이므로 $f(z)$의 로랑급수는 다음과 같다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{z^{n+1}}}-\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{n}}{z^{n+1}}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1-2^{n}}{z^{n+1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1-2^{n-1}}{z^{n}}}\,(|z|>2)$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill