10. 귀환회로(2: 귀환 증폭기 회로의 해석)

10. 귀환회로(2: 귀환 증폭기 회로의 해석)

귀환회로의 입력, 출력저항

이상적인 귀환회로는 어떠한 부하효과를 일으키지 않는다고 가정한다. 즉 출력단에서 전압을 샘플링(병렬, shunt)하면 귀환회로는 개방회로로 동작하고 전류를 샘플링(직렬, series)하면 단락회로로 동작한다.

입력단으로 전압이 귀환(직렬, series)되면 귀환회로는 이상적인 전압원으로 동작하고 전류가 귀환(병렬, shunt)되면 이상적인 전류원으로 동작한다.

(1) voltage-series feedback 회로

이상적인 회로구조

전압원 $V_{s}$의 내부저항을 $R_{s}=\infty$, 부하저항을 $R_{L}=\infty$라고 가정하고 병렬로 $V_{o}$를 샘플링하면 $V_{s}$에 직렬로 $V_{f}=\beta V_{o}$를 제공하고 voltage-series(series-shunt) 구조가 된다.

$V_{o}=AV_{i}$, $V_{i}=V_{s}-V_{f},\,V_{f}=\beta V_{o}$이므로 $\displaystyle A=\frac{V_{o}}{V_{i}}=A_{v}$이고 $V_{s}=V_{i}+V_{f}=V_{i}+\beta V_{o}=V_{i}+\beta AV_{i}=(1+\beta A)V_{i}$이므로 $\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{AV_{i}}{(1+\beta A)V_{i}}=\frac{A}{1+\beta A}$이다.

$V_{s}=(1+\beta A)V_{i}=(1+\beta A)R_{i}I_{i}$이므로 입력저항은 $\displaystyle R_{if}=\frac{V_{s}}{I_{i}}=\frac{(1+\beta A)I_{i}R_{i}}{I_{i}}=(1+\beta A)R_{i}=DR_{i}$($D$는 둔감도)이다. 만약 귀환신호가 직렬(series)로 연결되어 있으면 입력저항 $R_{if}$는 증가한다.

출력저항을 구하기 위해 다음 그림처럼 $V_{s}=0$으로 설정하고 $V_{o}$ 위치에 전압원 $V_{x}$를 연결하고 흐르는 전류를 $I_{x}$라고 하면

$V_{x}=V_{o}$이고 $V_{s}=V_{f}+V_{i}=0$이므로  $V_{i}=-V_{f}=-\beta V_{o}$이고 $V_{x}=I_{x}R_{o}+AV_{i}=I_{x}R_{o}+A(-\beta V_{x})$이므로 $(1+\beta A)V_{x}=I_{x}R_{o}$이고 출력저항은 $\displaystyle R_{of}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=\frac{R_{o}}{1+\beta A}=\frac{R_{o}}{D}$이다. 만약 출력전압을 병렬(shunt)로 연결되어 있으면(또는 샘플링되어 있으면) 출력저항 $R_{of}$는 감소한다.

실제 회로구조

실제 회로는 $R_{s},\,R_{L}$을 모두 고려해야 하고, 귀환회로가 보통 저항으로 구성되므로 기본증폭기에 부하효과를 일으켜 $A,\,R_{i},\,R_{o}$에 영향을 미치게 된다.

위에서 세번째 그림의 저항 $R_{11}$은 입력단에서 기본 증폭기에 대한 귀환회로의 부하효과로 (전압 샘플링이 병렬이여서 귀환을 제거하기 위해)귀환회로의 포트 2를 단락하고 포트 1에서 바라본 저항이다. $R_{22}$는 출력단에서 기본증폭기에 대한 귀환회로의 부하효과로 (귀환전압이 직렬이여서 귀환을 제거하기 위해)귀환회로의 포트 1을 개방하고 포트 2에서 바라본 저항이다.

다음은 voltage-series 귀환회로의 h-파라미터들을 나타낸 것이다.

위의 2포트 회로에서 $V_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}V_{2}$, $I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}V_{2}=h_{22}V_{2}$(귀환회로에서는 $h_{21}=0$이다)이고 $\displaystyle h_{11}=\frac{V_{1}}{I_{1}}|_{V_{2}=0}(=R_{11})$은 출력 단락 시 입력저항, $\displaystyle h_{12}=\frac{V_{1}}{V_{2}}|_{I_{1}=0}(=\beta)$는 입력 개방시 출력전압에 대한 입력전압비로 귀환양, $\displaystyle h_{22}=\frac{I_{2}}{V_{2}}|_{I_{1}=0}\left(=\frac{1}{R_{22}}\right)$는 입력 개방시 출력 컨덕턴스로 출력저항의 역수이다.

이때 귀환양은 입력 개방 상태(귀환을 제거)에서 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}$이다.

위 회로에서 개방회로(open loop) 일 때 이득은 $\displaystyle A=A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}$이고 입력저항은 $R_{i}$, 출력저항은 $R_{o}$이다. 폐회로(closed loop) 일 때 이득이 $\displaystyle A_{vf}=\frac{V_{o}}{V_{s}}=\frac{A_{v}}{1+\beta A_{v}}$이므로 입력저항은 $R_{if}=(1+\beta A_{v})R_{i}$, 출력저항은 $\displaystyle R_{of}=\frac{R_{o}}{1+\beta A_{v}}$이다.

귀환 증폭기의 실제 입력저항 $R_{in}$은 $R_{s}$를 포함하지 않으므로 $R_{in}=R_{if}-R_{s}$이고 실제 출력저항 $R_{out}$은 $R_{L}$을 포함하지 않으므로 $\displaystyle\frac{1}{R_{of}}=\frac{1}{R_{out}}+\frac{1}{R_{L}}$이고 $\displaystyle R_{out}=\left(\frac{1}{R_{of}}-\frac{1}{R_{L}}\right)^{-1}$이다.

(2) current-shunt feedback 회로

이상적인 회로구조

전류원 $I_{s}$의 내부저항을 $R_{s}=\infty$, 부하저항을 $R_{L}=0$으로 가정하고 귀환회로가 기본증폭기의 부하효과를 제공하는 것을 방지하기 위해($I_{o}$에 영향을 주지 않기 위해) 귀환회로의 저항을 $0$, 직렬로 $I_{o}$를 샘플링하면 $I_{s}$에 병렬로 $I_{f}=\beta I_{o}$를 제공하고 current-shunt(shunt-series) 구조가 된다. 

$I_{o}=AI_{i}$, $I_{i}=I_{s}-I_{f}$, $I_{f}=\beta I_{o}$이므로 $\displaystyle A=\frac{I_{o}}{I_{i}}$이고 $I_{s}=I_{i}+I_{f}=I_{i}+\beta I_{o}=I_{i}+\beta AI_{i}=(1+\beta A)I_{i}$이므로 $\displaystyle A_{if}=\frac{I_{o}}{I_{s}}=\frac{AI_{i}}{(1+\beta A)I_{i}}=\frac{A}{1+\beta A}$이다.

$\displaystyle V_{i}=I_{i}R_{i}$, $I_{s}=(1+\beta A)I_{i}$이므로 입력저항은 $\displaystyle R_{if}=\frac{V_{i}}{I_{s}}=\frac{I_{i}R_{i}}{(1+\beta A)I_{i}}=\frac{R_{i}}{1+\beta A}=\frac{R_{i}}{D}$이다. 만약 귀환신호가 입력에 병렬(shunt)로 연결되어 있으면 입력저항 $R_{if}$는 감소한다.

출력저항을 구하기 위해 다음 그림처럼 $I_{s}=0$으로 설정하고 $V_{o}$ 위치에 전압원 $V_{x}$를 연결하고 흐르는 전류를 $I_{x}$라고 하면

$I_{x}=I_{o}$이고 $I_{s}=I_{i}+I_{f}=0$이므로 $I_{i}=-I_{f}=-\beta I_{o}=-\beta I_{x}$이고 $\displaystyle I_{x}=AI_{i}+\frac{V_{x}}{R_{o}}=-A\beta I_{x}+\frac{V_{x}}{R_{o}}$이므로 $\displaystyle(1+\beta A)I_{x}=\frac{V_{x}}{R_{o}}$이고 출력저항은 $\displaystyle R_{of}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=(1+\beta A)R_{o}$이다. 만약 출력전류를 샘플링(직렬연결)하면 출력저항 $R_{of}$가 증가한다.

실제 회로구조

실제 회로는 $R_{s},\,R_{L}$ 모두 고려해야 하고, 귀환회로가 보통 저항으로 구성되므로 기본증폭기에 부하효과를 일으켜 $A,\,R_{i},\,R_{o}$에 영향을 미친다.

위 그림에서 저항 $R_{11}$은 입력단에서 기본증폭기에 대한 귀환회로의 부하효과로 (전류 샘플링이 직렬이므로 귀환을 제거하기 위해)귀환회로의 포트 2를 개방하고 포트 1에서 바라본 저항이다. 저항 $R_{22}$는 출력단에서 기본증폭기에 대한 귀환회로의 부하효과로 (귀환전류가 병렬이므로 귀환을 제거하기 위해)귀환회로의 포트 1을 단락하고 포트 2에서 바라본 저항이다.

다음은 current-shunt 귀환회로의 g-파라미터들을 나타낸 것이다.

위의 2포트 회로에서 $I_{1}=g_{11}V_{1}+g_{12}I_{2}$, $V_{2}=g_{21}V_{1}+g_{22}I_{2}=g_{22}I_{2}$(귀환회로에서 $g_{21}=0$이다)이고 $\displaystyle g_{11}=\frac{I_{1}}{V_{11}}|_{I_{2}=0}\left(=\frac{1}{R_{11}}\right)$, $\displaystyle g_{22}=\frac{V_{2}}{I_{2}}|_{V_{1}=0}(=R_{22})$, $\displaystyle g_{12}=\frac{I_{1}}{I_{2}}|_{V_{1}=0}(=\beta)$이다.

이때 귀환양은 입력 단락 상태(귀환을 제거)에서 $\displaystyle \beta=\frac{I_{f}}{I_{o}}$이다.

위 회로에서 개방회로(open loop)일 때 이득은 $\displaystyle A=A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}$이고 입력저항은 $R_{i}$, 출력저항은 $R_{o}$이다. 폐회로(closed loop)일 때 이득이 $\displaystyle A_{if}=\frac{I_{o}}{I_{s}}=\frac{A_{i}}{1+\beta A_{i}}$이므로 입력저항은 $\displaystyle R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta A_{i}}$, 출력저항은 $R_{of}=(1+\beta A_{i})R_{o}$이다.

귀환 증폭기의 실제 입력저항 $R_{in}$은 $R_{s}$를 포함하지 않으므로 $\displaystyle\frac{1}{R_{if}}=\frac{1}{R_{s}}+\frac{1}{R_{in}}$이고 $\displaystyle R_{in}=\left(\frac{1}{R_{if}}-\frac{1}{R_{s}}\right)^{-1}$이다. 실제 출력저항 $R_{out}$은 $R_{L}$을 포함하지 않으므로 $R_{out}=R_{of}-R_{L}$이다.

(3) current-series feedback 회로(series-series)

$R_{L}=0$으로 가정하면 $\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{I_{o}},\,A=G_{m}=\frac{I_{o}}{V_{i}},\,A_{f}=G_{mf}=\frac{G_{m}}{1+\beta G_{m}}$이므로

$R_{if}=(1+\beta G_{m})R_{i}$(series), $R_{of}=(1+\beta G_{m})R_{o}$(전류 샘플링), $R_{in}=R_{if}-R_{s}$, $R_{out}=R_{of}-R_{L}$이다.

(4) voltage-shunt feedback 회로

$R_{L}=\infty$로 가정하면 $\displaystyle\beta=\frac{I_{f}}{V_{o}},\,A=R_{m}=\frac{V_{o}}{I_{i}},\,A_{f}=R_{mf}=\frac{R_{m}}{1+\beta R_{m}}$이므로 

$\displaystyle R_{if}=\frac{R_{i}}{1+\beta R_{m}}$(shunt), $\displaystyle R_{of}=\frac{R_{o}}{1+\beta R_{m}}$(전압 샘플링), $\displaystyle R_{in}=\left(\frac{1}{R_{if}}-\frac{1}{R_{s}}\right)^{-1},\,R_{out}=\left(\frac{1}{R_{of}}-\frac{1}{R_{L}}\right)^{-1}$이다.

귀환 증폭기의 해석순서 및 요약

해석을 하기 이전에 우선 $A$와 $\beta$를 계산해서 $A_{f},\,R_{if},\,R_{of}$를 계산한다.

1. 귀환 회로와 귀환 회로를 구성하는 소자들을 확인한다.

2. 피드백 구조를 확인한다.

입력 연결의 경우 귀환회로의 소자 중 일부가 입력 루프에 포함되면 직렬연결이고 분로 형태로 연결되면 병렬연결($X_{f}$가 $V_{s}$와 직렬연결이면 series, 병렬연결이면 shunt)이다.

출력 연결의 경우 귀환회로의 소자 중 일부가 출력 루프에 포함되면 직렬연결(전류 샘플링)이고 분로 형태로 연결되면 병렬연결(전압 샘플링)이다.($X_{o}$를 $V_{o}$의 노드에서 샘플링하면 voltage(shunt) sampling, $X_{o}$를 $V_{o}$의 루프로부터 샘플링하면 current(series) sampling)

3. 귀환을 제거하고 귀환회로의 부하효과를 고려한 개방루프 기본증폭기를 구한다.

(i) 입력신호를 구성하는데 출력신호 $X_{o}$가 샘플링되지 않게 한 상태에서 구해야 한다. 이 상태에서 $R_{11}$을 계산한다.

출력이 voltage sampling(병렬)일 때 $V_{o}=0$으로, current sampling(직렬)일 때 $I_{o}=0$으로 설정한다.

(ii) 출력회로를 구성하는데 입력회로에서의 귀환신호 $X_{f}$를 배제한 상태에서 구해야 한다. 이 상태에서 $R_{22}$를 계산한다.

입력이 shunt연결일 때 $V_{i}=0$(전류가 합해지는 입력 노드를 접지로 단락)로 설정하고 series연결일 때 $I_{i}=0$(전압이 합해지는 입력 귀환 루프를 개방)로 설정한다. 

4. $X_{f}$가 전압이면 테브난 전원을, $X_{f}$가 전류이면 노턴 전원을 사용한다.

5. 개방회로 증폭기에서 교류등가회로를 이용하여 $A(A_{v},\,A_{i},\,G_{m},\,R_{m}),\,\beta,\,R_{i},\,R_{o}$를 구한다.

6. 주어진 귀환증폭기 전체에 대한 폐루프 변수 $A_{f}(A_{vf},\,A_{if},\,G_{mf},\,R_{mf}),\,R_{if},\,R_{of}$를 구한다.

	voltage-series (series-shunt)	current-series (series-series)	current-shunt (shunt-series)	voltage-shunt (shunt-series)
귀환 신호 $X_{f}$	전압	전압	전류	전류
샘플링 신호 $X_{o}$	전압	전류	전류	전압
입력회로 구성시	$V_{o}=0$	$I_{o}=0$	$I_{o}=0$	$V_{o}=0$
출력회로 구성시	$I_{i}=0$	$I_{i}=0$	$V_{i}=0$	$V_{i}=0$
신호원 model	테브난	테브난	노턴	노턴
$\displaystyle\beta=\frac{X_{f}}{X_{o}}$	$\displaystyle\frac{V_{f}}{V_{o}}$	$\displaystyle\frac{V_{f}}{I_{o}}$	$\displaystyle\frac{I_{f}}{I_{o}}$	$\displaystyle\frac{I_{f}}{V_{o}}$
$\displaystyle A=\frac{X_{o}}{X_{i}}$ ($R_{L}$을 고려하지 않음)	$\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}$	$\displaystyle G_{m}=\frac{I_{o}}{V_{i}}$	$\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}$	$\displaystyle R_{m}=\frac{V_{o}}{I_{i}}$
둔감도 $D=1+\beta A$	$1+\beta A_{v}$	$1+\beta G_{m}$	$1+\beta A_{i}$	$1+\beta R_{m}$
$A_{f}$	$\displaystyle\frac{A_{v}}{D}$	$\displaystyle\frac{G_{m}}{D}$	$\displaystyle\frac{A_{i}}{D}$	$\displaystyle\frac{R_{m}}{D}$
$R_{if}$	$DR_{i}$	$DR_{i}$	$\displaystyle\frac{R_{i}}{D}$	$\displaystyle\frac{R_{i}}{D}$
$R_{of}$	$\displaystyle\frac{R_{o}}{D}$	$DR_{o}$	$DR_{o}$	$\displaystyle\frac{R_{o}}{D}$

참고자료:

Microelectronic Circuits 7th edition, Sedar, Smith, Oxford

http://electricalacademia.com/basic-electrical/hybrid-parameters-two-port-network/

https://slideplayer.com/slide/10546068/