[선형대수학] 11. 선형변환 (4: 닮음행렬)

[선형대수학] 11. 선형변환 (4: 닮음행렬)

\(V\)와 \(W\)를 기저가 \(\alpha\), \(\beta\), 차원이 \(m\), \(n\)인 벡터공간이라 하고 \(T:\,V\,\rightarrow\,W\)를 선형변환이라 하자. 만약 벡터공간 \(V\)와 \(W\)가 또다른 기저 \(\alpha'\), \(\beta'\)를 가지면 임의의 \(\mathbf{x}\in V\)에 대하여 다음이 성립한다.$$[\mathbf{x}]_{\alpha'}=[Id_{V}]_{\alpha}^{\alpha'},\,[T(\mathbf{x})]_{\beta'}=[Id_{W}]_{\beta}^{\beta'}[T(\mathbf{x})]_{\beta}$$여기서 \(Id_{V}\)와 \(Id_{W}\)는 각각 \(V\)에서 \(V\), \(W\)에서 \(W\)로의 항등변환이다. 이때$$[T(\mathbf{x})]_{\beta}=[T]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf{x}]_{\alpha},\,[T(\mathbf{x})]_{\beta'}=[T]_{\alpha'}^{\beta'}[\mathbf{x}]_{\alpha'}$$이므로$$\begin{align*}[T]_{\alpha'}^{\beta'}[\mathbf{x}]_{\alpha'}&=[T(\mathbf{x})]_{\beta'}=[Id_{W}]_{\beta}^{\beta'}[T(\mathbf{x})]_{\beta}=[Id_{W}]_{\beta}^{\beta'}[T]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf{x}]_{\alpha}\\&=[Id_{W}]_{\beta}^{\beta'}[T]_{\alpha}^{\beta}[Id_{V}]_{\alpha'}^{\alpha}[\mathbf{x}]_{\alpha'}\end{align*}$$이고 \(T=Id_{W}\circ T\circ Id_{V}\)이므로$$[T]_{\alpha'}^{\beta'}=[Id_{W}\circ T\circ Id_{V}]_{\alpha'}^{\beta'}=[Id_{W}]_{\beta}^{\beta'}[T]_{\alpha}^{\beta}[Id_{V}]_{\alpha'}^{\alpha}$$이다.\(Q=[Id_{V}]_{\alpha'}^{\alpha}\), \(P=[Id_{W}]_{\beta'}^{\beta}\)라고 하면 \(P^{-1}=[Id_{W}]_{\beta}^{\beta'}\)이므로$$[T]_{\alpha'}^{\beta'}=P^{-1}[T]_{\alpha}^{\beta}Q$$로 나타낼 수 있다.

\(W=V\), \(\alpha=\beta\), \(\alpha'=\beta'\)이면 \(P=Q\)이고 다음의 결론을 얻는다:

\(V\)를 순서기저 \(\alpha\), \(\beta\)를 갖는 벡터공간, \(T:\,V\,\rightarrow\,V\)를 선형변환, \(Q=[Id]_{\beta}^{\alpha}\)를 \(\beta\)에서 \(\alpha\)로의 전이행렬이라 하자. 그러면 \(Q\)는 역행렬을 갖고 \(Q^{-1}=[Id]_{\alpha}^{\beta}\)이고 임의의 \(\mathbf{x}\in V\)에 대하여 \([\mathbf{x}]_{\alpha}=Q[\mathbf{x}]_{\beta}\), \([T]_{\beta}=Q^{-1}[T]_{\alpha}Q\)가 성립한다. 이때 정사각행렬 \([T]_{\beta}\)와 \([T]_{\alpha}\)는 서로 닮은행렬(Similar)이라고 한다. 닮은행렬을 같은 크기의 정사각행렬 \(A,\,B\)에 대하여 역행렬을 갖는 행렬 \(Q\)가 존재해서 \(B=Q^{-1}AQ\)가 성립하는 행렬 \(A,\,B\)로 정의한다.

