[선형대수학] 13. 내적공간 (1: 내적의 정의)

[선형대수학] 13. 내적공간 (1: 내적의 정의)

고등학고 수학(기하와 벡터)과 대학교 다변수 미적분학 시간에 벡터의 내적을 2차원 벡터의 경우 $\vec{a}=(a_{1},\,b_{1})$, $\vec{b}=(b_{1},\,b_{2})$일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$, 3차원 벡터의 경우 $\vec{a}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$, $\vec{b}=(b_{1},\,b_{2},\,b_{3})$일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$으로 정의한다고 배웠을 것이다. 또한 두 벡터가 이루는 각 $\theta(-\pi\leq\theta\leq\pi)$에 대하여 $$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}(\text{2-dimension}), \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\,(\text{3-dimension})$$ 라고 배웠을 것이다.

앞에서 언급했던 내적을 임의의 벡터공간의 벡터에 대해서 나타낼 수 있다. 즉 임의의 벡터공간 $V$에 대하여 $V$상의 임의의 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$에 대하여 내적(inner product) $\langle\cdot,\,\cdot\rangle:\,V\times V\,\rightarrow\,\mathbb{R}$을 실수$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle$로 정의하는데, 임의의 $\mathbf{x},\,\mathbf{y},\,\mathbf{z}\in V$와 스칼라 $k\in\mathbb{R}$에 대하여 다음의 성질들을 갖는다.

(1) $\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\langle\mathbf{y},\,\mathbf{x}\rangle$

(2) $\langle\mathbf{x}+\mathbf{y},\,\mathbf{z}\rangle=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{z}\rangle+\langle\mathbf{y},\,\mathbf{z}\rangle,\,\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}+\mathbf{z}\rangle=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle+\langle\mathbf{x},\,\mathbf{z}\rangle$

(3) $\langle k\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\langle\mathbf{x},\,k\mathbf{y}\rangle=k\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle$

(4) $\langle\mathbf{x},\,\mathbf{x}\rangle\geq0$, $\langle\mathbf{x},\,\mathbf{x}\rangle=0$일 필요충분조건은 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$(영벡터)

벡터공간 $V$와 내적 $\langle,\,\rangle$로 이루어진 순서쌍 $(V,\,\langle,\,\rangle)$을 내적공간(inner product space)이라고 한다. 이를 간단히 $V$로 나타낸다.

$\mathbb{R}^{n}$($n$차원 유클리드공간)상의 두 벡터 $\mathbf{x}=(x_{1},\,...,\,x_{n})$, $\mathbf{y}=(y_{1},\,...,\,y_{n})$에 대하여 이 두 벡터의 유클리드 내적(Euclidean inner product)을 $$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n}y_{n}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{y}$$ 로 정의하면 이는 내적이 된다. 이때 $(\mathbb{R}^{n},\,\cdot)$를 유클리드 $n$차원공간(Euclidean $n$-space)이라고 한다.

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 연속함수들의 집합 $C([a,\,b])$는 벡터공간이다. 임의의 $f,\,g\in C([a,\,b])$에 대하여 $$\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}$$ 로 정의된 연산은 내적이다.

내적공간 $V$상의 임의의 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$에 대하여 다음의 부등식이 성립한다. $$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle^{2}\leq\langle\mathbf{x},\,\mathbf{x}\rangle\langle\mathbf{y},\,\mathbf{y}\rangle$$ 이 부등식을 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)라고 부른다. $\mathbf{x}=\mathbf{0}$인 경우는 분명히 이 부등식이 성립하기 때문에 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$이라고 하자. 그러면 임의의 $t\in\mathbb{R}$에 대하여 내적의 정의에 의해 $$0\leq\langle t\mathbf{x}+\mathbf{y},\,t\mathbf{x}+\mathbf{y}\rangle=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{x}\rangle t^{2}+2\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle t+\langle\mathbf{y},\,\mathbf{y}\rangle$$ 이고 이 부등식이 성립하려면 $$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle^{2}-\langle\mathbf{x},\,\mathbf{x}\rangle\langle\mathbf{y},\,\mathbf{y}\rangle\leq0$$ 이어야 한다. 코시-슈바르츠 부등식에서 등식이 성립하는 경우는 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$가 서로 종속인 경우이다.

내적공간 $V$에서 $\mathbf{x}\in V$의 길이(length)를 다음과 같이 정의한다. $$||\mathbf{x}||=\sqrt{\langle\mathbf{x},\,\mathbf{x}\rangle}$$ $||\mathbf{x}||$는 벡터 $\mathbf{x}$의 길이이다. 이를 이용하여 두 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$의 거리(distance)를 다음과 같이 정의한다. $$d(\mathbf{x},\,\mathbf{y})=||\mathbf{x}-\mathbf{y}||$$ 이때 길이와 거리는 다음의 성질을 갖는다.

(1) $||\mathbf{x}||\geq0$, $||\mathbf{x}||=0$일 필요충분조건은 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$

(2) $||k\mathbf{x}||=|k|\,||\mathbf{x}||$

(3) $||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\leq||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||$ (삼각부등식)

(4) $d(\mathbf{x},\,\mathbf{y})\geq0$, $d(\mathbf{x},\,\mathbf{y})=0$일 필요충분조건은 $\mathbf{x}=\mathbf{y}$

(5) $d(\mathbf{x},\,\mathbf{y})=d(\mathbf{y},\,\mathbf{x})$

(6) $d(\mathbf{x},\,\mathbf{y})\leq d(\mathbf{x},\,\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\,\mathbf{y})$ (삼각부등식)

내적과 길이, 거리의 정의를 이용하여 쉽게 증명할 수 있다. (3)의 경우는 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면 쉽게 증명되고 (6)은 (3)을 이용해서 증명한다. $f$와 $g$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속함수일 때, 내적을 $\displaystyle\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}$로 정의한 다음, 코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식을 이용하여 다음의 부등식이 성립함을 보일 수 있다. $$(1)\,\left(\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}\right)^{2}\leq\left(\int_{a}^{b}{\{f(x)\}^{2}dx}\right)\left(\int_{a}^{b}{\{g(x)\}^{2}dx}\right)\\(2)\left(\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}^{2}dx}\right)^{\frac{1}{2}}\leq\left(\int_{a}^{b}{\{f(x)\}^{2}dx}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\int_{a}^{b}{\{g(x)\}^{2}dx}\right)^{\frac{1}{2}}$$

코시-슈바르츠 부등식으로부터 $$-1\leq\frac{\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle}{||\mathbf{x}||\,||\mathbf{y}||}\leq1$$ 이므로 유일한 $\theta\in[0,\,\pi]$가 존재하여 $$\cos\theta=\frac{\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle}{||\mathbf{x}||\,||\mathbf{y}||}$$ 이다. $\theta$를 두 벡터 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$사이의 각(angle)이라고 한다. 두 벡터 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$의 내적이 0, 즉 $\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=0$이 되는 경우, $\displaystyle\cos\frac{\pi}{2}=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=0$이므로 이 두 벡터를 수직(orthogonal 또는 perpendicular)이라고 한다.

내적공간 $V$상의 임의의 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$에 대하여 이 두 벡터의 각을 $\theta$라 할 때 $\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=||\mathbf{x}||\,||\mathbf{y}||\cos\theta$이므로 $$||\mathbf{x}+\mathbf{y}||^{2}=||\mathbf{x}||^{2}+||\mathbf{y}||^{2}+2||\mathbf{x}||\,||\mathbf{y}||\cos\theta$$ 이고 $\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}$($\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$가 서로 수직)일 때, $||\mathbf{x}+\mathbf{y}||=||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||$이다. 이를 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)라고 한다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser