9. 귀환회로(1: 증폭기의 종류와 귀환 증폭기의 구조)

9. 귀환회로(1: 증폭기의 종류와 귀환 증폭기의 구조)

출력의 일부분이 입력에 영향을 미치는 것을 귀환(feedback)이라고 하고 귀환은 정귀환과 부귀환으로 나누어진다.

부귀환(negative feedback)은 입력과 역상인 출력이 입력으로 귀환(출력신호의 일부를 입력신호에서 뺌, 입력감소)되며 증폭기에 사용된다. 정귀환(positive feedback)은 입력과 동상인 출력이 입력으로 귀환(출력신호의 일부를 입력신호에서 더함, 입력증가)되며 발진기에 사용된다. 부귀환은 다음의 장단점을 가지고 있다.

장점

1. 이득 민감도: 부귀환으로 인해 증폭기의 이득 값이 온도 변화로 인해 발생하는 회로 소자 값의 변동에 덜 민감하게 된다. 

2. 비선형 왜곡의 갑소: 트랜지스터의 비선형 특성으로 인해 출력신호에 왜곡이 나타날 수 있으나 부귀환으로 출력이 입력에 비례하게 할 수 있다.

3. 잡음 민감도: 신호 대 잡음비를 증가시켜서 회로 구성 소자 및 외부에 의한 불필요한 전기신호의 영향을 감소시킨다.

4. 임피던스 크기 제어: 입력, 출력 임피던스는 적당한 귀환 구조를 이용하여 증가 또는 감소시킬 수 있다.

5. 대역폭 연장: 부귀환 회로의 대역폭은 귀환이 없는 기본적인 증폭기의 대역폭 보다 크다. 이때

이득과 대역폭의 곱은 일정한 값을 갖는다. 즉 \(A_{o}B=A_{of}B_{f}\)이다.(위의 그림 참고)

단점

1. 회로의 이득: 부귀환을 가진 증폭기의 전체 이득은 귀환이 없는 증폭기의 이득보다 작다.

2. 안정성: 피드백 회로는 고주파에서 불안정(발진)할 가능성이 있다. 

다음은 증폭기의 종류들이다.

전압증폭기(voltage to voltage converter)(Thevenin)

위의 전압증폭기에서 \(R_{s}\)는 전원 \(v_{s}\) 내부의 저항이고 \(R_{i}\)는 증폭기의 입력저항, \(R_{o}\)는 증폭기의 출력저항, \(R_{L}\)은 부하저항이다.

\(R_{i}\gg R_{s}\)이면 \(v_{i}\simeq v_{s}\)이고, \(R_{o}\ll R_{L}\)이면, \(v_{o}\simeq A_{v}v_{i}\simeq A_{v}v_{s}\)이므로 \(v_{o}\)는 \(v_{s}\)에 비례하고 \(\displaystyle A_{v}=\frac{v_{o}}{v_{i}}|_{R_{L}=\infty}\)(개방회로 전압이득, open circuit voltage gain)이다. 이상적인 전압증폭기는 \(R_{i}=\infty,\,R_{o}=0\)이다.

전류증폭기(current to current converter)(Norton)

위의 전류증폭기에서 \(R_{i}\ll R_{s}\)이면 \(i_{i}\simeq i_{s}\)이고 \(R_{o}\gg R_{L}\)이면 \(i_{o}\simeq A_{i}i_{i}\simeq A_{i}i_{s}\)이므로 \(i_{o}\)는 \(i_{s}\)에 비례하고 \(\displaystyle A_{i}=\frac{i_{o}}{i_{i}}|_{R_{L}=0}\)(단락회로 전류이득, short circuit current gain)이다. 이상적인 전류증폭기는 \(R_{i}=0,\,R_{o}=\infty\)이다.

트랜스컨덕턴스(transconductance) 증폭기(voltage to current converter)

\(R_{i}\gg R_{s}\)이면 \(v_{i}\simeq v_{s}\)이고 \(R_{o}\gg R_{L}\)이면 \(i_{o}\simeq G_{m}v_{i}\simeq G_{m}v_{s}\)이므로 \(i_{o}\)는 \(v_{s}\)에 비례하고 \(\displaystyle G_{m}=\frac{i_{o}}{v_{i}}|_{R_{L}=0}\)(단락회로 전달 컨덕턴스, short circuit transfer conductance)이다. 이상적인 트랜스컨덕턴스 증폭기는 \(R_{i}=\infty,\,R_{o}=\infty\)이다.

트랜스임피던스(transimpedance) 증폭기(current to voltage converter)

\(R_{i}\ll R_{s}\)이면 \(i_{i}\simeq i_{s}\)이고 \(R_{o}\ll R_{L}\)이면 \(v_{o}\simeq R_{m}i_{i}\simeq R_{m}i_{s}\)이므로 \(v_{o}\)는 \(i_{s}\)에 비례하고 \(\displaystyle R_{m}=\frac{v_{o}}{i_{i}}|_{R_{L}=\infty}\)(개방회로 전달 임피던스, open circuit transfer impedance)이다. 이상적인 트랜스임피던스 증폭기는 \(R_{i}=0,\,R_{o}=0\)이다.

다음은 귀환 증폭기의 기본 구조이다.

입력은 \(V_{s}\) 또는 \(I_{s}\)이고, 출력은 \(V_{o}\) 또는 \(I_{o}\)이다.

다음의 회로는 출력신호의 일부분을 얻는 샘플링(sampling) 회로이다.

(왼쪽: voltage sampler(shunt(병렬)연결), 오른쪽: current sampler(series(직렬)연결))

귀환회로는 저항 R, 인덕터 L, 커패시터 C를 포함하는 수동회로이고 샘플링된 출력을 비교회로에 알맞게 신호를 변환한다.

다음의 회로는 비교(mixer)회로이다.

(왼쪽: voltage comparison(series(직렬)연결), 오른쪽: current comparison(shunt(병렬)연결))

기본증폭기의 이득은 \(A\)로 나타내고\(\displaystyle\left(A_{v}=\frac{V}{V_{i}},\,A_{i}=\frac{I}{I_{i}},\,G_{m}=\frac{I}{V_{i}},\,R_{m}=\frac{V}{I_{i}}\right)\)

귀환증폭기의 이득은 \(A_{f}\)로 나타낸다\(\displaystyle\left(A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}},\,A_{if}=\frac{I_{o}}{I_{s}},\,G_{mf}=\frac{I_{o}}{V_{s}},\,R_{mf}=\frac{V_{o}}{I_{s}}\right)\).

다음은 귀환회로의 연결을 나타낸 것이다.

위 그림에서 왼쪽은 voltage-series(전압 직렬) feedback(출력 우선)(입력이 우선일 때는 series-shunt feedback)이고, 오른쪽은 voltage-shunt(전압 병렬) feedback(출력 우선)(입력이 우선일 때는 shunt-shunt feedback)이다.

위 그림에서 왼쪽은 current-series(전류 직렬) feedback(출력 우선)(입력이 우선일 때는 series-series feedback)이고, 오른쪽은 current-shunt(전류 병렬) feedback(출력 우선)(입력이 우선일 때는 shunt-series feedback)이다.

전압(voltage) 또는 전류(current)는 샘플링 회로에 의해 결정되고 직렬(series) 또는 병렬(shunt)은 비교회로에 의해 결정된다. 참고로 직렬연결을 하면 \(R_{i}\)가 증가하고, 병렬연결을 하면 \(R_{i}\)가 감소한다. 전압 피드백일 때는 \(R_{o}\)가 감소하고, 전류 피드백일 때는 \(R_{o}\)가 증가한다.

전압증폭기는 높은 \(R_{i}\), 낮은 \(R_{o}\)가 요구되기 때문에 voltage-series feedback 형태를 사용한다.

다음은 귀환증폭기를 나타낸 것이다.

\(\displaystyle A=\frac{X_{o}}{X_{i}}\)는 기본 증폭기의 이득, \(\beta\)는 귀환양(feedback factor), \(\beta A\)는 루프 이득(loop gain)이다.

\(X_{i}=X_{s}-X_{f}\), \(X_{f}=\beta X_{o}\), \(X_{o}=AX_{i}\)이므로 \(X_{s}=X_{i}+X_{f}=X_{i}+\beta X_{o}=X_{i}+\beta AX_{i}=(1+\beta A)X_{i}\)이고 \(\displaystyle A_{f}=\frac{X_{o}}{X_{s}}=\frac{AX_{i}}{(1+\beta A)X_{i}}=\frac{A}{1+\beta A}\)이다.

이때 \(D=1+\beta A\)를 둔감도(desensitivity)라고 하고 부귀환의 경우 \(\beta A>0\)이므로 \(|A_{f}|<|A|\), 정귀환의 경우 \(\beta A<0\)이므로 \(|A_{f}|>|A|\)이다.

식 \(\displaystyle A_{f}=\frac{A}{1+\beta A}\)의 기본가정은 다음과 같다.

(1) 입력신호 \(X_{s}\)는 기본증폭기를 통해서만 출력에 전달된다.(귀환회로를 통해서 출력에 전달되지 않는다)

(2) 귀환신호는 귀환회로를 통해서만 입력에 전달된다.(기본증폭기를 통하여 귀환신호가 입력에 전달되지 않는다)

(3) 귀환양 \(\beta\)는 \(R_{s},\,R_{L}\)의 영향을 받지 않는다.

둔감도 \(D=1+\beta A\)는 소자의 특성, 온도의 변화에 영향을 받지 않는 정도를 나타낸 것이다. $$\frac{dA_{f}}{dA}=\frac{d}{dA}\left(\frac{A}{1+\beta A}\right)=\frac{1}{(1+\beta A)^{2}}$$또는 \(\displaystyle dA_{f}=\frac{1}{(1+\beta A)^{2}}dA\)이고$$\frac{dA_{f}}{A_{f}}=\frac{\frac{1}{(1+\beta A)^{2}}}{\frac{A}{1+\beta A}}dA=\frac{1}{1+\beta A}\frac{dA}{A}$$이므로 \(\displaystyle\frac{dA_{f}}{A_{f}}<\frac{dA}{A}\)(부귀환)이고 이것은 폐루브 이득 변화 \(\displaystyle\frac{dA_{f}}{A_{f}}\)가 개방루프 이득 변화 \(\displaystyle\frac{dA}{A}\)에 매우 둔감하다는 것을 나타낸다.

고역 차단주파수가 \(\omega_{H}\), 저주파 이득이 \(A_{o}\)인 저역 통과 필터를 \(\displaystyle A=\frac{A_{o}}{1+\frac{\mathbf{s}}{\omega_{H}}}\)라고 하면 \(\displaystyle A_{f}=\frac{A}{1+\beta A}=\frac{\frac{A_{o}}{1+\beta A_{o}}}{1+\frac{\mathbf{s}}{(1+\beta A_{o})\omega_{H}}}\)이므로 폐루프 저주파 이득은 \((1+\beta A_{o})\)배 만큼 감소한다. 이때 폐루프 차단주파수는 \((1+\beta A_{o})\)배 증가해서 \(\omega_{fH}=(1+\beta A_{o})\omega_{H}\)가 되어 대역폭이 증가하고 이득과 대역폭의 곱은 일정하다.(\(\displaystyle A_{o}\omega_{H}=A_{fo}\omega_{fH}=\frac{A_{o}}{1+\beta A_{o}}(1+\beta A_{o})\omega_{H}\)(아래 그림 참고)

어떤 시스템에서 원하지 않는 임의의신호 또는 관계 없는 외부 신호를 잡음(noise)이라고 하고 입력신호 대 잡음의 비(input signal-to-noise ratio)를 \(\displaystyle(\text{SNR})_{i}=\frac{S_{i}}{N_{i}}=\frac{v_{i}}{v_{n}}\)(\(S_{i}=v_{i}\)는 입력신호, \(N_{i}=v_{n}\)은 잡음신호)로, 출력신호 대 잡음의 비(output signal-to-noise ratio)를 \(\displaystyle(\text{SNR})_{o}=\frac{S_{o}}{N_{o}}=\frac{A_{T_{i}}S_{i}}{A_{T_{n}}S_{n}}\)(\(A_{T_{i}}\)는 원래 신호를 증폭시키는 요소이고, \(A_{T_{n}}\)은 잡음 신호를 증폭시키는 요소이다)로 정의한다.

아래의 증폭기에서

왼쪽 그림에 대해 \(v_{oA}=A_{1}A_{2}v_{i}+A_{2}v_{n}=100v_{i}+10v_{n}\)이므로 출력신호 대 잡음의 비는 \(\displaystyle\frac{S_{o}}{N_{o}}=\frac{100v_{i}}{10v_{n}}=10\frac{S_{i}}{N_{i}}\)이고, 

오른쪽 그림에 대해 \(v_{oC}=A_{1}A_{2}v_{\epsilon}+A_{2}v_{n}\), \(v_{fb}=\beta v_{oC}\), \(v_{\epsilon}=v_{i}-v_{fb}=v_{i}-\beta v_{oC}\)이므로 \(\displaystyle v_{oC}=\frac{A_{1}A_{2}}{1+\beta A_{1}A_{2}}v_{i}+\frac{A_{2}}{1+\beta A_{1}A_{2}}v_{n}\approx100v_{i}+0.1v_{n}\)이고 출력신호 대 잡음의 비는 \(\displaystyle\frac{S_{o}}{N_{o}}=\frac{100v_{i}}{0.1v_{n}}=1000\frac{S_{i}}{N_{i}}\)이다.

입력신호의 크기에 따른 이득의 변화가 비선형 왜곡을 일으킨다. 부귀환을 이용하여 이득변화를 감소시켜서 거의 선형 이득을 볼 수 있다.

\(A_{1}=1000,\,A_{2}=500\)일 때 부귀환 \(\beta=0.099\)을 이용하면 \(\displaystyle A_{f1}=\frac{A_{1}}{1+\beta A_{1}}=\frac{1000}{1+99}=100\), \(\displaystyle A_{f2}=\frac{A_{2}}{1+\beta A_{2}}=\frac{500}{1+49.5}=9.90\)이다.(아래 그림 참고)

귀환 증폭기의 안정도를 다음의 나이퀴스트(Nyquist) 방법을 이용하여 판정할 수 있다.

나이퀴스트 선도는 루프이득 \(\beta A\)으로 이득-주파수와 위상-주파수를 동시에 결합한 그림(주파수에 따른 루프이득의 궤적을 복소평면에 나타낸 것)이고 점 \(-1\)을 포함하면 증폭기는 불안정하고, 포함하지 않으면 안정하다(점 \(-1\)을 포함하면 \(180^{\circ}\)위상에서 루프이득이 1보다 더 크다).

위의 두번째 그림은 나이퀴스트 선도이고 세번째 그림은 \(-1\)을 포함하지 않으므로 안정하고, 네번째 그림은 \(-1\)을 포함하므로 불안정하다.

이득 여유(gain margin)를 위상각 \(180^{\circ}\)인 주파수에서 루프이득 \(|\beta A|\)의 데시벨의 음의 값으로 정의한다. 즉 이득 여유는 \(\text{GM}=-20\log_{10}|\beta A(j\omega_{180^{\circ}})|\)이다. \(\text{GM}>0\)이면 \(|\beta A|<1\)이므로 안정하다.

위상 여유(phase margin)를 \(180^{\circ}\)에서 루프이득이 1(\(0\text{dB}\))일 때의 각 크기를 뺀 값으로 정의한다. 즉 \(\phi_{M}=\phi(\omega_{G})-(-180^{\circ})=\phi(\omega_{G})+180^{\circ}\)(\(\omega_{G}\)는 루프 이득이 1인 주파수이고 반지름이 1인 원과 나이퀴스트 선도가 만다는 점의 주파수이며, 이 주파수에서의 위상은 \(\phi(\omega_{G})\))이고 \(\phi_{M}>0\)이면 \(\phi(\omega_{G})>-180^{\circ}\)이므로 안정하다.

의도적으로 고주파에서 이득을 감소시켜 위상이 \(180^{\circ}\)인 주파수에서의 이득은 \(0\text{dB}\)보다 작게 하여 발진을 방지하려는 것을 주파수 보상(frequency compensation)이라고 한다.   

   

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

Microelectronics Circuit Analysis and Design 4th edition, Neamen, McGraw-Hill

Microelectronics Circuits 7th edition, Sedra, Smith, Oxford

https://slideplayer.com/slide/1496926/

http://www.ee.hacettepe.edu.tr/~usezen/ele315/feedback-2p.pdf

https://docplayer.net/74600960-Lecture-notes-institute-of-aeronautical-engineering.html