11. 귀환회로(3: 실제 귀환회로)

11. 귀환회로(3: 실제 귀환회로)

*여기에서 $\beta$는 귀환양이고, BJT의 전류이득은 $h_{fe}$이다. 

voltage-series 귀환회로

위의 그림에서 맨 윗쪽 왼쪽 회로가 해석하고자 하는 회로이고, 맨 윗쪽 오른쪽 회로는 왼쪽 회로에서 귀환의 영향을 제거한 회로, 아래의 회로들은 각각 위의 회로에 대한 교류등가회로이다.

위의 회로에서 샘플링 신호 $X_{o}$는 저항 $R_{o}$의 양단전압인 $V_{o}$이고 귀환신호 $X_{f}$는 저항 $R_{2}$의 양단전압 $\displaystyle V_{f}=-\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{o}$이므로 귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$이고 $V_{o}=0$일 때 $R_{11}=R_{1}||R_{2}$, $I_{i}=0$일 때 $R_{22}=R_{1}+R_{2}$이다.(아래 그림 참고)

$R_{p}=R_{D}||(R_{1}+R_{2})||R_{o}$라고 하면 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=-\frac{g_{m}V_{gs}R_{p}}{V_{s}}=-g_{m}R_{p}\,(V_{gs}=V_{g}-V_{\text{source}}=V_{g}=V_{s})$($V_{\text{source}}\neq V_{s}$)이므로 $\displaystyle A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}=\frac{-g_{m}R_{p}}{1-\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(-g_{m}R_{p})}=-\frac{g_{m}R_{p}}{1+g_{m}\frac{R_{p}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$이다.

위의 오른쪽 회로는 위의 왼쪽 회로에서 귀환의 영향을 제거한 회로이고 이 회로에서 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}},\,A_{o}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{A_{d}V_{d}}{V_{s}}=A_{d},\,A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}$이다.

 위의 회로에서 샘플링 신호 $X_{o}$는 저항 $R_{E}$의 양단전압인 $V_{o}$이고 귀환신호 $X_{f}$는 저항 $R_{E}$의 양단전압 $V_{f}$이다. $V_{o}=V_{f}$이므로 귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=1$이고 $V_{o}=0$일 때 $R_{11}=0$, $I_{i}=0$일 때 $R_{22}=R_{E}$이다.(아래 그림 참고)

$\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{h_{fe}I_{b}}{h_{ie}I_{b}}=\frac{h_{fe}R_{E}}{h_{ie}}=\frac{R_{E}}{r_{e}}\,(h_{ie}=h_{fe}r_{e})$이므로 $\displaystyle A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}=\frac{\frac{R_{E}}{r_{e}}}{1+\frac{R_{E}}{r_{e}}}=\frac{R_{E}}{r_{e}+R_{E}}\simeq1$이다.

위의 왼쪽 증폭기 회로(오른쪽은 왼쪽 증폭기 회로의 교류등가회로)에서 $R_{11}=R_{1}||R_{2}$, $R_{22}=R_{1}+R_{2}$이므로 (아래 그림 참고)

$\displaystyle V_{i}=\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{11}}V_{s}=\frac{R_{L}||R_{22}}{r_{o}+R_{L}||R_{22}}\mu V_{i}=\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+(R_{1}||R_{2})}V_{s},\,V_{o}=\frac{R_{L}||(R_{1}+R_{2})}{r_{o}+R_{L}||(R_{1}+R_{2})}\mu V_{i}$이므로 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{V_{i}}{V_{s}}\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R_{L}||(R_{1}+R_{2})}{r_{o}+R_{L}||(R_{1}+R_{2})}\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+(R_{1}||R_{2})}\mu$이고 $R_{i}=R_{s}+R_{id}+R_{1}||R_{2},\,R_{o}=r_{o}||(R_{1}+R_{2})||R_{L}$이다.

귀환양이 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$이므로 $\displaystyle A_{vf}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}$, $R_{if}=(1+\beta A_{v})R_{i}$, $R_{in}=R_{if}-R_{s}$, $\displaystyle R_{of}=\frac{R_{o}}{(1+\beta A_{v})}$, $\displaystyle R_{out}=\left(\frac{1}{R_{of}}-\frac{1}{R_{L}}\right)^{-1}$이다.

current-series 귀환회로

왼쪽의 회로가 해석하고자 하는 회로이고, 오른쪽 회로는 왼쪽 회로의 교류등가회로이다.

