[선형대수학] 15. 내적공간 (3: 단위벡터, 정규직교기저, 직교사영)

[선형대수학] 15. 내적공간 (3: 단위벡터, 정규직교기저, 직교사영)

길이가 \(1\)인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 내적공간 \(V\)상의 벡터 \(\mathbf{x}(\neq\mathbf{0})\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{1}{||\mathbf{x}||}\mathbf{x}\)는 단위벡터이다. 벡터의 길이가 \(1\)이 되게끔 어떤 벡터에 그 벡터의 길이의 역수를 곱하는 과정을 정규화(normalization)라고 한다. 예를들어 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 벡터 \(\mathbf{u}=(2,\,-2,\,1)\)를 정규화하면 \(||\mathbf{u}||=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{||\mathbf{u}||}\mathbf{u}=\left(\frac{2}{3},\,-\frac{2}{3},\,\frac{1}{3}\right)\)는 \(\mathbf{u}\)의 정규화된 단위벡터이다.

내적공간 \(V\)상의 벡터 \(\mathbf{x}_{1},\,...,\,\mathbf{x}_{k}\)에 대하여$$\langle\mathbf{x}_{i},\,\mathbf{x}_{j}\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}0&\,(i\neq j)\\1&\,(i=j)\end{cases}$$이면 이 벡터들을 정규직교(orthonormal)라고 하고 \(V\)상의 기저 \(\{\mathbf{x}_{1},\,...,\,\mathbf{x}_{k}\}\)가 정규직교이면 \(V\)의 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.

\(V\)를 벡터공간, \(U,\,W\)를 \(V\)의 부분공간이라 하자. \(V=U\oplus W\)이고 임의의 \(\mathbf{u}\in U\), \(\mathbf{w}\in W\)에 대하여 \(\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{w}\in U\oplus W\), \(T(\mathbf{X})=\mathbf{u}\)이면 선형변환 \(T:\,V\,\rightarrow\,V\)를 \(V\)에서 부분공간 \(U\)로의 사영(projection)이라고 한다.

\(U\), \(W\)를 내적공간 \(V\)의 부분공간이라 하자. 임의의 \(\mathbf{u}\in U\), \(\mathbf{w}\in W\)에 대하여 \(\langle\mathbf{u},\,\mathbf{w}\rangle=0\)이면 \(U\)와 \(W\)는 직교(orthogonal)라 하고 \(U\perp W\)로 나타낸다. 이때 \(U\cap W=\{\mathbf{0}\}\)이다. \(U\)의 모든 벡터들과 수직인 \(V\)상의 모든 벡터들의 집합을 \(U\)의 직교 여집합(orthogonal complement)이라 하고 이를 \(U^{\perp}\)로 나타낸다. 즉,$$U^{\perp}=\{\mathbf{v}\in V\,|\,\langle\mathbf{v},\,\mathbf{u}\rangle=0,\,\mathbf{u}\in U\}$$\(V\)를 내적공간, \(U\)를 \(V\)의 부분공간이라 하면 다음의 성질들이 성립한다.

(1) \(\dim U+\dim U^{\perp}=\dim V\)

(2) \(\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U\)

(3) \(V=U\oplus U^{\perp}\), 이는 임의의 \(\mathbf{x}\in V\)에 대하여 유일한 \(\mathbf{x}_{U}\in U\), \(\mathbf{x}_{U^{\perp}}\in U^{\perp}\)가 존재해서 \(\mathbf{x}=\mathbf{x}_{U}+\mathbf{x}_{U^{\perp}}\)이고 이를 \(V\)(또는 \(\mathbf{x}\))의 \(U\)에 의한 직교분해(orthogonal decomposition)라고 한다.

(1)에 대한 증명은 생략하겠다. \(U\)상의 모든 벡터들은 \(U^{\perp}\)와 직교한다. 즉 \(U\subset\left(U^{\perp}\right)^{\perp}\)이고 (1)에 의해 \(\dim\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=n-\dim U^{\perp}=\dim U\)이므로 \(\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U\)이다. 이렇게 해서 (2)를 증명했다.

(3)을 증명하면 \(U\)에 대한 기저 \(\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{k}\}\)에 대하여 \(U^{\perp}\)에 대한 기저 \(\{\mathbf{v}_{k+1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}\)을 선택하자. \(U\cap U^{\perp}=\{\mathbf{0}\}\)이기 때문에 \(\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{k},\,\mathbf{v}_{k+1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}\)은 일차독립이고 \(V\)의 기저이다. 그러므로 모든 \(\mathbf{x}\in V\)에 대하여 유일하게$$\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{k}{a_{i}\mathbf{v}_{i}}+\sum_{j=k+1}^{n}{b_{j}\mathbf{v}_{j}}$$로 나타낼 수 있다. \(\displaystyle\mathbf{x}_{U}=\sum_{i=1}^{k}{a_{i}\mathbf{v}_{j}}\in U\), \(\displaystyle\mathbf{x}_{U^{\perp}}=\sum_{j=k+1}^{n}{b_{j}\mathbf{v}_{j}}\in U^{\perp}\)를 선택하자. 유일함을 보이기 위해 \(\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{w}\,(\mathbf{u}\in U,\,\mathbf{w}\in U^{\perp})\)라 하자. 그러면 \(\mathbf{x}_{U}-\mathbf{u}=\mathbf{w}-\mathbf{x}_{U^{\perp}}\in U\cap U^{\perp}=\{\mathbf{0}\}\)이므로 \(\mathbf{x}_{U}=\mathbf{u}\), \(\mathbf{x}_{U^{\perp}}=\mathbf{w}\)이다.

\(V\)를 내적공간, \(U\)를 \(V\)의 부분공간, \(V=U\oplus U^{\perp}\)라 하자. \(\mathbf{x}\in V\)의 \(U\)로의 직교사영(orthogonal projection)을 \(\text{Proj}_{U}\mathbf{x}\)로 나타낸다. \(V\)상의 단위벡터 \(\mathbf{u}\)는 부분공간 \(U=\{r\mathbf{u}\,|\,r\in\mathbb{R}\}\)을 결정한다. 그러므로 \(\mathbf{x}\)의 \(U\)로의 직교사영을 \(\text{Proj}_{U}\mathbf{x}=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{u}\rangle\mathbf{u}\)로 나타낼 수 있다.

2차원 평면 \(\mathbb{R}^{2}\)상에 있는 점 \(\text{P}(x_{0},\,y_{0})\)에서 직선 \(ax+by+c=0\)으로의 최단거리를 구하자. 벡터 \(\vec{n}=(a,\,b)\)는 직선 \(ax+by+c=0\)과 수직이다. 그러므로 벡터 \(\overrightarrow{\text{QP}}\)의 \(\vec{n}\)위로의 정사영의 크기는 앞에서 구하고자 하는 직선의 최단거리이고, 그 최단거리는$$\begin{align*}d&=||\text{Proj}_{\vec{n}}\overrightarrow{\text{QP}}||=\frac{|\overrightarrow{\text{QP}}\cdot\vec{n}|}{||\vec{n}||}\\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{align*}$$이다. \(\text{Q}(x_{1},\,y_{1})\)은 직선 위의 점이므로 \(ax_{1}+by_{1}+c=0\)이다.  

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser