12. 발진기

12. 발진기

다음의 그림은 발진기(oscillator)의 동작을 나타낸 것이다.

\(\displaystyle A_{f}=\frac{A}{1+\beta A}\)이고 바크하우젠(Barkhausen) 발진조건은 \(\beta A=-1=1\angle180^{\circ}\)이다. \(A_{f}\)가 매우 커서 매우 작은 잡음을 증폭시켜서 출력신호를 발생시키기 때문에 입력신호가 없다. 즉 \(X_{s}=0\)이고 \(X_{o}\)가 존재한다. \(X_{i}=X_{s}-X_{f}=-\beta X_{o}\)이고 \(X_{o}=-\beta AX_{o}\)이다.

\(\beta A=-1\)이면 계속해서 동일한 출력이 존재하게 되고 따라서 발진한다. 실제로는 잡음 전압을 증폭시켜 발진시키기 위해 조건 \(|\beta A|>1\)이 요구된다. 그렇게 되면 입력 없이 출력이 발생하고, 계속해서 출력이 발생하므로 재생(regenerative) 또는 정귀환(positive feedback)이다.

*부귀환 증폭기 귀환회로는 \(\beta\)회로가 주파수에 대한 함수가 아니었지만 발진기에서는 \(\beta\)회로가 주파수에 대한 함수이다.

위상 천이 발진기

다음의 회로는 위상 천이 발진기(phase-shift oscillator) 회로이다.

이 회로는 voltage-series 귀환회로 이고 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}\), \(V_{i}=-V_{f}\)이다. 이 회로에 대해 키르히호프 법칙을 적용하면 다음의 세 개의 방정식들을 얻는다.

(1) \(\displaystyle \mathbf{s}C(V_{2}-V_{1})+\mathbf{s}C(V_{2}-V_{o})+\frac{V_{2}}{R}=0\)

(2) \(\displaystyle \mathbf{s}C(V_{1}-V_{2})+\{V_{1}-(-V_{f})\}\mathbf{s}C+\frac{V_{1}}{R}=0\)

(3) \(\displaystyle \mathbf{s}C(-V_{f}-V_{1})-\frac{V_{f}}{R}=0\)

위의 세 연립방정식으로부터 식 \(\displaystyle V_{o}=-V_{f}\left(1+\frac{6}{\mathbf{s}RC}+\frac{5}{\mathbf{s}R^{2}C^{2}}+\frac{1}{\mathbf{s}^{3}R^{3}C^{3}}\right)\)이고 \(\displaystyle\frac{V_{f}}{V_{o}}=-\frac{\tau^{3}\mathbf{s}^{3}}{\tau^{3}\mathbf{s}^{3}+6\tau^{2}\mathbf{s}^{2}+5\tau\mathbf{s}+1}\,(\tau=RC)\)이다. 이 식에 \(\mathbf{s}=j\omega\,(j=\sqrt{-1})\)을 대입하면 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}|_{\mathbf{s}=j\omega}=-\frac{(\tau\omega)^{2}}{(\tau\omega)^{3}-5\tau\omega+j\{1-6(\tau\omega)^{2}\}}\)이고 기본 증폭기(반전 증폭기)의 이득이 \(\displaystyle A=-\frac{R_{2}}{R}<0\), 발진조건 \(\beta A=-1\)에 의해 \(\beta\)는 실수(허수부가 0)이어야 한다. 그러면 \(\displaystyle1-6(\tau\omega)^{2}=0\)이어야 하고 발진주파수는 \(\displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{6}RC}\), 이때 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}|_{\omega=\frac{1}{\sqrt{6}RC}}=-\frac{(\tau\omega)^{}2}{(\tau\omega)^{2}-5}=\frac{1}{29}\)이고, 발진을 하기 위해서는 \(\displaystyle A=-\frac{1}{\beta}=-29=-\frac{R_{2}}{R}\), 즉 \(\displaystyle\frac{R_{2}}{R}=29\)이어야 한다.

\(R,\,C\)회로가 총 \(180^{\circ}\)의 위상 변화를 일으키므로 이 발진기를 위상 천이 발진기라고 한다. 또한 반전증폭기가 \(180^{\circ}\)의 위상을 앞서게 하므로 총 위상은 \(360^{\circ}\)가 되어 동일한 신호로 발진한다.

빈 브릿지 발진기

다음의 회로는 빈 브릿지 발진기(Wien bridge oscillator)이다.

위 회로는 voltage-series 귀환회로이고, \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}\)이며 키르히호프 법칙을 적용하면 \(\displaystyle-\frac{V_{f}}{R_{2}}-\mathbf{s}C_{2}V_{f}-\frac{V_{f}+V_{o}}{R_{1}+\frac{1}{\mathbf{s}C_{1}}}=0\)이므로 \(\displaystyle\frac{V_{f}}{V_{o}}=-\frac{1}{1+\frac{R_{1}}{R_{2}}+\frac{C_{2}}{C_{1}}+\mathbf{s}R_{1}C_{2}+\frac{1}{\mathbf{s}R_{2}C_{1}}}\)이고 이 식에 \(\mathbf{s}=j\omega\)를 대입하면 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}|_{\mathbf{s}=j\omega}=\frac{1}{1+\frac{R_{1}}{R_{2}}+\frac{C_{2}}{C_{1}}+j\left(\omega R_{1}C_{2}-\frac{1}{\omega R_{2}C_{1}}\right)}\)이다. 기본 증폭기(비반전 증폭기, 저항 \(R_{4}\)의 양쪽이 접지와 연산증폭기 -단자이므로)의 이득은 \(\displaystyle A=1+\frac{R_{3}}{R_{4}}>0\)이고 발진조건 \(\beta A=-1\)에 의해 \(\beta\)는 실수(허수부가 0)이어야 한다. 그렇게 되기 위해서는 \(\displaystyle\omega R_{1}C_{2}-\frac{1}{\omega R_{1}C_{2}}=0\)이어야 하고 따라서 발진주파수는 \(\displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{R_{1}C_{1}R_{2}C_{2}}}\)이고 이때의 귀환양은 \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}|_{\omega=\frac{1}{\sqrt{R_{1}C_{1}R_{2}C_{2}}}}=-\frac{1}{1+\frac{R_{1}}{R_{2}}+\frac{C_{2}}{C_{1}}}\)이다. \(R_{1}=R_{2}\), \(C_{1}=C_{2}\)이면 \(\displaystyle\beta=-\frac{1}{3}\)이고 발진조건으로부터 \(\displaystyle A=-\frac{1}{\beta}=3=1+\frac{R_{3}}{R_{4}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{R_{3}}{R_{4}}=2\)이어야 한다.

LC 동조 발진기 회로

LC 동조(공진)회로 또는 수정을 이용한 발진기(tuned oscillator)는 수십 \(\text{kHz}\)에서 수백 \(\text{MHz}\)의 주파수 범위를 가지고 높은 \(Q\)(quality factor)값을 갖는다는 장점이 있으나 주파수 범위가 너무 넓어서 발진주파수를 조정하기 어렵고 수정발진기는 하나의 주파수에서만 동작한다는 단점이 있다.

위의 회로는 공진회로 발진기의 기본적인 구성으로 voltage-series 귀환회로이다.

위 회로에서 \(\displaystyle A=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{Z_{L}}{R_{o}+Z_{L}}\frac{(-A_{v}V_{i})}{V_{i}}=-A_{v}\frac{Z_{L}}{R_{o}+Z_{L}}\), \(Z_{L}=(Z+Z_{2})||Z_{1}\), \(\displaystyle\beta=\frac{V_{f}}{V_{o}}=\frac{\frac{Z_{2}}{Z_{3}+Z_{2}}(-V_{o})}{V_{o}}=-\frac{Z_{2}}{Z_{2}+Z_{3}}\), \(\displaystyle\beta A=\frac{A_{v}Z_{L}}{R_{o}+Z_{L}}\frac{Z_{2}}{Z_{2}+Z_{3}}=\frac{A_{v}Z_{1}Z_{2}}{R_{o}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{3})+Z_{1}(Z_{2}+Z_{3})}\)이다.