위의 회로에서 샘플링 신호 $X_{o}$는 $I_{o}$이고, 피드백 신호 $X_{f}$는 저항 $R_{E}$의 양단전압 $V_{f}=I_{o}R_{E}$이므로 귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{I_{o}}=\frac{I_{o}R_{E}}{I_{o}}=R_{E}$이고 $I_{o}=0$일 때 $R_{11}=R_{E}$, $I_{i}=0$일 때 $R_{22}=R_{E}$이다.(아래 그림 참고)

$\displaystyle G_{m}=\frac{I_{o}}{V_{s}}=\frac{h_{fe}I_{b}}{(h_{ie}+R_{E})I_{b}}=\frac{h_{fe}}{h_{ie}+R_{E}}$이므로 둔감도는 $\displaystyle D=1+\beta G_{m}=1+\frac{R_{E}h_{fe}}{h_{ie}+R_{E}}=\frac{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}{h_{ie}+R_{E}}$이고 $\displaystyle G_{mf}=\frac{G_{m}}{D}=\frac{h_{fe}}{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}$, $R_{i}=R_{B}||(h_{ie}+R_{E})$, $\displaystyle R_{if}=DR_{i}=\frac{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}{h_{ie}+R_{E}}(h_{ie}+R_{E})=h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}$, $R_{o}=R_{C}$, $\displaystyle R_{of}=DR_{o}=\frac{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{E}}{h_{ie}+R_{E}}R_{C}$이다.

저항 $R_{F}$가 $I_{o}$를 샘플링해서 $V_{f}=I_{o}R_{F}$로 귀환시켜서 current-series 구조이다.

($V_{s}$가 증가하면 $v_{-}$가 증가해서 $V_{G_{2}}$가 감소하게 되고 따라서 $V_{S_{2}G_{2}}=V_{S}-V_{G_{2}}$가 증가하게 된다. 그러면 $I_{o}$가 증가해서 $V_{f}$가 증가하게 되고 $v_{+}$가 증가하므로 $V_{G_{2}}$가 증가하게 된다.) 

귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{I_{o}}=R_{F}$이고 $R_{11}=R_{22}=R_{F}$, $\displaystyle V_{id}=\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{F}}V_{i}$, $V_{gs_{2}}=A_{1}V_{id}$, $\displaystyle I_{o}=-g_{m2}V_{gs2}\frac{r_{o2}}{r_{o2}+R_{L}+R_{F}}$이므로 $\displaystyle G_{m}=\frac{I_{o}}{V_{i}}=\frac{V_{id}}{V_{i}}\frac{V_{gs_{2}}}{V_{id}}\frac{I_{o}}{V_{gs_{2}}}=A_{1}g_{m2}\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{F}}\frac{r_{o2}}{r_{o2}+R_{L}+R_{F}}\simeq A_{1}g_{m2}\,(R_{id}\gg R_{s}+R_{F},\,r_{o2}\gg R_{L}+R_{F})$이다.

$R_{i}=R_{s}+R_{id}+R_{F}$이고 $R_{o}$를 구하기 위해 $V_{i}=0$으로 놓고 위 그림의 두 점 $D_{2},\,D_{2} '$사이에 전압원 $V_{x}$를 연결하고 이때 흐르는 전류를 $I_{x}$라고 한다. 그러면 $V_{i}=0$이므로 $V_{id}=0$이고 $V_{gs_{2}}=-A_{1}V_{id}=0$이므로 $\displaystyle R_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=r_{o2}+R_{L}+R_{L}$이다. 

$\displaystyle G_{mf}=\frac{A}{1+\beta A}=\frac{A_{1}g_{m2}}{1+A_{1}g_{m2}R_{F}}\simeq\frac{1}{R_{F}}\,(A_{1}g_{m2}R_{F}\gg1)$이고 $\displaystyle R_{if}=(1+\beta G_{m})R_{i}=R_{s}+R_{id}+R_{F}+\frac{r_{o2}}{r_{o2}+R_{L}+R_{F}}A_{1}g_{m2}R_{F}R_{id}\simeq R_{s}+R_{id}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}R_{id}\,(r_{o2}\gg R_{L}+R_{F})$, $\displaystyle R_{of}=(1+\beta G_{m})R_{o}=r_{o2}+R_{L}+R_{F}+\frac{R_{id}}{R_{s}+R_{id}+R_{F}}A_{1}g_{m2}R_{F}r_{o2}\simeq r_{o2}+R_{L}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}r_{o2}\,(R_{id}\gg R_{s}+R_{F})$이며

$R_{in}=R_{if}-R_{s}=R_{id}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}R_{id}\simeq(1+A_{1}g_{m2}R_{F})R_{id}\,(R_{id}\gg R_{F})$, $R_{out}=R_{of}-R_{L}=r_{o2}+R_{F}+A_{1}g_{m2}R_{F}r_{o2}\simeq(1+A_{1}g_{m2}R_{F})r_{o2}\,(r_{o2}\gg R_{F})$이다.

current-shunt 귀환회로

위의 회로에서 샘플링 신호 $X_{o}$는 $I_{o}$이고, 피드백 신호 $X_{f}$는 저항 $R'$으로 흐르는 전류 $I_{f}$이다. 

$\displaystyle I_{f}=\frac{R_{E}}{R'+R_{E}}(-I_{o})=-\frac{R_{E}}{R'+R_{E}}$이므로 귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{I_{f}}{I_{o}}=-\frac{R_{E}}{R'+R_{E}}$이고 $I_{o}=0$일 때 $R_{11}=R'+R_{E}$, $V_{i}=0$일 때 $R_{22}=R'||R_{E}$이다.(아래 그림 참고)

다음의 회로는 앞의 회로에서 귀환 성분을 제거한 회로이고

이 회로의 교류등가회로는 다음과 같다.

$\displaystyle I_{b1}=\frac{R_{s}||(R'+R_{E})}{R_{s}||(R'+R_{E})+h_{ie_{1}}}I_{s}$, $\displaystyle I_{c_{1}}=h_{fe1}I_{b1}$, $\displaystyle I_{b2}=\frac{R_{c1}}{R_{c1}+R_{i2}}(-I_{c1})=-\frac{R_{c1}}{R_{c1}+R_{i2}}I_{c1}$, $R_{i2}=h_{ie}+(1+h_{fe})(R_{E}||R')$, $I_{e2}=(1+h_{fe2})I_{b2}$이므로 $\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{s}}=\frac{I_{C_{2}}}{I_{s}}=\frac{I_{b1}}{I_{s}}\frac{I_{c1}}{I_{b1}}\frac{I_{b2}}{I_{c1}}\frac{I_{c2}}{I_{b2}}=-\frac{R_{s}||(R'+R_{E})}{R_{s}||(R'+R_{E})+h_{ie1}}\frac{R_{c1}}{R_{c1}+R_{i2}}h_{fe1}(1+h_{fe2})$이고 둔감도가 $D=1+\beta A_{i}$이므로 $\displaystyle A_{if}=\frac{A_{i}}{D}\approx-\left(1+\frac{R'}{R_{E}}\right)=\frac{1}{\beta}$, $\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{(-I_{c2})}{I_{s}}\frac{R_{c2}}{R_{s}}\simeq-\frac{I_{o}}{I_{s}}\frac{R_{c2}}{R_{s}}=A_{if}\frac{R_{c2}}{R_{s}}=\frac{R_{c2}}{\beta R_{s}}$이다.

위의 그림에서 왼쪽 회로는 해석하고자 하는 회로이고 오른쪽 회로는 왼쪽 회로에서 귀환 성분을 제거한 회로의 교류등가회로이다.

$\displaystyle I_{f}=-\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}I_{o}$이므로 귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{I_{f}}{I_{o}}=-\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$ $R_{11}=R_{1}+R_{2}$, $R_{22}=R_{1}||R_{2}$이다.(아래 그림 참고)

$R_{i}=R_{s}||R_{id}||(R_{1}+R_{2})$, $V_{gs}=V_{g}-V_{s}=\mu V_{1}-(R_{1}||R_{2})I_{o}\,(-V_{i}=I_{s}R_{i})$이므로 $\displaystyle I_{o}=\frac{r_{o2}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}g_{m}V_{gs}=\frac{g_{m}r_{o2}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}\{-\mu I_{s}R_{i}-(R_{1}||R_{2})I_{o}\}$이고 $\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{s}}=-\frac{\frac{g_{m}r_{o2}\mu R_{i}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}}{1+g_{m}r_{o}\frac{R_{1}||R_{2}}{(R_{1}||R_{2})+r_{o2}}}=-\mu\frac{R_{i}}{R_{1}||R_{2}}\frac{R_{1}||R_{2}||r_{o2}}{R_{1}||R_{2}||r_{o2}+g_{m}^{-1}}$, $R_{o}=r_{o2}+(1+g_{m}r_{o2})(R_{1}||R_{2})$이다.

$\displaystyle R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta A},\,R_{of}=(1+\beta A)$이고 $\displaystyle R_{in}=\left(\frac{1}{R_{if}}-\frac{1}{R_{s}}\right)^{-1},\,R_{out}=R_{of}-R_{L}=R_{of}\,(R_{L}=0)$이다.

voltage-shunt 귀환회로

샘플링 하고자 하는 신호 $X_{o}$는 출력전압 $V_{o}$이고, 피드백 신호 $X_{f}$는 저항 $R'$에 흐르는 전류 $\displaystyle I_{f}$이다.

$V_{o}=-I_{f}R'$이므로 귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{I_{f}}{V_{o}}=-\frac{1}{R'}$, $V_{o}=0$일 때 $R_{11}=R'$, $V_{i}=0$일 때 $R_{22}=R'$이다.(아래 그림 참고)

아래의 회로는 위 회로의 귀환 성분을 제거한 회로이고

$R=R_{s}||R'$, $\displaystyle I_{b}=\frac{R}{R+h_{ie}}I_{s}$, $V_{o}=-I_{c}(R_{c}||R')$, $I_{c}=h_{fe}I_{b}$이므로 $\displaystyle R_{m}=\frac{V_{o}}{I_{s}}=-\frac{I_{c}(R_{c}||R')}{I_{s}}=-\frac{h_{fe}I_{b}(R_{c}||R')}{I_{s}}=-\frac{h_{fe}(R_{c}||R')R}{R+h_{ie}}$이고 $\displaystyle R_{mf}=\frac{R_{m}}{1+\beta R_{m}}\simeq-R'=-\frac{1}{\beta}$, $\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{V_{o}}{I_{s}}\frac{1}{R_{s}}=R_{mf}\frac{1}{R_{s}}\simeq-\frac{R'}{R_{s}}=\frac{1}{\beta R_{s}}$이다.

$R_{i}=R_{s}||R'||h_{ie},\,R_{o}=r_{o}||R_{C}||R'$이므로 $\displaystyle R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta R_{m}},\,R_{of}=\frac{R_{o}}{1+\beta R_{m}}$이다.

위 회로에서 $\displaystyle V_{id}=(R_{s}||R_{F}||R_{id})(-I_{s})$, $\displaystyle V_{o}=\frac{(R_{F}||R_{L})}{r_{o}+(R_{F}||R_{L})}\mu V_{id}$이므로 $\displaystyle R_{m}=\frac{V_{o}}{I_{s}}=\frac{V_{id}}{I_{s}}\frac{V_{o}}{V_{id}}=-\mu\frac{(R_{s}||R_{id}||R_{F})(R_{F}||R_{L})}{r_{o}+(R_{F}||R_{L})}$, $R_{i}=R_{s}||R_{id}||R_{F},\,R_{o}=r_{o}||R_{F}||R_{L}$이다.

$V_{o}=-I_{f}R_{F}$이므로 귀환양은 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{I_{o}}=-\frac{1}{R_{F}}$이고(아래 그림 참고)

$\displaystyle R_{mf}=\frac{R_{i}}{1+\beta R_{m}},\,R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta R_{m}}$, $\displaystyle R_{of}=\frac{R_{o}}{1+\beta R_{m}}$, $\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{V_{o}}{I_{s}}\frac{1}{R_{s}}=\frac{R_{m}}{R_{s}}$이다.   

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

Microelectronic Circuits 7th edition, Sedra, Smith, Oxford

https://slideplayer.com/slide/7530535/

https://slideplayer.com/slide/4519316/

http://www.ee.hacettepe.edu.tr/~usezen/ele315/feedback-2p.pdf