1. 능동필터, 비선형 연산증폭기 응용회로

1. 능동필터, 비선형 연산증폭기 응용회로

능동필터

저항, 인덕터, 커패시터 등의 수동소자로만 구성된 필터를 수동필터(passive filter)라고 하고, 저항, 커패시터와 증폭기(트랜지스터 또는 연산증폭기, 신호를 증폭시키거나 버퍼(완충, buffer) 목적으로 사용)로 구성된 필터를 능동필터(active filter)라고 한다.

능동필터는 인덕터가 없어서 값이 싸고, 독립적으로 설계해서 cascade연결이 가능하며 전압이득을 조절할 수 있지만 공급전원이 필요하고, 선형동작이 제한된 범위 내에서 이루어지고, 주파수 한계가 있다.

필터의 종류에는 LPF(Low Pass Filter, 저역 통과필터), HPF(High Pass Filter, 고역 통과필터), BPF(Band Pass Filter, 대역 통과필터) 등이 있다.

1차 필터 중에서 전달함수가 \(\displaystyle\frac{a}{\mathbf{s}+\omega_{c}}\)인 필터는 LPF(저역통과필터), \(\displaystyle\frac{a\mathbf{s}}{\mathbf{s}+\omega_{c}}\)인 필터는 HPF(고역통과필터), \(\displaystyle\frac{\mathbf{s}-a}{\mathbf{s}+a}\)인 필터는 APF(All Pass Filter, 전역통과필터)이다.(\(\omega_{c}\)는 차단 각주파수)

(1차 저역 통과 필터와 고역 통과 필터의 주파수에 따른 전압이득 그래프)

2차 필터 중에서 전달함수가 \(\displaystyle\frac{c}{\mathbf{s}^{2}+a\mathbf{s}+b}\)인 필터는 LPF(저역 통과필터), \(\displaystyle\frac{c\mathbf{s}^{2}}{\mathbf{s}^{2}+a\mathbf{s}+b}\)인 필터는 HPF(고역 통과필터), \(\displaystyle\frac{c\mathbf{s}}{\mathbf{s}^{2}+a\mathbf{s}+b}\)인 필터는 BPF(대역 통과필터), \(\displaystyle\frac{\mathbf{s}^{2}-a\mathbf{s}+b}{\mathbf{s}^{2}+a\mathbf{s}+b}\)인 필터는 APF(전역 통과필터)이다.

다음의 회로는 1차 저역 통과필터이다.

연산증폭기의 +, -입력단자의 전압을 각각 \(v_{+},\,v_{-}\)라고 하면

식 \(\displaystyle\frac{v_{-}}{R_{G}}+\frac{v_{-}-V_{o}}{R_{F}}=0,\,\mathbf{s}C_{1}v_{+}+\frac{v_{+}-V_{1}}{R_{1}}=0\)을 얻고, 이 식으로부터 얻어진 식 \(\displaystyle v_{-}\left(\frac{1}{R_{G}}+\frac{1}{R_{F}}\right)=\frac{V_{o}}{R_{F}},\,v_{+}(\mathbf{s}R_{1}C_{1}+1)=V_{1}\)과 가상단락에 의해, 두 식 \(\displaystyle v_{+}=\frac{V_{1}}{\mathbf{s}R_{1}C_{1}+1}=v_{-}\)과 \(\displaystyle\frac{R_{G}+R_{F}}{R_{G}}\frac{V_{1}}{1+\mathbf{s}R_{1}C_{1}}=V_{o}\)를 얻는다. 따라서$$\begin{align*}A_{v}&=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R_{G}+R_{F}}{R_{G}}\frac{1}{1+\mathbf{s}R_{1}C_{1}}=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{1}{1+j2\pi fR_{1}C_{1}}\\&=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{\frac{1}{R_{1}C_{1}}}{\mathbf{s}+\frac{1}{R_{1}C_{1}}}=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{1}{1+j\frac{f}{f_{H}}}\end{align*}$$이고 직류(\(f=0\))일 때의 이득은 \(\displaystyle\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\)이며 고역차단주파수는 직류인 경우(\(f=0\))의 이득의 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)인 주파수이므로, 그 주파수 \(f_{H}\)는 \(\displaystyle f=\frac{1}{2\pi R_{1}C_{1}}\)이다.

다음의 회로는 2차 저역 통과필터이다.

연산증폭기의 +, -입력단자의 전압을 각각 \(v_{+},\,v_{-}\)라고 하면 다음의 세 식을 얻고

\(\displaystyle v_{-}=v_{+}=\frac{\frac{1}{\mathbf{s}C}}{R_{2}+\frac{1}{\mathbf{s}C}}V_{x}=\frac{1}{1+\mathbf{s}R_{2}C_{2}}V_{x}\), \(\displaystyle\frac{V_{x}-V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{x}-v_{-}}{R_{2}}+\mathbf{s}C_{1}(V_{x}-V_{o})=0\), \(\displaystyle\frac{v_{-}-V_{o}}{R_{F}}+\frac{v_{o}}{R_{G}}=0\)

따라서 이 필터의 전압이득은$$A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)}{\mathbf{s}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}+\mathbf{s}\left(R_{2}C_{2}+R_{1}C_{2}-R_{1}C_{1}\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)+1}$$이다.

다음 회로는 1차 고역 통과필터이다.

연산증폭기의 +, -입력단자의 전압을 각각 \(v_{+},\,v_{-}\)라고 하면 다음의 세 개의 식을 얻고 

\(\displaystyle\frac{v_{-}}{R_{G}}+\frac{v_{-}-V_{o}}{R_{F}}=0\), \(\displaystyle\mathbf{s}C_{1}(v_{+}-V_{1})+\frac{v_{+}}{R_{1}}=0\), \(\displaystyle v_{-}=\frac{R_{G}}{R_{G}+R_{F}}V_{o}=v_{+}\) 이 세개의 식으로부터

\(\displaystyle v_{-}\left(\frac{1}{R_{G}}+\frac{1}{R_{F}}\right)=\frac{V_{o}}{R_{f}}\), \(\displaystyle v_{+}\left(\mathbf{s}C_{1}+\frac{1}{R_{1}}\right)=\mathbf{s}C_{1}V_{1}\)이므로 \(\displaystyle\mathbf{s}C_{1}V_{1}=\frac{R_{G}}{R_{G}+R_{F}}V_{o}\left(\mathbf{s}C_{1}+\frac{1}{R_{1}}\right)\)이고$$\begin{align*}A_{v}&=\frac{V_{o}}{V_{1}}=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{\mathbf{s}R_{1}C_{1}}{1+\mathbf{s}R_{1}C_{1}}=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{1}{1+\frac{1}{\mathbf{s}R_{1}C_{1}}}\\&=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{1}{1-j\frac{1}{2\pi fR_{1}C_{1}}}=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{1}{1-j\frac{f_{L}}{f}}\\&=\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{s}+\frac{1}{R_{1}C_{1}}}\end{align*}$$이다.

주파수가 무한대(\(f=\infty\))일 때의 이득은 \(\displaystyle\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)\)이고 저역차단주파수는 고주파(\(f=\infty\))일 때의 이득의 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)인 주파수이므로 그 주파수 \(f_{L}\)은 \(\displaystyle f_{L}=\frac{1}{2\pi R_{1}C_{1}}\)이다.

다음 회로는 2차 고역 통과필터이다.

연산증폭기의 +, -입력단자의 전압을 각각 \(v_{+},\,v_{-}\)라고 하면, 다음의 세 개의 식들을 얻고

\(\displaystyle v_{+}=v_{-}=\frac{R_{G}}{R_{G}+R_{F}}V_{o}\), \(\displaystyle\mathbf{s}C_{2}(v_{+}-V_{x})+\frac{v_{+}}{R_{2}}=0\), \(\displaystyle\mathbf{s}C_{1}(V_{x}-V_{1})+\frac{V_{x}}{R_{1}}+\mathbf{s}C_{2}(V_{x}-v_{+})=0\)

따라서 이 필터의 전압이득은$$A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{\mathbf{s}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\left(1+\frac{R_{F}}{R_{G}}\right)}{\mathbf{s}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}+\mathbf{s}(R_{1}C_{1}+R_{2}C_{2}+R_{1}C_{2})+1}$$이다.

다음의 회로는 대역 통과필터로 저역 통과필터와 고역 통과필터의 cascade연결이다.

이때 \(f_{L}<f_{H}\)(저역차단주파수<고역차단주파수)이어야 대역 통과필터 역할을 한다.

다음의 필터

에서 식 \(\displaystyle\frac{V_{x}-V_{in}}{R_{1}}+\frac{V_{x}}{R_{3}}+\mathbf{s}C_{2}(V_{x}-v_{-})+\mathbf{s}C_{1}(V_{x}-V_{out})\), \(v_{-}=v_{+}=0\), \(\displaystyle\mathbf{s}C_{2}(v_{-}-V_{x})+\frac{v_{-}-V_{out}}{R_{2}}=0\)을 얻고 이 식들로부터$$A_{v}=\frac{V_{out}}{V_{in}}=-\frac{\mathbf{s}C_{2}R_{2}}{\mathbf{s}^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}+\mathbf{s}R_{1}(C_{1}+C_{2})+1+\frac{R_{1}}{R_{3}}}$$이고, 이 필터는 대역 통과필터이다.

다음의 필터

에서 식 \(\displaystyle\frac{V_{x}-V_{in}}{R_{1}}+\mathbf{s}C_{2}(V_{x}-v_{-})+\mathbf{s}C_{1}(V_{x}-V_{out})=0\), \(\displaystyle v_{-}=v_{+}=\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{in}\), \(\displaystyle\mathbf{s}C_{2}(v_{-}-V_{x})+\frac{v_{-}-V_{out}}{R_{2}}=0\)을 얻고,

\(\displaystyle V_{x}=\left(1+\frac{1}{\mathbf{s}C_{2}R_{2}}\right)v_{-}+\frac{1}{\mathbf{s}C_{2}R_{2}}V_{out}\), \(\displaystyle\left(\frac{1}{R_{1}}+\mathbf{s}C_{2}+\mathbf{s}C_{1}\right)V_{x}-\frac{V_{in}}{R_{1}}-\mathbf{s}C_{2}v_{-}-\mathbf{s}C_{1}V_{out}=0\)이므로$$A_{v}=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}\frac{\mathbf{s}^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}+\mathbf{s}(R_{1}C_{2}+R_{1}C_{2}-R_{2}C_{2}\frac{R_{3}}{R_{4}})+1}{\mathbf{s}^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}+\mathbf{s}R_{1}(C_{1}+C_{2})+1}$$이고 대역 차단필터(Band Stop Filter)이다.

비선형 연산증폭기 응용회로

*연산증폭기 귀환(feedback)회로가 구성될 때만 가상단락이 성립한다. 즉 \(v_{-}=v_{+}\)는 귀환 회로가 구성될 때만 사용가능하다.

다음은 로그 증폭기(logarithmic amplifier)로 다이오드와 BJT로 구현한 것이다.

다이오드 로그 증폭기

다이오드에 흐르는 전류 \(I_{F}\)는 \(\displaystyle I_{F}=I_{S}(e^{\frac{V_{F}}{V_{T}}}-1)\approx I_{S}e^{\frac{V_{F}}{V_{T}}}=\frac{V_{in}}{R_{1}}\)이고 \(V_{out}=-V_{F},\,V_{T}=26\text{mV}\)이므로 \(\displaystyle\log_{e}\frac{V_{in}}{R_{1}I_{S}}=\frac{V_{F}}{V_{T}}\)이고 \(\displaystyle V_{out}=-V_{T}\log_{e}\frac{V_{in}}{R_{1}I_{S}}\,(V_{in}>0)\)이다.

BJT 로그 증폭기

누설전류를 \(I_{O}\)라고 하면 \(\displaystyle I_{C}=\frac{V_{in}}{R_{1}}=I_{O}e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}\)에서 \(\displaystyle\log_{e}\frac{V_{in}}{R_{1}I_{O}}=\frac{V_{BE}}{V_{T}}\)이고, \(V_{BE}=V_{B}-V_{E}=-V_{E}=-V_{out}\)이므로 \(\displaystyle V_{out}=-V_{T}\log_{e}\frac{V_{in}}{R_{1}I_{O}}\,(V_{in}>0)\)이다.

다음은 다이오드, BJT로 구현한 지수 증폭기(exponential amplifier, 역로그 증폭기)이다.

다이오드에 흐르는 전류는 \(\displaystyle i_{D}=-\frac{v_{O}}{R}=I_{S}e^{\frac{v_{D}}{V_{T}}}\)이고 \(v_{D}=-v_{I},\,v_{O}=Ri_{D}\)이므로 \(\displaystyle v_{O}=-I_{S}Re^{\frac{v_{I}}{V_{T}}}\)이다.

BJT 지수 증폭기의 경우는 \(\displaystyle V_{out}=-I_{O}R_{f}e^{\frac{V_{in}}{V_{T}}}\)이다.

지수증폭기와 로그증폭기, 가산증폭기, 반전증폭기(지수와 로그의 성질)를 이용하여 곱셈기를 설계할 수 있다.

위의 과정을 거쳐서 곱셈기를 만들 수 있다. 원리는 로그의 성질 \(\ln V_{1}+\ln V_{2}=\ln V_{1}V_{2}\)와 지수의 성질 \(e^{\ln V_{1}V_{2}}=V_{1}V_{2}\)이다.

위의 회로는 연산증폭기 회로 여러개를 연결하여 구현한 곱셈기이고 \(V_{out}=V_{in1}V_{in2}\)이며, 위 회로에서$$K_{1}=V_{T},\,R=R_{1}=R_{2}=R_{6},\,\displaystyle K_{2}=RI_{O}=\frac{R_{8}}{R_{7}},\,\displaystyle\frac{R_{5}}{R_{3}}=\frac{R_{5}}{R_{4}}=1$$이다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

Microelectronics Circuit Analysis and Design 4th edition, Neamen, McGraw-Hill

Electronic Devices Conventional Current Version 9th edition, Floyd, Pearson

https://www.digikey.com/en/articles/techzone/2017/nov/use-monolithic-universal-active-filter-ics-to-speed-iot-analog-front-end-design

https://amitdegada.weebly.com/uploads/4/8/8/0/488033/log_and_antilog_amplifier.pdf