만약 \(Z_{1},\,Z_{2},\,Z_{3}\)모두 리액턴스 소자(인덕터 \(L\) 또는 커패시터 \(C\))이면, 즉 \(\displaystyle Z_{1}=jX_{1},\,Z_{2}=jX_{2},\,Z_{3}=jX_{3}\,\left(X=\omega L,\,\text{or}\,X=\frac{1}{\omega C}\right)\)이면 \(\displaystyle\beta A=\frac{-A_{v}X_{1}X_{2}}{jR_{o}(X_{1}+X_{2}+X_{3})-X_{1}(X_{2}+X_{3})}\)이고 발진조건 \(\beta A=-1\)로부터 허수부가 0이어야 한다. 그렇게 되려면 \(X_{1}+X_{2}+X_{3}=0\)이어야 하고 \(Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}=0\)이므로 발진주파수를 결정할 수 있다. \(\displaystyle \beta A=\frac{A_{v}X_{2}}{X_{2}+X_{3}}=-\frac{A_{v}X_{2}}{X_{1}}=-1\,(X_{2}+X_{3}=-X_{1})\)이고 \(A_{v}>0\)이므로 \(X_{1}\)과 \(X_{2}\)는 동일한 부호(리액턴스), 즉 둘 다 모두 인덕터이거나 커패시터이어야 한다. 따라서 \(X_{1},\,X_{2}\)가 \(L\)이면 \(X_{3}\)은 \(C\)이고, \(X_{1},\,X_{2}\)가 \(C\)이면 \(X_{3}\)은 \(L\)이어야 한다.

발진기 종류＼리액턴스	\(X_{1}\)	\(X_{2}\)	\(X_{3}\)
콜피츠(Colpitts) 발진기	\(C\)	\(C\)	\(L\)
하틀리(Hartley) 발진기	\(L\)	\(L\)	\(C\)
공진입력 공진출력 발진기	\(LC\)	\(LC\)	-

\(X_{1}+X_{2}+X_{3}=0\)이므로 \(Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}=0\)이고 \(Z_{L}=(Z_{2}+Z_{3})||Z_{1}=(-Z_{1})||Z_{1}\)이므로 \(Z_{L}=\infty\)이다. 

그러므로 발진상태에서 \(A=-A_{v}\)이고 \(\displaystyle\beta A=-\frac{A_{v}X_{2}}{X_{1}}=\frac{AX_{2}}{X_{1}}\)이다. 

콜피츠 발진기

위의 회로들은 콜피츠 발진기(Colpitts oscillator)들로 왼쪽은 BJT, 가운데는 FET, 오른쪽은 연산증폭기가 이용되었다.

콜피츠 발진기에서 발진조건이 \(\displaystyle\beta A=-\frac{A_{v}\frac{1}{\omega C_{2}}}{\frac{1}{\omega C_{1}}}=-A_{v}\frac{C_{1}}{C_{2}}=A\frac{C_{1}}{C_{2}}=-1\)이므로 발진에 필요한 최소이득은 \(\displaystyle A=-\frac{C_{2}}{C_{1}}\)이다. 

\(X_{1}+X_{2}+X_{3}=0\)이므로 \(\displaystyle\omega L-\frac{1}{\omega C_{1}}-\frac{1}{\omega C_{2}}=0\)이고 \(\displaystyle\omega^{2}=\frac{C_{1}+C_{2}}{LC_{1}C_{2}}\)이므로 발진주파수는 \(\displaystyle f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{eq}}}\,\left(C_{eq}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\right)\)이다.

왼쪽의 회로는 BJT 콜피츠 발진기 회로이고, 오른쪽의 회로는 왼쪽 회로의 교류등가회로이다(*오른쪽 교류등가회로는 \(h_{ie}\)를 무시한 회로이다). 오른쪽 회로에서 \(R=R_{1}||R_{2}||r_{o}\)이고 두 식 \(\displaystyle V_{\pi}=\frac{1}{1+\mathbf{s}^{2}C_{2}L}V_{o}\), \(\displaystyle\mathbf{s}C_{1}V_{o}+\frac{V_{o}}{R}+g_{m}V_{\pi}+\frac{1}{\mathbf{s}L}(V_{o}-V_{\pi})=0\)으로부터 \(\displaystyle\frac{V_{o}}{V_{\pi}}=-\frac{g_{m}R}{\mathbf{s}^{3}RLC_{1}C_{2}+\mathbf{s}^{2}LC_{2}+\mathbf{s}R(C_{1}+C_{2})+1}\)이다.(자세한 수식유도는 여기를 클릭)

발진조건이 \(\displaystyle\frac{V_{o}}{V_{\pi}}|_{\mathbf{s}=j\omega}=-\frac{g_{m}R}{j\{-\omega^{3}RLC_{1}C_{2}+\omega R(C_{1}+C_{2})\}-\omega^{2}LC_{2}+1}=1\)이므로 허수부가 0이어야 한다. 그러면 \(\omega^{3}RLC_{1}C_{2}=\omega R(C_{1}+C_{2})\)이고 \(\displaystyle\omega^{2}=\frac{C_{1}+C_{2}}{LC_{1}C_{2}}\)이므로 \(\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{C_{1}+C_{2}}{LC_{1}C_{2}}}\)이다. 그러면 이때 \(\displaystyle\frac{V_{o}}{V_{\pi}}=1=-\frac{g_{m}R}{1-\omega^{2}LC_{2}}=-\frac{g_{m}R}{C_{1}-(C_{1}+C_{2})}=\frac{g_{m}RC_{1}}{C_{2}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{C_{2}}{C_{1}}=g_{m}R\)이다.

다음의 회로는 콜피츠 발진기에서 인덕터에 \(C_{3}\)커패시터를 직렬로 연결시킨 클래프 발진기(Clapp oscillator)이다.

커패시터 \(C_{1},\,C_{2},\,C_{3}\)은 직렬로 연결되어 있으므로 전체 커패시터는 \(\displaystyle C_{T}=\left(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}\right)^{-1}\)이고, 발진주파수는 \(\displaystyle f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{T}}}\)이다.

커패시터 \(C_{1},\,C_{2}\)는 접지에 연결되어 있고 고주파에서 트랜지스터의 기생정전용량과 병렬이므로 영향을 받는다. \(C_{3}\)은 기생정전용량의 영향을 받지 않으므로 발진주파수가 더 정확하다.

하틀리 발진기

위의 회로들은 하틀리 발진기(Hartly oscillator)들로 왼쪽 회로에는 BJT가, 오른쪽 회로에는 FET가 사용되었다.

하틀리 발진기에서 발진조건이 \(\displaystyle\beta A=-A_{v}\frac{X_{2}}{X_{1}}=-A_{v}\frac{\omega L_{2}}{\omega L_{1}}=-A_{v}\frac{L_{2}}{L_{1}}=A\frac{L_{2}}{L_{1}}=-1\)이므로 발진에 필요한 최소 이득은 \(\displaystyle A=-\frac{L_{1}}{L_{2}}\)이다.

\(X_{1}+X_{2}+X_{3}=0\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{\omega C}-(\omega L_{1}+\omega L_{2}+\omega M+\omega M)=\frac{1}{\omega C}-(L_{1}+L_{2}+2M)\omega=0\)이고 \(\displaystyle\omega^{2}C=\frac{1}{L_{1}+L_{2}+2M}\)이므로 발진주파수는 \(\displaystyle f=\frac{1}{2\pi\sqrt{L_{eq}C}}\,(L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M)\)이다.

수정 발진기

수정(crystal)은 수정 양면에 기계적인 힘이 가해지면 반대편 면에서 전압이 발생하고(압전효과), 반대로 전압이 인가되면 수정이 변형된다(교류 전압이 인가되면 안정되고 정확한 발진을 한다). 수정 발진기(crystal oscillator)는 수정을 공진회로로 사용하는 매우 안정된 발진주파수를 얻는 발진기이다.

(실제 수정 발진기 소자)

(수정 발진기의 규격서, 출처: https://www.digikey.be/product-detail/en/ecs-inc/ECS-80-20-1/X021-ND/110078)

다음 회로는 수정 발진기의 전기적 등가회로이다.

이 등가회로에서 저항 \(R\)은 수정의 표면 내부 마찰을 전기적으로 나타낸 것으로 아주 적어서(무시가능) \(Q\)값을 높게 만들고, 인덕터 \(L\)은 수정의 질량을(수백 \(\text{H}\)), 커패시터 \(C\)는 수정의 응력(용수철 상수의 역수)을(\(0.001\text{pF}\)) 전기적으로 나타낸 것이며 병렬 커패시터 \(C_{M}\)은 수정의 전극 사이의 정전용량을(수\(\text{pF}\)) 나타낸 것이다(\(C_{M}>C\)).

저항 \(R\)을 무시하면 위의 등가회로(수정 발진기)의 임피던스는 \(\displaystyle Z(\mathbf{s})=\frac{1}{\mathbf{s}C_{M}+\frac{1}{\mathbf{s}L+\frac{1}{\mathbf{s}C}}}=\frac{1}{\mathbf{s}C_{M}}\frac{\mathbf{s}^{2}+\frac{1}{LC}}{\mathbf{s}^{2}+\frac{C_{M}+C}{LC_{M}C}}\)이고 이 식에 \(\mathbf{s}=j\omega\)를 대입하면 \(\displaystyle Z(j\omega)=-j\frac{1}{\omega C_{M}}\frac{\omega^{2}-\omega_{s}^{2}}{\omega^{2}-\omega_{M}^{2}}\)이다. 여기서

\(f_{s}\)는 직렬 공진 주파수(series resonance frequency, zero impedance frequency)이고 \(\displaystyle\omega_{c}^{2}=\frac{1}{LC}\), 

\(f_{p}\)은 병렬 공진 주파수(parallel resonance frequency, infinite impedance frequency)이고 \(\displaystyle\omega_{p}^{2}=\frac{1}{L}\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{C_{M}}\right)\)이다.

다음은 주파수 범위에 따른 수정의 리액턴스 값의 범위이다.

\(\omega_{s}<\omega<\omega_{p}\)일 때, 수정은 인덕터로 동작하고, \(\omega<\omega_{s}\) 또는 \(\omega>\omega_{p}\)는 커패시터로 동작한다.

위의 회로는 직렬 피드백 경로에 수정 발진기를 사용한 수정 제어형 발진기 회로이다. 왼쪽은 BJT를 사용했고 voltage-shunt 귀환회로이며 \(f_{s}\)를 이용해 임피던스를 최소화해서 귀환 전류를 크게 한다. 오른쪽은 FET를 사용했고 current-series 귀환회로이며 \(f_{p}\)를 이용해 출력전압을 크게 한다.

위의 발진기 회로는 트윈 T형 발진기(twin T-type oscillator)이고 RC발진기의 일종으로 두개의 T형 필터(저역통과, 고역통과)를 이용한 대역저지 또는 notch 필터이다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

Microelectronics Circuit Analysis and Design 4th edition, Neamen, McGraw-Hill

Microelectronic Circuits 7th edition, Sedra, Smith, Oxford

Electronic Devices Conventional Current Version 9th edition, Floyd, Pearson

http://image.chungbuk.ac.kr/jhahn/lecture/e-circuit/kyShin/82_Oscillator.pdf

http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4643

https://eeebooks4u.wordpress.com/2017/05/26/tuned-oscillator-circuits/

https://slideplayer.com/slide/1498193/

https://www.electronics-tutorials.ws/oscillator/crystal.html

https://www.digikey.be/product-detail/en/ecs-inc/ECS-80-20-1/X021-ND/110078

https://www.seas.upenn.edu/~ese319/Lecture_Notes/Lec_19_Colpitts_Osc_10.pdf