[선형대수학] 15. 내적공간 (3: 단위벡터, 정규직교기저, 직교사영)

[선형대수학] 15. 내적공간 (3: 단위벡터, 정규직교기저, 직교사영)

길이가 $1$인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 내적공간 $V$상의 벡터 $\mathbf{x}(\neq\mathbf{0})$에 대하여 $\displaystyle\frac{1}{||\mathbf{x}||}\mathbf{x}$는 단위벡터이다. 벡터의 길이가 $1$이 되게끔 어떤 벡터에 그 벡터의 길이의 역수를 곱하는 과정을 정규화(normalization)라고 한다. 예를들어 $\mathbb{R}^{3}$상의 벡터 $\mathbf{u}=(2,\,-2,\,1)$를 정규화하면 $||\mathbf{u}||=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3$이므로 $\displaystyle\frac{1}{||\mathbf{u}||}\mathbf{u}=\left(\frac{2}{3},\,-\frac{2}{3},\,\frac{1}{3}\right)$는 $\mathbf{u}$의 정규화된 단위벡터이다.

내적공간 $V$상의 벡터 $\mathbf{x}_{1},\,...,\,\mathbf{x}_{k}$에 대하여

$$\langle\mathbf{x}_{i},\,\mathbf{x}_{j}\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}0&\,(i\neq j)\\1&\,(i=j)\end{cases}$$ 이면 이 벡터들을 정규직교(orthonormal)라고 하고 $V$상의 기저 $\{\mathbf{x}_{1},\,...,\,\mathbf{x}_{k}\}$가 정규직교이면 $V$의 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.

$V$를 벡터공간, $U,\,W$를 $V$의 부분공간이라 하자. $V=U\oplus W$이고 임의의 $\mathbf{u}\in U$, $\mathbf{w}\in W$에 대하여 $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{w}\in U\oplus W$, $T(\mathbf{X})=\mathbf{u}$이면 선형변환 $T:\,V\,\rightarrow\,V$를 $V$에서 부분공간 $U$로의 사영(projection)이라고 한다.

$U$, $W$를 내적공간 $V$의 부분공간이라 하자. 임의의 $\mathbf{u}\in U$, $\mathbf{w}\in W$에 대하여 $\langle\mathbf{u},\,\mathbf{w}\rangle=0$이면 $U$와 $W$는 직교(orthogonal)라 하고 $U\perp W$로 나타낸다. 이때 $U\cap W=\{\mathbf{0}\}$이다. $U$의 모든 벡터들과 수직인 $V$상의 모든 벡터들의 집합을 $U$의 직교 여집합(orthogonal complement)이라 하고 이를 $U^{\perp}$로 나타낸다. 즉,

$$U^{\perp}=\{\mathbf{v}\in V\,|\,\langle\mathbf{v},\,\mathbf{u}\rangle=0,\,\mathbf{u}\in U\}$$ $V$를 내적공간, $U$를 $V$의 부분공간이라 하면 다음의 성질들이 성립한다.

(1) $\dim U+\dim U^{\perp}=\dim V$

(2) $\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$

(3) $V=U\oplus U^{\perp}$, 이는 임의의 $\mathbf{x}\in V$에 대하여 유일한 $\mathbf{x}_{U}\in U$, $\mathbf{x}_{U^{\perp}}\in U^{\perp}$가 존재해서 $\mathbf{x}=\mathbf{x}_{U}+\mathbf{x}_{U^{\perp}}$이고 이를 $V$(또는 $\mathbf{x}$)의 $U$에 의한 직교분해(orthogonal decomposition)라고 한다.

(1)에 대한 증명은 생략하겠다. $U$상의 모든 벡터들은 $U^{\perp}$와 직교한다. 즉 $U\subset\left(U^{\perp}\right)^{\perp}$이고 (1)에 의해 $\dim\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=n-\dim U^{\perp}=\dim U$이므로 $\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$이다. 이렇게 해서 (2)를 증명했다.

(3)을 증명하면 $U$에 대한 기저 $\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{k}\}$에 대하여 $U^{\perp}$에 대한 기저 $\{\mathbf{v}_{k+1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$을 선택하자. $U\cap U^{\perp}=\{\mathbf{0}\}$이기 때문에 $\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{k},\,\mathbf{v}_{k+1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$은 일차독립이고 $V$의 기저이다. 그러므로 모든 $\mathbf{x}\in V$에 대하여 유일하게

$$\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{k}{a_{i}\mathbf{v}_{i}}+\sum_{j=k+1}^{n}{b_{j}\mathbf{v}_{j}}$$ 로 나타낼 수 있다. $\displaystyle\mathbf{x}_{U}=\sum_{i=1}^{k}{a_{i}\mathbf{v}_{j}}\in U$, $\displaystyle\mathbf{x}_{U^{\perp}}=\sum_{j=k+1}^{n}{b_{j}\mathbf{v}_{j}}\in U^{\perp}$를 선택하자. 유일함을 보이기 위해 $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{w}\,(\mathbf{u}\in U,\,\mathbf{w}\in U^{\perp})$라 하자. 그러면 $\mathbf{x}_{U}-\mathbf{u}=\mathbf{w}-\mathbf{x}_{U^{\perp}}\in U\cap U^{\perp}=\{\mathbf{0}\}$이므로 $\mathbf{x}_{U}=\mathbf{u}$, $\mathbf{x}_{U^{\perp}}=\mathbf{w}$이다.

$V$를 내적공간, $U$를 $V$의 부분공간, $V=U\oplus U^{\perp}$라 하자. $\mathbf{x}\in V$의 $U$로의 직교사영(orthogonal projection)을 $\text{Proj}_{U}\mathbf{x}$로 나타낸다. $V$상의 단위벡터 $\mathbf{u}$는 부분공간 $U=\{r\mathbf{u}\,|\,r\in\mathbb{R}\}$을 결정한다. 그러므로 $\mathbf{x}$의 $U$로의 직교사영을 $\text{Proj}_{U}\mathbf{x}=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{u}\rangle\mathbf{u}$로 나타낼 수 있다.

2차원 평면 $\mathbb{R}^{2}$상에 있는 점 $\text{P}(x_{0},\,y_{0})$에서 직선 $ax+by+c=0$으로의 최단거리를 구하자. 벡터 $\vec{n}=(a,\,b)$는 직선 $ax+by+c=0$과 수직이다. 그러므로 벡터 $\overrightarrow{\text{QP}}$의 $\vec{n}$위로의 정사영의 크기는 앞에서 구하고자 하는 직선의 최단거리이고, 그 최단거리는

$$\begin{align*}d&=||\text{Proj}_{\vec{n}}\overrightarrow{\text{QP}}||=\frac{|\overrightarrow{\text{QP}}\cdot\vec{n}|}{||\vec{n}||}\\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{align*}$$ 이다. $\text{Q}(x_{1},\,y_{1})$은 직선 위의 점이므로 $ax_{1}+by_{1}+c=0$이다.  

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser