[선형대수학] 17. 고유값과 고유벡터
A를 n×n행렬이라 하자. 벡터 x(≠0)∈Rn이 적당한 스칼라 λ∈R에 대하여Ax=λx를 만족하면, λ를 A의 고유값(eigenvalue)이라고 하고 x를 λ에 대응하는 A의 고유벡터(eigenvector)라고 한다.
A가 n×n행렬이라고 하자. 다음 명제들은 서로 동치이다.
(1) λ는 A의 한 고유값이다.
(2) det
(3) \lambda I-A는 정칙행렬이 아니다.
(4) 동차방정식 (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}은 비자명 해를 갖는다.
증명:
(1)\,\Rightarrow\,(4): \lambda가 A의 한 고유값이면 \lambda\mathbf{x}=A\mathbf{x}이고, (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}이다. 이때 \mathbf{x}는 영벡터가 아니므로 이 동차방정식의 비자명 해이고 \mathbf{x}\in\mathcal{N}(\lambda I-A)이다.
(4)\,\Rightarrow\,(3): 동차방정식 (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}이 비자명 해를 가지면 행렬 \lambda I-A는 정칙행렬이 아니다.
(3)\,\Rightarrow\,(2): 자명하다.
(2)\,\Rightarrow\,(1): A의 고유벡터를 찾기 위해 방정식 \det(\lambda I-A)=0을 풀고 각 \lambda에 대해 동차방정식 (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}의 해를 구한다. 그러면 \lambda가 A의 고유값이 됨을 확인할 수 있다.
여기서 \det(\lambda I-A)는 차수가 n인 \lambda에 대한 다항식이고, 이 다항식을 A의 특성다항식(characteristic polinomial)이라고 한다. 또한 A의 고유벡터 \mathbf{x}들은 \mathcal{N}(\lambda I-A)의 원소이고, 이 영공간을 \lambda에 대응하는 A의 고유공간(eigenspace)이라 하고 E(\lambda)로 나타낸다.
행렬A=\begin{pmatrix}2&\sqrt{2}\\ \sqrt{2}&1\end{pmatrix}의 고유값과 고유벡터를 구하자.\det(\lambda I-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-2&-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&\lambda-1\end{pmatrix}=\lambda^{2}-3\lambda=\lambda(\lambda-3)이므로 고유값은 \lambda_{1}=0,\,\lambda_{2}=3이다. 앞에서 구한 고유값을 동차방정식 (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}에 대입해서 고유벡터를 구하자.
\lambda_{1}=0일 때, (\lambda_{1}I-A)\mathbf{x}=-A\mathbf{x}=\mathbf{0}이므로\begin{cases}-2x_{1}-\sqrt{2}x_{2}&=0\\-\sqrt{2}x_{1}-x_{2}&=0\end{cases}이고 -\sqrt{2}x_{1}=x_{2}이므로 \lambda_{1}=0에 대응하는 고유벡터 \mathbf{x}_{1}은\mathbf{x}_{1}=\begin{pmatrix}-1\\ \sqrt{2}\end{pmatrix}이다.
\lambda_{2}=3일 때, (\lambda_{2}I-A)\mathbf{x}=(3I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}이므로\begin{cases}x_{1}-\sqrt{2}x_{2}&=0\\-\sqrt{2}x_{1}+2x_{2}&=0\end{cases}이고 x_{1}=\sqrt{2}x_{2}이므로 \lambda_{2}=3에 대응하는 고유벡터 \mathbf{x}_{2}는\mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}이다. 이때 \mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2}는 독립이다.
행렬A=\begin{pmatrix}3&-2&0\\-2&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}의 고유값과 고유벡터를 구하자.\det(\lambda I-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-3&2&0\\2&\lambda-3&0\\0&0&\lambda-5\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-5)^{2}이므로 고유값은 \lambda_{1}=1,\,\lambda_{2}=5이고 \lambda_{2}=5의 중복도는 2이다.(\lambda I-A)\mathbf{x}=\begin{pmatrix}\lambda-3&2&0\\2&\lambda-3&0\\0&0&\lambda-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}이므로
\lambda_{1}=1일 때\begin{pmatrix}-2&2&0\\2&-2&0\\0&0&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}이므로\mathbf{x}=\begin{pmatrix}t\\t\\0\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}이고,
\lambda_{2}=5일 때\begin{pmatrix}2&2&0\\2&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}이므로\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-s\\s\\t\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}이다. 그러면 \lambda_{1}=1에 대응하는 고유벡터를 \mathbf{x}_{1}, \lambda_{2}=5에 대응하는 고유벡터를 \mathbf{x}_{2},\,\mathbf{x}_{3}이라 하면\mathbf{x}_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{x}_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}이고 \mathbf{x}_{1}\in E(\lambda_{1}),\,\mathbf{x}_{2},\,\mathbf{x}_{3}\in E(\lambda_{2})이다.
참고자료:
Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser
이공학도를 위한 선형대수학, 김명재, 휴먼싸이언스
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