12. 전원공급장치(전압조정기)(1: 커패시터 필터, RC필터, π(파이)형 필터)

12. 전원공급장치(전압조정기)(1: 커패시터 필터, RC필터, π(파이)형 필터)

전원공급장치는 부하에 관계없이 항상 일정한 공급을 공급한다. 다음은 미국에서 사용되는 전원공급장치의 블록선도이다.(미국: 110~120V(60Hz), 대한민국: 220V(60Hz))

\(120\text{V rms}\)의 교류전압이 변압기에 적용되면 원하는 직류 전압 형태로 조절되고 (다이오드) 정류기를 통과해 전파로 정류되어 (커패시터) 필터에 통과시키면 직류화 되지만 맥동(ripple), 교류전압파동이 포함되어있다. 이 때문에 집적회로(IC) 전압조정기를 이용하여 최종적으로 순수 직류성분만을 얻는다.

위 그림은 직류와 맥동이 포함된 필터전압의 신호이고 맥동은 평균값(직류)에서 변하는 신호의 정도이고 교류신호이다. 맥동률(ripple factor)은 \(\displaystyle r=\frac{V_{r\,(\text{rms})}}{V_{dc}}\times100\text{%}\)로 정의되고 이 값이 작을수록 좋다.

부하가 없는 경우(전류가 출력으로 흘러나가지 않는 경우)의 출력전압은 부하가 있는 경우(전류가 출력으로 흘러나가는 경우)에 비해 높게 나타난다. 부하가 없는 경우로부터 부하가 있는 경우로의 출력전압을 전압 조정률(voltage regulation)이라고 하고 \(V_{NL}\)이 무부하 전압, \(V_{FL}\)이 전부하 전압일 때, 전압조정률은 \(\displaystyle\text{VR}=\frac{V_{NL}-V_{FL}}{V_{FL}}\times100\text{%}\)이다.

임의의 신호를 \(v\)라고 하면 이 신호에는 직류 신호 \(V_{dc}\)와 교류신호 \(v_{dc}\)가 포함되어 있다(\(v=V_{dc}+v_{ac}\)). \(V_{ac(\text{rms})}\)를 \(v_{ac}\)의 실효값, \(V_{\text{rms}}\)를 \(v\)의 실효값, \(V_{ac}\)를 \(v\)의 실효값이라고 하면$$\begin{align*}V_{ac(\text{rms})}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{v_{ac}^{2}}dt}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{(v^{2}-2vV_{dc}+V_{ac}^{2})dt}}\\&=\sqrt{V_{\text{rms}}^{2}-2V_{dc}V_{dc}+V_{dc}^{2}}=\sqrt{V_{\text{rms}}^{2}-V_{dc}^{2}}\end{align*}$$이다.

반파정류신호 \(v\)에 대해서

평균값과 실효값이 각각$$V_{dc}=\frac{0}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{V_{m}\sin\omega tdt}=\frac{V_{m}}{\pi},\,V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{v^{2}dt}}=\sqrt{\int_{0}^{\frac{T}{2}}{V_{m}^{2}\sin^{2}\omega tdt}}=\sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{4}}=\frac{V_{m}}{2}$$이므로 \(\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\sqrt{V_{\text{rms}}^{2}-V_{dc}^{2}}=\sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{4}-\frac{V_{m}^{2}}{\pi^{2}}}=0.385V_{m}\)이고 맥동률은 \(\displaystyle r=\frac{0.385 V_{m}}{\frac{V_{m}}{\pi}}=121\text{%}\)이다.

전파정류신호 \(v\)에 대해서

평균값과 실효값이 각각$$V_{dc}=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{V_{m}\sin\omega tdt}=\frac{2V_{m}}{\pi},\,V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{v^{2}dt}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{V_{m}^{2}\sin^{2}\omega tdt}}=\sqrt{\frac{V_{m}}{2}}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$$이므로 \(\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\sqrt{V_{rms}^{2}-V_{dc}^{2}}=\sqrt{\frac{V_{m}^{2}}{2}-\frac{4V_{m}^{2}}{\pi^{2}}}=0.308V_{m}\)이고 맥동률은 \(\displaystyle r=\frac{0.308V_{m}}{\frac{2V_{m}}{\pi}}=48\text{%}\)이다.

다음은 커패시터 필터를 나타낸 것이다.

다음은 위 커패시터 필터에서 스위치가 닫혔을 때 나타나는 파형(위 그림에서 맨 밑 오른쪽 그림)을 근사화 하는 과정을 나타낸 것이다.

\(T\)는 입력신호의 주기, \(T_{1}\)은 다이오드가 도통해서 커패시터(\(C\))를 통해 \(V_{m}\)까지 충전하는 시간, \(T_{2}\)는 정류부의 전압이 커패시터(\(C\)) 양단 전압보다 작아질 때 다이오드가 OFF되고 충전전압이 부하를 통해서 방전하는 시간이다.

부하저항 \(R_{L}\)이 크면 커패시터는 조금반 방전하고 평균전압값은 \(V_{m}\)에 가까워져 맥동률(\(r\))이 작으나 \(R_{L}\)이 작으면 커패시터는 많이 방전하고 평균전압값은 \(V_{m}\)보다 작아서 맥동률(\(r\))이 크다.

위 그림은 앞의 파형을 조금더 확대해서 근사한 파형이다(왼쪽 부분). 이 때의 평균값은 \(V_{dc}=V_{m}-\frac{V_{r(p-p)}}{2}\)이고 실효값은 \(\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\frac{V_{r(p-p)}}{2\sqrt{3}}\)(과정이 복잡하다, 왼쪽 부분 \(V_{r(p-p)}\)부분의 삼각형 그림을 참고할 것)이다.

위 그림의 가운데-오른쪽을 보면 기울기가 거의 같기 때문에 \(\displaystyle\frac{V_{r(p-p)}}{T_{1}}=\frac{V_{m}}{\frac{T}{4}}\)라고 할 수 있고 따라서 \(\displaystyle T_{1}=\frac{V_{r(p-p)}}{V_{m}}=\frac{T}{4}\), \(\displaystyle T_{2}=\frac{T}{2}-T_{1}=\frac{(2V_{m}-V_{r(p-p)})T}{4V_{m}}=\frac{2V_{m}-V_{r(p-p)}}{V_{m}}\frac{T}{4}=\frac{V_{dc}}{V_{m}}\frac{T}{2}\) 이고 \(\displaystyle V_{r(p-p)}=\frac{1}{C}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{idt}=\frac{I_{dc}T_{2}}{C}\)이므로 \(\displaystyle V_{r(\text{rms})}=\frac{V_{r(p-p)}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{I_{dc}}{2fC}\frac{V_{dc}}{V_{m}}=\frac{I_{dc}}{4\sqrt{3}fC}\frac{V_{dc}}{V_{m}}\)(\(R_{L}\)이 매우 크면 \(V_{dc}\simeq V_{m}\))이고 \(\displaystyle V_{dc}=V_{m}-\frac{V_{r(p-p)}}{2}=V_{m}-\frac{I_{dc}}{4fC}\frac{V_{dc}}{V_{m}}\)(\(R_{L}\)이 매우 크면 \(V_{dc}\simeq V_{m}\))이다(\(I_{dc}\)가 증가하면 \(V_{dc}\)가 감소하고, 커패시터의 값이 크면 \(V_{dc}\)가 증가한다).

맥동률을 구하면 \(\displaystyle r=\frac{V_{r(\text{rms})}}{V_{dc}}=\frac{1}{V_{dc}}\frac{I_{dc}}{4\sqrt{3}fC}=\frac{1}{V_{dc}}\frac{V_{dc}}{4\sqrt{3}fCR_{L}}=\frac{1}{4\sqrt{3}fCR_{L}}\)이다. 이때 \(I_{dc}\)가 커지면 맥동률이 증가하고, 커패시터의 값이 크면 맥동률은 감소한다.

커패시터 필터에서 커패시터의 값이 크면 평균값이 크고 맥동률이 작게 되므로 좋은 필터가 되지만 충전 중에 큰 최대전류가 발생해서 다이오드가 최대 전류를 견뎌야 하고, 잘못하면 이상이 생길 수 있다.

방전되는 동안 커패시터에 부하가 공급하는 전하량 \((T-T_{1})I_{dc}\approx TI_{dc}\)는 충전되는 동안 커패시터에 충전하는 전하량 \(I_{\text{peak}T_{1}}\)과 같다야 한다. 커패시터의 값이 크면 방전이 적게 일어나고 방전되는 전압도 감소해서 입력전압이 커패시터 전압보다 큰 부분이 적게 되므로 중전시간이 짧아져서 \(I_{\text{peak}}\)의 값이 크다.(아래 그림 참고)

위 그림에서 \(TI_{dc}=T_{1}I_{\text{peak}}\)이어야 하므로 \(\displaystyle I_{\text{peak}}=\frac{T}{T_{1}}I_{dc}\)이고 \(T_{1}\)이 줄어들면 \(I_{\text{peak}}\)가 커지게 되나 다이오드가 증가한 \(I_{\text{peak}}\)의 전류를 견뎌야 한다.

RC필터

위 그림은 커패시터 필터와 부하 사이에 RC필터를 추가한 회로로 RC필터가 위 그림처럼 추가되면 맥동률이 감소하게 되지만 평균값이 감소하게 된다.

위 그림은 직류, 교류 RC필터의 등가회로로 전류가 커패시터 \(C_{1}\)을 통과할 때 직류전류, 교류 맥동전압이 발생한다.

직류해석을 하면 \(\displaystyle V_{dc}'=\frac{R_{L}}{R+R_{L}}V_{dc}\)이고 교류해석을 하면 \(\displaystyle X_{C}=\frac{1}{\omega C}\)이고 \(X_{C}\ll R_{L}\)이므로 \(X_{C}||R_{L}\simeq X_{C}\)이고 \(\displaystyle V_{r(\text{rms})}'=\frac{X_{C}}{\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}}V_{r(\text{rms})}\simeq\frac{X_{C}}{R}V_{r(\text{rms})}\)이다.

π형 필터

위의 그림은 커패시터 필터와 부하 사이에 LC필터를 추가한 회로로 위의 RC필터보다 맥동률이 더욱 감소하고 이 때의 평균값은 \(V_{dc}\)의 값에 거의 가깝다. 이 π형 필터 회로의 직류등가회로의 해석은 위의 RC필터의 경우와 같고, 교류등가회로의 해석은 \(X_{C}\ll X_{L}\), \(X_{C}\ll R_{L}\)이므로 \(X_{C}||R_{L}\simeq X_{C}\)이고 \(\displaystyle V'_{r(\text{rms})}=\frac{X_{C}}{\sqrt{X_{C}^{2}+X_{L}^{2}}}V_{r(\text{rms})}\)이다(맥동률 감소).

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

http://usartsuhak.com/EZ/board/view.asp?BoardModule=Board&tbcode=blog01&seq=48

http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4497&m_search=%EC%A0%84%EC%9B%90%EA%B3%B5%EA%B8%89%EC%9E%A5%EC%B9%98

http://www.ee.hacettepe.edu.tr/~usezen/ele230/Rectifiers-6sp.pdf