11. 귀환회로(3: 실제 귀환회로)

11. 귀환회로(3: 실제 귀환회로)

*여기에서 \(\beta\)는 귀환양이고, BJT의 전류이득은 \(h_{fe}\)이다. 

voltage-series 귀환회로

위의 그림에서 맨 윗쪽 왼쪽 회로가 해석하고자 하는 회로이고, 맨 윗쪽 오른쪽 회로는 왼쪽 회로에서 귀환의 영향을 제거한 회로, 아래의 회로들은 각각 위의 회로에 대한 교류등가회로이다.

위의 회로에서 샘플링 신호 \(X_{o}\)는 저항 \(R_{o}\)의 양단전압인 \(V_{o}\)이고 귀환신호 \(X_{f}\)는 저항 \(R_{2}\)의 양단전압 \(\displaystyle V_{f}=-\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{o}\)이므로 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)이고 \(V_{o}=0\)일 때 \(R_{11}=R_{1}||R_{2}\), \(I_{i}=0\)일 때 \(R_{22}=R_{1}+R_{2}\)이다.(아래 그림 참고)

\(R_{p}=R_{D}||(R_{1}+R_{2})||R_{o}\)라고 하면 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=-\frac{g_{m}V_{gs}R_{p}}{V_{s}}=-g_{m}R_{p}\,(V_{gs}=V_{g}-V_{\text{source}}=V_{g}=V_{s})\)(\(V_{\text{source}}\neq V_{s}\))이므로 \(\displaystyle A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}=\frac{-g_{m}R_{p}}{1-\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(-g_{m}R_{p})}=-\frac{g_{m}R_{p}}{1+g_{m}\frac{R_{p}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\)이다.

위의 오른쪽 회로는 위의 왼쪽 회로에서 귀환의 영향을 제거한 회로이고 이 회로에서 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}},\,A_{o}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{A_{d}V_{d}}{V_{s}}=A_{d},\,A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}\)이다.

 위의 회로에서 샘플링 신호 \(X_{o}\)는 저항 \(R_{E}\)의 양단전압인 \(V_{o}\)이고 귀환신호 \(X_{f}\)는 저항 \(R_{E}\)의 양단전압 \(V_{f}\)이다. \(V_{o}=V_{f}\)이므로 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=1\)이고 \(V_{o}=0\)일 때 \(R_{11}=0\), \(I_{i}=0\)일 때 \(R_{22}=R_{E}\)이다.(아래 그림 참고)

\(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{h_{fe}I_{b}}{h_{ie}I_{b}}=\frac{h_{fe}R_{E}}{h_{ie}}=\frac{R_{E}}{r_{e}}\,(h_{ie}=h_{fe}r_{e})\)이므로 \(\displaystyle A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}=\frac{\frac{R_{E}}{r_{e}}}{1+\frac{R_{E}}{r_{e}}}=\frac{R_{E}}{r_{e}+R_{E}}\simeq1\)이다.

위의 왼쪽 증폭기 회로(오른쪽은 왼쪽 증폭기 회로의 교류등가회로)에서 \(R_{11}=R_{1}||R_{2}\), \(R_{22}=R_{1}+R_{2}\)이므로 (아래 그림 참고)

\(\displaystyle V_{i}=\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{11}}V_{s}=\frac{R_{L}||R_{22}}{r_{o}+R_{L}||R_{22}}\mu V_{i}=\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+(R_{1}||R_{2})}V_{s},\,V_{o}=\frac{R_{L}||(R_{1}+R_{2})}{r_{o}+R_{L}||(R_{1}+R_{2})}\mu V_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{V_{i}}{V_{s}}\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R_{L}||(R_{1}+R_{2})}{r_{o}+R_{L}||(R_{1}+R_{2})}\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+(R_{1}||R_{2})}\mu\)이고 \(R_{i}=R_{s}+R_{id}+R_{1}||R_{2},\,R_{o}=r_{o}||(R_{1}+R_{2})||R_{L}\)이다.

귀환양이 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\)이므로 \(\displaystyle A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}\), \(R_{if}=(1+\beta A_{v})R_{i}\), \(R_{in}=R_{if}-R_{s}\), \(\displaystyle R_{of}=\frac{R_{o}}{(1+\beta A_{v})}\), \(\displaystyle R_{out}=\left(\frac{1}{R_{of}}-\frac{1}{R_{L}}\right)^{-1}\)이다.

current-series 귀환회로

왼쪽의 회로가 해석하고자 하는 회로이고, 오른쪽 회로는 왼쪽 회로의 교류등가회로이다.

위의 회로에서 샘플링 신호 \(X_{o}\)는 \(I_{o}\)이고, 피드백 신호 \(X_{f}\)는 저항 \(R_{E}\)의 양단전압 \(V_{f}=I_{o}R_{E}\)이므로 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{I_{o}}=\frac{I_{o}R_{E}}{I_{o}}=R_{E}\)이고 \(I_{o}=0\)일 때 \(R_{11}=R_{E}\), \(I_{i}=0\)일 때 \(R_{22}=R_{E}\)이다.(아래 그림 참고)

\(\displaystyle G_{m}=\frac{I_{o}}{V_{s}}=\frac{h_{fe}I_{b}}{(h_{ie}+R_{E})I_{b}}=\frac{h_{fe}}{h_{ie}+R_{E}}\)이므로 둔감도는 \(\displaystyle D=1+\beta G_{m}=1+\frac{R_{E}h_{fe}}{h_{ie}+R_{E}}=\frac{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}{h_{ie}+R_{E}}\)이고 \(\displaystyle G_{mf}=\frac{G_{m}}{D}=\frac{h_{fe}}{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}\), \(R_{i}=R_{B}||(h_{ie}+R_{E})\), \(\displaystyle R_{if}=DR_{i}=\frac{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}{h_{ie}+R_{E}}(h_{ie}+R_{E})=h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}\), \(R_{o}=R_{C}\), \(\displaystyle R_{of}=DR_{o}=\frac{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}{h_{ie}+R_{E}}R_{C}\)이다.

저항 \(R_{F}\)가 \(I_{o}\)를 샘플링해서 \(V_{f}=I_{o}R_{F}\)로 귀환시켜서 current-series 구조이다.

(\(V_{s}\)가 증가하면 \(v_{-}\)가 증가해서 \(V_{G_{2}}\)가 감소하게 되고 따라서 \(V_{S_{2}G_{2}}=V_{S}-V_{G_{2}}\)가 증가하게 된다. 그러면 \(I_{o}\)가 증가해서 \(V_{f}\)가 증가하게 되고 \(v_{+}\)가 증가하므로 \(V_{G_{2}}\)가 증가하게 된다.) 

귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{I_{o}}=R_{F}\)이고 \(R_{11}=R_{22}=R_{F}\), \(\displaystyle V_{id}=\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{F}}V_{i}\), \(V_{gs_{2}}=A_{1}V_{id}\), \(\displaystyle I_{o}=-g_{m2}V_{gs2}\frac{r_{o2}}{r_{o2}+R_{L}+R_{F}}\)이므로 \(\displaystyle G_{m}=\frac{I_{o}}{V_{i}}=\frac{V_{id}}{V_{i}}\frac{V_{gs_{2}}}{V_{id}}\frac{I_{o}}{V_{gs_{2}}}=A_{1}g_{m2}\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{F}}\frac{r_{o2}}{r_{o2}+R_{L}+R_{F}}\simeq A_{1}g_{m2}\,(R_{id}\gg R_{s}+R_{F},\,r_{o2}\gg R_{L}+R_{F})\)이다.

\(R_{i}=R_{s}+R_{id}+R_{F}\)이고 \(R_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)으로 놓고 위 그림의 두 점 \(D_{2},\,D_{2} '\)사이에 전압원 \(V_{x}\)를 연결하고 이때 흐르는 전류를 \(I_{x}\)라고 한다. 그러면 \(V_{i}=0\)이므로 \(V_{id}=0\)이고 \(V_{gs_{2}}=-A_{1}V_{id}=0\)이므로 \(\displaystyle R_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=r_{o2}+R_{L}+R_{L}\)이다. 

\(\displaystyle G_{mf}=\frac{A}{1+\beta A}=\frac{A_{1}g_{m2}}{1+A_{1}g_{m2}R_{F}}\simeq\frac{1}{R_{F}}\,(A_{1}g_{m2}R_{F}\gg1)\)이고 \(\displaystyle R_{if}=(1+\beta G_{m})R_{i}=R_{s}+R_{id}+R_{F}+\frac{r_{o2}}{r_{o2}+R_{L}+R_{F}}A_{1}g_{m2}R_{F}R_{id}\simeq R_{s}+R_{id}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}R_{id}\,(r_{o2}\gg R_{L}+R_{F})\), \(\displaystyle R_{of}=(1+\beta G_{m})R_{o}=r_{o2}+R_{L}+R_{F}+\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{F}}A_{1}g_{m2}R_{F}r_{o2}\simeq r_{o2}+R_{L}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}r_{o2}\,(R_{id}\gg R_{s}+R_{F})\)이며

\(R_{in}=R_{if}-R_{s}=R_{id}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}R_{id}\simeq(1+A_{1}g_{m2}R_{F})R_{id}\,(R_{id}\gg R_{F})\), \(R_{out}=R_{of}-R_{L}=r_{o2}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}r_{o2}\simeq(1+A_{1}g_{m2}R_{F})r_{o2}\,(r_{o2}\gg R_{F})\)이다.

current-shunt 귀환회로

위의 회로에서 샘플링 신호 \(X_{o}\)는 \(I_{o}\)이고, 피드백 신호 \(X_{f}\)는 저항 \(R'\)으로 흐르는 전류 \(I_{f}\)이다. 

\(\displaystyle I_{f}=\frac{R_{E}}{R'+R_{E}}(-I_{o})=-\frac{R_{E}}{R'+R_{E}}\)이므로 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{I_{f}}{I_{o}}=-\frac{R_{E}}{R'+R_{E}}\)이고 \(I_{o}=0\)일 때 \(R_{11}=R'+R_{E}\), \(V_{i}=0\)일 때 \(R_{22}=R'||R_{E}\)이다.(아래 그림 참고)

다음의 회로는 앞의 회로에서 귀환 성분을 제거한 회로이고

이 회로의 교류등가회로는 다음과 같다.

\(\displaystyle I_{b1}=\frac{R_{s}||(R'+R_{E})}{R_{s}||(R'+R_{E})+h_{ie_{1}}}I_{s}\), \(\displaystyle I_{c_{1}}=h_{fe1}I_{b1}\), \(\displaystyle I_{b2}=\frac{R_{c1}}{R_{c1}+R_{i2}}(-I_{c1})=-\frac{R_{c1}}{R_{c1}+R_{i2}}I_{c1}\), \(R_{i2}=h_{ie}+(1+h_{fe})(R_{E}||R')\), \(I_{e2}=(1+h_{fe2})I_{b2}\)이므로 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{s}}=\frac{I_{C_{2}}}{I_{s}}=\frac{I_{b1}}{I_{s}}\frac{I_{c1}}{I_{b1}}\frac{I_{b2}}{I_{c1}}\frac{I_{c2}}{I_{b2}}=-\frac{R_{s}||(R'+R_{E})}{R_{s}||(R'+R_{E})+h_{ie1}}\frac{R_{c1}}{R_{c1}+R_{i2}}h_{fe1}(1+h_{fe2})\)이고 둔감도가 \(D=1+\beta A_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{if}=\frac{A_{i}}{D}\approx-\left(1+\frac{R'}{R_{E}}\right)=\frac{1}{\beta}\), \(\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{(-I_{c2})}{I_{s}}\frac{R_{c2}}{R_{s}}\simeq-\frac{I_{o}}{I_{s}}\frac{R_{c2}}{R_{s}}=A_{if}\frac{R_{c2}}{R_{s}}=\frac{R_{c2}}{\beta R_{s}}\)이다.

위의 그림에서 왼쪽 회로는 해석하고자 하는 회로이고 오른쪽 회로는 왼쪽 회로에서 귀환 성분을 제거한 회로의 교류등가회로이다.

\(\displaystyle I_{f}=-\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}I_{o}\)이므로 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{I_{f}}{I_{o}}=-\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\) \(R_{11}=R_{1}+R_{2}\), \(R_{22}=R_{1}||R_{2}\)이다.(아래 그림 참고)

\(R_{i}=R_{s}||R_{id}||(R_{1}+R_{2})\), \(V_{gs}=V_{g}-V_{s}=\mu V_{1}-(R_{1}||R_{2})I_{o}\,(-V_{i}=I_{s}R_{i})\)이므로 \(\displaystyle I_{o}=\frac{r_{o2}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}g_{m}V_{gs}=\frac{g_{m}r_{o2}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}\{-\mu I_{s}R_{i}-(R_{1}||R_{2})I_{o}\}\)이고 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{s}}=-\frac{\frac{g_{m}r_{o2}\mu R_{i}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}}{1+g_{m}r_{o}\frac{R_{1}||R_{2}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}}=-\mu\frac{R_{i}}{R_{1}||R_{2}}\frac{R_{1}||R_{2}||r_{o2}}{R_{1}||R_{2}||r_{o2}+g_{m}^{-1}}\), \(R_{o}=r_{o2}+(1+g_{m}r_{o2})(R_{1}||R_{2})\)이다.