\(\beta=\{\mathbf{v}_{1},\,\mathbf{v}_{2},\,\mathbf{v}_{3}\}\,(\mathbf{v}_{1}=(1,\,1,\,0),\,\mathbf{v}_{2}=(1,\,0,\,1),\,\mathbf{v}_{3}=(0,\,1,\,1))\)를 벡터공간 \(\mathbb{R}^{3}\)에 대한 기저라 하고 \(T:\,\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 선형변환,$$[T]_{\beta}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&2&3\\-1&1&1\end{pmatrix}$$이라 하자. \(\alpha=\{e_{1},\,e_{2},\,e_{3}\}\)를 표준기저라 하면$$[Id]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix},\,[Id]_{\alpha}^{\beta}=\left([Id]_{\beta}^{\alpha}\right)^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}$$이므로$$[T]_{\alpha}=[Id]_{\beta}^{\alpha}[T]_{\beta}[Id]_{\alpha}^{\beta}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2&2\\3&-1&1\\-1&1&7\end{pmatrix}$$이고 \([T]_{\alpha}\)와 \([T]_{\beta}\)는 서로 닮음행렬이다.

\(D\)를 벡터공간 \(P_{2}(\mathbb{R})\)(2차 다항식 전체의 집합)에서의 미분연산자라 하자. \(P_{2}(\mathbb{R})\)의 두 순서기저 \(\alpha=\{1,\,x,\,x^{2}\}\), \(\beta=\{1,\,2x,\,4x^{2}-2\}\)에 대하여$$\begin{align*}D(1)&=0=0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^{2}\\D(x)&=1=1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^{2}\\D(x^{2})&=2x=0\cdot1+2\cdot x+0\cdot x^{2}\\ \\D(1)&=0=0\cdot1+0\cdot2x+0\cdot(4x^{2}-2)\\D(2x)&=2=2\cdot1+0\cdot2x+0\cdot(4x^{2}-2)\\D(4x^{2}-2)&=8x=0\cdot1+4\cdot2x+0\cdot(4x^{2}-2)\end{align*}$$이므로$$[D]_{\alpha}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix},\,[D]_{\beta}=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}$$이다.$$\begin{align*}1&=1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^{2}\\2x&=0\cdot1+2\cdot x+0\cdot x^{2}\\4x^{2}-2&=(-2)\cdot1+0\cdot x+4\cdot x^{2}\end{align*}$$이므로$$Q=[Id]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix},\,Q^{-1}=\left([Id]_{\beta}^{\alpha}\right)^{-1}=[Id]_{\alpha}^{\beta}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}4&0&2\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$이고 \([D]_{\beta}=Q^{-1}[D]_{\alpha}Q\)가 성립하며 \([D]_{\beta}\)와 \([D]_{\alpha}\)는 서로 닮음행렬이다.

다음의 행렬$$A=\begin{pmatrix}1&2&5\\0&1&6\\1&0&1\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&4&2\\0&0&3\end{pmatrix}$$은 서로 닮음행렬이 아니다. 이 두 행렬이 닮음행렬이라고 가정하면$$Q=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$$가 존재해서 \(Q^{-1}\)가 존재하고 \(B=Q^{-1}AQ\)이다. 그러면 \(QB=AQ\)이고$$QB=\begin{pmatrix}-a&4b&a+2b+3c\\-d&4e&d+2e+3f\\-g&4h&g+2h+3i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2d+5g&b+2e+5h&c+2f+5i\\d+6g&e+6h&f+6i\\a+g&b+h&c+i\end{pmatrix}=AQ$$이다.$$-a=a+2d+5g,\,-d=d+6g,\,-g=a+g$$이므로 \(a=-2g,\,d=-3g\)이고 \(-a=a+2d+5g=-2g-6g+5g=-3g\)이므로 따라서 \(a=3g\)이다. \(a=-2g\)와 \(a=3g\)가 동시에 성립하려면 \(a=g=0\)이어야 하고 그러면 \(d=0\)이다. 그러면 \(Q\)의 첫번째 열은 영벡터가 되고 \(\det Q=0\)이 되어 \(Q^{-1}\)가 존재한다는 사실에 모순이 된다. 그러므로 \(A\)와 \(B\)가 닮음행렬이라는 가정은 잘못되었고 따라서 \(A\)와 \(B\)는 닮음행렬이 아니다.

\(n\times n\)행렬 \(A\)와 \(B\)가 닮음행렬일 때

(1) \(\det A=\det B\)

(2) \(\text{tr}(A)=\text{tr}(B)\)

(3) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(A^{n}\)과 \(B^{n}\)은 닮음행렬이다.

(1)은 \(\det\)의 정의에 의해 명백하고 (2)는 행렬의 대각합 \(\text{tr}\)의 교환법칙으로부터$$\text{tr}(B)=\text{tr}(Q^{-1}AQ)=\text{tr}(Q^{-1}(AQ))=\text{tr}((AQ)Q^{-1})=\text{tr}(A)$$이다. (3)은 수학적 귀납법과 정의를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser