[선형대수학] 9. 선형변환 (2: 선형변환의 행렬)

[선형대수학] 9. 선형변환 (2: 선형변환의 행렬)

한 벡터공간의 순서기저(ordered basis)는 특정한 순서를 부여한 기저이다. $V$를 차원이 $n$이고 순서기저 $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$을 갖는 벡터공간이라 하자. $\beta=\{e_{1},\,...,\,e_{n}\}$를 $\mathbb{R}^{n}$상의 표준기저라 하고 순서를 정했다고 하자. 그러면 $\Phi(\mathbf{v}_{i})=e_{i}$로 정의된 선형변환 $\Phi$는 $V$에서 $\mathbb{R}^{n}$으로의 동형사상(isomorphism)이다. 이를 순서기저 $\alpha$에 대한 자연동형사상(natural isomorphism)이라고 한다.

임의의 $\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbf{v}_{i}}\in V$에 대하여 $\mathbf{x}$의 $\Phi$에 의한 상은 다음과 같다. $$\Phi(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\Phi(\mathbf{v}_{i})}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}e_{i}}=(a_{1},\,...,\,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}$$ 이를 기저 $\alpha$에 대한 $\mathbf{x}$의 좌표벡터(coordinate vector)라 하고 이를 $[\mathbf{x}]_{\alpha}(=\Phi(\mathbf{x}))$로 나타낸다. 이때 $[\mathbf{v}_{i}]_{\alpha}=e_{i}$이다.

다항식 $5+2x+3x^{2}$의 $P_{2}(\mathbb{R})$의 순서기저 $\alpha=\{1,\,x,\,x^{2}\}$에 대한 좌표벡터는 $5+2x+3x^{2}=5\cdot1+2\cdot x+3\cdot x^{2}$이므로 $(5,\,2,\,3)$이다. 순서기저 $\beta=\{1+x,\,1+x^{2},\,x+x^{2}\}$에 대한 좌표벡터를 구하면 $$\begin{align*}5+2x+3x^{2}&=a(1+x)+b(1+x^{2})+c(x+x^{2})\\&=(a+b)\cdot1+(a+c)\cdot x+(b+c)\cdot x^{2}\end{align*}$$ 이므로 $a+b=5,\,a+c=2,\,b+c=3$이고 $2(a+b+c)=5+2+3=10$이고 $a+b+c=5$. 따라서 $a=2,\,b=3,\,c=0$이므로 순서기저 $\beta$에 대한 좌표벡터는 $(2,\,3,\,0)$이다.

벡터공간 $V$에 대한 순서기저 $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$와 벡터공간 $W$에 대한 순서기저 $\beta=\mathbf{w}_{1},\,...,\,\mathbf{w}_{m}$을 선택하자. $T:\,V\,\rightarrow\,W$를 $V$에서 $W$로의 선형변환이라 하면 $$\begin{align*}T(\mathbf{v}_{1})&=a_{11}\mathbf{w}_{1}+a_{21}\mathbf{w}_{2}+\cdots+a_{m1}\mathbf{w}_{m}\\T(\mathbf{v}_{2})&=a_{12}\mathbf{w}_{1}+a_{22}\mathbf{w}_{2}+\cdots+a_{m2}\mathbf{w}_{m}\\ &\vdots\\T(\mathbf{v}_{n})&=a_{1n}\mathbf{w}_{1}+a_{2n}\mathbf{w}_{2}+\cdots+a_{mn}\mathbf{w}_{m}\end{align*}$$

이고 이를 간단히 나타내면 $$T(\mathbf{v}_{j})=\sum_{i=1}^{m}{a_{ij}\mathbf{w}_{i}}\,(1\leq j\leq n)$$ 이다. $T(\mathbf{v}_{j})$의 기저 $\beta$에 대한 좌표벡터 $[T(\mathbf{v}_{j})]_{\beta}$는 다음과 같이 열벡터로 나타낼 수 있다. $$[T(\mathbf{v}_{j})]_{\beta}=\begin{pmatrix}a_{1j}\\ \vdots\\a_{mj}\end{pmatrix}$$ 그러면 임의의 벡터 $\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{j=1}^{n}{x_{j}\mathbf{v}_{j}}\in V$에 대하여 $$\begin{align*}T(\mathbf{x})&=\sum_{j=1}^{n}{x_{j}T(\mathbf{v}_{j})}=\sum_{j=1}^{n}{\left(x_{j}\sum_{i=1}^{m}{a_{ij}\mathbf{w}_{i}}\right)}\\&=\sum_{i=1}^{m}{\left(\sum_{j=1}^{n}{x_{j}a_{ij}}\right)}\mathbf{w}_{i}=\sum_{i=1}^{m}{\left(\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{j}}\right)\mathbf{w}_{i}}\end{align*}$$ 이고 따라서 $T(\mathbf{x})$의 기저 $\beta$에 대한 좌표벡터는 $$[T(\mathbf{x})]_{\beta}=\begin{pmatrix}\sum_{j=1}^{n}{a_{1j}x_{j}}\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^{n}{a_{mj}x_{j}}{}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=A[\mathbf{x}]_{\alpha}$$ 이고 여기서 $[\mathbf{x}]_{\alpha}=(x_{1},\,...,\,x_{n})$는 $V$의 기저 $\alpha$에 대한 $\mathbf{x}$의 좌표벡터이다.

여기서 행렬 $A$의 열벡터들은 $T(\mathbf{v}_{j})$의 기저 $\beta$에 대한 좌표벡터 $[T(\mathbf{v}_{j})]_{\beta}$들로 구성되어있다. 이 행렬 $A$를 $T$의 기저 $\alpha$와 $\beta$에 대한 행렬표현(matrix representation)이라고 하고 이를 $A=[T]_{\alpha}^{\beta}$로 나타낸다. 이때 $$[T(\mathbf{x})]_{\beta}=[T]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf{x}]_{\alpha}$$ 이고 $$[T]_{\alpha}^{\beta}=[[T(\mathbf{v}_{1})]_{\beta}\,[T(\mathbf{v}_{2})]_{\beta}\,\cdots\,[T(\mathbf{v}_{n})]_{\beta}]$$ 이다. $V=W$이고 $\alpha=\beta$일때는 간단하게 $[T]_{\alpha}(=[T]_{\alpha}^{\alpha})$로 나타낸다.

선형변환 $T:\,P_{1}(\mathbb{R})\,\rightarrow\,P_{2}(\mathbb{R})$를 $$T(p(x))=xp(x)$$ 로 정의하자. $P_{1}(\mathbb{R})$의 기저 $\alpha=\{1,\,x\}$, $P_{2}(\mathbb{R})$의 기저 $\beta=\{1,\,x,\,x^{2}\}$에 대해서 $[T]_{\alpha}^{\beta}$를 구하면 $$\begin{align*}T(1)&=x=0\cdot1+1\cdot x+0\cdot x^{2}\\T(x)&=x^{2}=0\cdot1+0\cdot x+1\cdot x^{2}\end{align*}$$ 이므로 $$[T]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ 이다.

선형변환 $T:\,\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$를 $$T(x,\,y,\,z)=(2x-3y+4z,\,5x-y+2z,\,4x+7y)$$ 로 정의하자. $\mathbb{R}^{3}$상의 기저 $\alpha=\{e_{1},\,e_{2},\,e_{3}\}$과 $\beta=\{e_{3},\,e_{2},\,e_{1}\}$에 대하여 $[T]_{\alpha},\,[T]_{\alpha}^{\beta}$를 구하면 $$\begin{align*}T(e_{1})&=(2,\,5,\,4)=2e_{1}+5e_{2}+4e_{3}=4e_{3}+5e_{2}+2e_{1}\\T(e_{2})&=(-3,\,-1,\,7)=(-3)e_{1}+(-1)e_{2}+7e_{3}=7e_{3}+(-1)e_{2}+(-3)e_{1}\\T(e_{3})&=(4,\,2,\,0)=4e_{1}+2e_{2}+0e_{3}=0e_{3}+2e_{2}+4e_{1}\end{align*}$$ 이므로 $$[T]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2&-3&4\\5&-1&2\\4&7&0\end{pmatrix},\,[T]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}4&7&0\\5&-1&2\\2&-3&4\end{pmatrix}$$ 이다. $[T]_{\beta}$를 구하면 $$\begin{align*}T(e_{3})&=(4,\,2,\,0)=0e_{3}+2e_{2}+4e_{1}\\T(e_{2})&=(-3,\,-1,\,7)=7e_{3}+(-1)e_{2}+(-3)e_{1}\\T(e_{1})&=(2,\,5,\,4)=4e_{3}+5e_{2}+2e_{1}\end{align*}$$ 이므로 $$[T]_{\beta}=\begin{pmatrix}0&7&4\\2&-1&5\\4&-3&2\end{pmatrix}$$ 이다. 

참고자료

Linear Algebra jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser