12. 전원공급장치(전압조정기)(1: 커패시터 필터, RC필터, π(파이)형 필터)

12. 전원공급장치(전압조정기)(1: 커패시터 필터, RC필터, π(파이)형 필터)

전원공급장치는 부하에 관계없이 항상 일정한 공급을 공급한다. 다음은 미국에서 사용되는 전원공급장치의 블록선도이다.(미국: 110~120V(60Hz), 대한민국: 220V(60Hz))

$120\text{V rms}$의 교류전압이 변압기에 적용되면 원하는 직류 전압 형태로 조절되고 (다이오드) 정류기를 통과해 전파로 정류되어 (커패시터) 필터에 통과시키면 직류화 되지만 맥동(ripple), 교류전압파동이 포함되어있다. 이 때문에 집적회로(IC) 전압조정기를 이용하여 최종적으로 순수 직류성분만을 얻는다.

위 그림은 직류와 맥동이 포함된 필터전압의 신호이고 맥동은 평균값(직류)에서 변하는 신호의 정도이고 교류신호이다. 맥동률(ripple factor)은 $\displaystyle r=\frac{V_{r\,(\text{rms})}}{V_{dc}}\times100\text{%}$로 정의되고 이 값이 작을수록 좋다.

부하가 없는 경우(전류가 출력으로 흘러나가지 않는 경우)의 출력전압은 부하가 있는 경우(전류가 출력으로 흘러나가는 경우)에 비해 높게 나타난다. 부하가 없는 경우로부터 부하가 있는 경우로의 출력전압을 전압 조정률(voltage regulation)이라고 하고 $V_{NL}$이 무부하 전압, $V_{FL}$이 전부하 전압일 때, 전압조정률은 $\displaystyle\text{VR}=\frac{V_{NL}-V_{FL}}{V_{FL}}\times100\text{%}$이다.

임의의 신호를 $v$라고 하면 이 신호에는 직류 신호 $V_{dc}$와 교류신호 $v_{dc}$가 포함되어 있다($v=V_{dc}+v_{ac}$). $V_{ac(\text{rms})}$를 $v_{ac}$의 실효값, $V_{\text{rms}}$를 $v$의 실효값, $V_{ac}$를 $v$의 실효값이라고 하면 $$\begin{align*}V_{ac(\text{rms})}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{v_{ac}^{2}}dt}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{(v^{2}-2vV_{dc}+V_{ac}^{2})dt}}\\&=\sqrt{V_{\text{rms}}^{2}-2V_{dc}V_{dc}+V_{dc}^{2}}=\sqrt{V_{\text{rms}}^{2}-V_{dc}^{2}}\end{align*}$$ 이다.

반파정류신호 $v$에 대해서

평균값과 실효값이 각각 $$V_{dc}=\frac{0}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{V_{m}\sin\omega tdt}=\frac{V_{m}}{\pi},\,V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{v^{2}dt}}=\sqrt{\int_{0}^{\frac{T}{2}}{V_{m}^{2}\sin^{2}\omega tdt}}=\sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{4}}=\frac{V_{m}}{2}$$ 이므로 $\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\sqrt{V_{\text{rms}}^{2}-V_{dc}^{2}}=\sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{4}-\frac{V_{m}^{2}}{\pi^{2}}}=0.385V_{m}$이고 맥동률은 $\displaystyle r=\frac{0.385 V_{m}}{\frac{V_{m}}{\pi}}=121\text{%}$이다.

전파정류신호 $v$에 대해서

평균값과 실효값이 각각 $$V_{dc}=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{V_{m}\sin\omega tdt}=\frac{2V_{m}}{\pi},\,V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{v^{2}dt}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{V_{m}^{2}\sin^{2}\omega tdt}}=\sqrt{\frac{V_{m}}{2}}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$$ 이므로 $\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}}=\sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{2}-\frac{4V_{m}^{2}}{\pi^{2}}}=0.308V_{m}$이고 맥동률은 $\displaystyle r=\frac{0.308V_{m}}{\frac{2V_{m}}{\pi}}=48\text{%}$이다.

다음은 커패시터 필터를 나타낸 것이다.

다음은 위 커패시터 필터에서 스위치가 닫혔을 때 나타나는 파형(위 그림에서 맨 밑 오른쪽 그림)을 근사화 하는 과정을 나타낸 것이다.

$T$는 입력신호의 주기, $T_{1}$은 다이오드가 도통해서 커패시터($C$)를 통해 $V_{m}$까지 충전하는 시간, $T_{2}$는 정류부의 전압이 커패시터($C$) 양단 전압보다 작아질 때 다이오드가 OFF되고 충전전압이 부하를 통해서 방전하는 시간이다.

부하저항 $R_{L}$이 크면 커패시터는 조금반 방전하고 평균전압값은 $V_{m}$에 가까워져 맥동률($r$)이 작으나 $R_{L}$이 작으면 커패시터는 많이 방전하고 평균전압값은 $V_{m}$보다 작아서 맥동률($r$)이 크다.

위 그림은 앞의 파형을 조금더 확대해서 근사한 파형이다(왼쪽 부분). 이 때의 평균값은 $V_{dc}=V_{m}-\frac{V_{r(p-p)}}{2}$이고 실효값은 $\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\frac{V_{r(p-p)}}{2\sqrt{3}}$(과정이 복잡하다, 왼쪽 부분 $V_{r(p-p)}$부분의 삼각형 그림을 참고할 것)이다.

위 그림의 가운데-오른쪽을 보면 기울기가 거의 같기 때문에 $\displaystyle\frac{V_{r(p-p)}}{T_{1}}=\frac{V_{m}}{\frac{T}{4}}$라고 할 수 있고 따라서 $\displaystyle T_{1}=\frac{V_{r(p-p)}}{V_{m}}=\frac{T}{4}$, $\displaystyle T_{2}=\frac{T}{2}-T_{1}=\frac{(2V_{m}-V_{r(p-p)})T}{4V_{m}}=\frac{2V_{m}-V_{r(p-p)}}{V_{m}}\frac{T}{4}=\frac{V_{dc}}{V_{m}}\frac{T}{2}$ 이고 $\displaystyle V_{r(p-p)}=\frac{1}{C}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{idt}=\frac{I_{dc}T_{2}}{C}$이므로 $\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\frac{V_{r(p-p)}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{I_{dc}}{2fC}\frac{V_{dc}}{V_{m}}=\frac{I_{dc}}{4\sqrt{3}fC}\frac{V_{dc}}{V_{m}}$($R_{L}$이 매우 크면 $V_{dc}\simeq V_{m}$)이고 $\displaystyle V_{dc}=V_{m}-\frac{V_{r(p-p)}}{2}=V_{m}-\frac{I_{dc}}{4fC}\frac{V_{dc}}{V_{m}}$($R_{L}$이 매우 크면 $V_{dc}\simeq V_{m}$)이다($I_{dc}$가 증가하면 $V_{dc}$가 감소하고, 커패시터의 값이 크면 $V_{dc}$가 증가한다).

맥동률을 구하면 $\displaystyle r=\frac{V_{r(\text{rms})}}{V_{dc}}=\frac{1}{V_{dc}}\frac{I_{dc}}{4\sqrt{3}fC}=\frac{1}{V_{dc}}\frac{V_{dc}}{4\sqrt{3}fCR_{L}}=\frac{1}{4\sqrt{3}fCR_{L}}$이다. 이때 $I_{dc}$가 커지면 맥동률이 증가하고, 커패시터의 값이 크면 맥동률은 감소한다.

커패시터 필터에서 커패시터의 값이 크면 평균값이 크고 맥동률이 작게 되므로 좋은 필터가 되지만 충전 중에 큰 최대전류가 발생해서 다이오드가 최대 전류를 견뎌야 하고, 잘못하면 이상이 생길 수 있다.

방전되는 동안 커패시터에 부하가 공급하는 전하량 $(T-T_{1})I_{dc}\approx TI_{dc}$는 충전되는 동안 커패시터에 충전하는 전하량 $I_{\text{peak}T_{1}}$과 같다야 한다. 커패시터의 값이 크면 방전이 적게 일어나고 방전되는 전압도 감소해서 입력전압이 커패시터 전압보다 큰 부분이 적게 되므로 중전시간이 짧아져서 $I_{\text{peak}}$의 값이 크다.(아래 그림 참고)

위 그림에서 $TI_{dc}=T_{1}I_{\text{peak}}$이어야 하므로 $\displaystyle I_{\text{peak}}=\frac{T}{T_{1}}I_{dc}$이고 $T_{1}$이 줄어들면 $I_{\text{peak}}$가 커지게 되나 다이오드가 증가한 $I_{\text{peak}}$의 전류를 견뎌야 한다.

RC필터

위 그림은 커패시터 필터와 부하 사이에 RC필터를 추가한 회로로 RC필터가 위 그림처럼 추가되면 맥동률이 감소하게 되지만 평균값이 감소하게 된다.

위 그림은 직류, 교류 RC필터의 등가회로로 전류가 커패시터 $C_{1}$을 통과할 때 직류전류, 교류 맥동전압이 발생한다.

직류해석을 하면 $\displaystyle V_{dc}'=\frac{R_{L}}{R+R_{L}}V_{dc}$이고 교류해석을 하면 $\displaystyle X_{C}=\frac{1}{\omega C}$이고 $X_{C}\ll R_{L}$이므로 $X_{C}||R_{L}\simeq X_{C}$이고 $\displaystyle V_{r(\text{rms})}'=\frac{X_{C}}{\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}}V_{r(\text{rms})}\simeq\frac{X_{C}}{R}V_{r(\text{rms})}$이다.

π형 필터

위의 그림은 커패시터 필터와 부하 사이에 LC필터를 추가한 회로로 위의 RC필터보다 맥동률이 더욱 감소하고 이 때의 평균값은 $V_{dc}$의 값에 거의 가깝다. 이 π형 필터 회로의 직류등가회로의 해석은 위의 RC필터의 경우와 같고, 교류등가회로의 해석은 $X_{C}\ll X_{L}$, $X_{C}\ll R_{L}$이므로 $X_{C}||R_{L}\simeq X_{C}$이고 $\displaystyle V'_{r(\text{rms})}=\frac{X_{C}}{\sqrt{X_{C}^{2}+X_{L}^{2}}}V_{r(\text{rms})}$이다(맥동률 감소).

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

http://usartsuhak.com/EZ/board/view.asp?BoardModule=Board&tbcode=blog01&seq=48

http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4497&m_search=%EC%A0%84%EC%9B%90%EA%B3%B5%EA%B8%89%EC%9E%A5%EC%B9%98

http://www.ee.hacettepe.edu.tr/~usezen/ele230/Rectifiers-6sp.pdf