\(\displaystyle R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta A},\,R_{of}=(1+\beta A)\)이고 \(\displaystyle R_{in}=\left(\frac{1}{R_{if}}-\frac{1}{R_{s}}\right)^{-1},\,R_{out}=R_{of}-R_{L}=R_{of}\,(R_{L}=0)\)이다.

voltage-shunt 귀환회로

샘플링 하고자 하는 신호 \(X_{o}\)는 출력전압 \(V_{o}\)이고, 피드백 신호 \(X_{f}\)는 저항 \(R'\)에 흐르는 전류 \(\displaystyle I_{f}\)이다.

\(V_{o}=-I_{f}R'\)이므로 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{I_{f}}{V_{o}}=-\frac{1}{R'}\), \(V_{o}=0\)일 때 \(R_{11}=R'\), \(V_{i}=0\)일 때 \(R_{22}=R'\)이다.(아래 그림 참고)

아래의 회로는 위 회로의 귀환 성분을 제거한 회로이고

\(R=R_{s}||R'\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{R}{R+h_{ie}}I_{s}\), \(V_{o}=-I_{c}(R_{c}||R')\), \(I_{c}=h_{fe}I_{b}\)이므로 \(\displaystyle R_{m}=\frac{V_{o}}{I_{s}}=-\frac{I_{c}(R_{c}||R')}{I_{s}}=-\frac{h_{fe}I_{b}(R_{c}||R')}{I_{s}}=-\frac{h_{fe}(R_{c}||R')R}{R+h_{ie}}\)이고 \(\displaystyle R_{mf}=\frac{R_{m}}{1+\beta R_{m}}\simeq-R'=-\frac{1}{\beta}\), \(\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{V_{o}}{I_{s}}\frac{1}{R_{s}}=R_{mf}\frac{1}{R_{s}}\simeq-\frac{R'}{R_{s}}=\frac{1}{\beta R_{s}}\)이다.

\(R_{i}=R_{s}||R'||h_{ie},\,R_{o}=r_{o}||R_{C}||R'\)이므로 \(\displaystyle R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta R_{m}},\,R_{of}=\frac{R_{o}}{1+\beta R_{m}}\)이다.

위 회로에서 \(\displaystyle V_{id}=(R_{s}||R_{F}||R_{id})(-I_{s})\), \(\displaystyle V_{o}=\frac{(R_{F}||R_{L})}{r_{o}+(R_{F}||R_{L})}\mu V_{id}\)이므로 \(\displaystyle R_{m}=\frac{V_{o}}{I_{s}}=\frac{V_{id}}{I_{s}}\frac{V_{o}}{V_{id}}=-\mu\frac{(R_{s}||R_{id}||R_{F})(R_{F}||R_{L})}{r_{o}+(R_{F}||R_{L})}\), \(R_{i}=R_{s}||R_{id}||R_{F},\,R_{o}=r_{o}||R_{F}||R_{L}\)이다.

\(V_{o}=-I_{f}R_{F}\)이므로 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{I_{o}}=-\frac{1}{R_{F}}\)이고(아래 그림 참고)

\(\displaystyle R_{mf}=\frac{R_{i}}{1+\beta R_{m}},\,R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta R_{m}}\), \(\displaystyle R_{of}=\frac{R_{o}}{1+\beta R_{m}}\), \(\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{V_{o}}{I_{s}}\frac{1}{R_{s}}=\frac{R_{m}}{R_{s}}\)이다.   

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

Microelectronic Circuits 7th edition, Sedra, Smith, Oxford

https://slideplayer.com/slide/7530535/

https://slideplayer.com/slide/4519316/

http://www.ee.hacettepe.edu.tr/~usezen/ele315/feedback-2p.pdf