[선형대수학] 6. 벡터공간

[선형대수학] 6. 벡터공간

수학 또는 물리시간에 벡터는 크기와 방향을 갖는 양이고 스칼라는 크기만을 갖는 양이라고 배웠을 것이다. 고등학교 기하와 벡터 과목에서 2차원 벡터를 \(\vec{a}=(a_{1},\,a_{2})\), 3차원 벡터를 \(\vec{a}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})\)으로 나타낸다. 다변수 미적분학 에서 2차원 벡터는 \(\mathbb{R}^{2}\)에서의 벡터, 3차원 벡터는 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 벡터라고 한다. 이를 좀 더 일반화해서 유클리드공간(Euclidean space) \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 벡터를 \(\vec{x}=(x_{1},\,...,\,x_{n})\)으로 나타내고, 유클리드공간 상의 벡터 \(\vec{x},\,\vec{y},\,\vec{z}\)와 스칼라 \(k,\,l\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음이 성립한다. (\(\vec{0}\)은 영벡터이다.)

(1) \(\vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}\)

(2) \(\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})=(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}\)

(3) \(\vec{x}+\vec{0}=\vec{x}=\vec{0}+\vec{x}\)

(4) \(\vec{x}+(-1)\vec{x}=\vec{0}\)

(5) \(k(\vec{x}+\vec{y})=k\vec{x}+k\vec{y}\)

(6) \((k+l)\vec{x}=k\vec{x}+l\vec{x}\)

(7) \(k(l\vec{x})=(kl)\vec{x}\)

(8) \(1\vec{x}=\vec{x}\)

여기서 다루게 될 벡터공간(vector space)은 앞에서 언급했던 유클리드 공간에서의 벡터들의 성질을 추상화(abstraction)하여 하나의 공리로 받아들인다.

집합 \(V\)의 임의의 원소 \(u,\,v,\,w\in V\)가 다음의 성질들을 만족하면, \(V\)를 (실)벡터공간((real) vector space)이라고 한다.

벡터합:

(1) \(u+v=v+u\)

(2) \(u+(v+w)=(u+v)+w\)

(3) \(0\in V\)이 존재해서 \(u+0=0+u=u\) (\(0\)은 영벡터)

(4) \(-u\in V\)가 존재해서 \(u+(-u)=(-u)+u=0\)

스칼라곱: 스칼라 \(k,\,l\in\mathbb{R}\)에 대하여

(5) \(k(u+v)=ku+kv\)

(6) \((k+l)u=ku+lu\)

(7) \(k(lx)=(kl)x\)

(8) \(1u=u\)

벡터공간 \(V\)의 원소를 벡터(vector)라고 한다. 참고: 벡터공간을 선형공간(linear space)라고도 한다.

다음은 벡터공간의 대표적인 예들이다.

1. 행렬 전체의 집합

2. 다항식 전체의 집합

3. 연속함수들의 집합

4. 미분가능한 함수들의 집합

5. \(\displaystyle\left\{f(x):\,[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,|\,\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}<\infty\right\}\)

벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 벡터합과 스칼라곱에 대해 닫혀있을 때, \(W\)를 \(V\)의 부분공간(subspace)이라고 한다.

즉, \(u,\,v\in W\)일 때, \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\alpha u+\beta v\in V\)이면 \(W\)는 \(V\)의 부분공간이다. 부분공간이 영벡터만을 원소로 가지면 그 부분공간을 자명부분공간(trivial subspace)이라고 한다.

\(V\)를 벡터공간이라 하자. \(\{u_{1},\,u_{2},\,...,\,u_{n}\}\subset V\)라 하자. \(v\in V\)에 대하여 \(v=a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}\)를 \(u_{1},\,...,\,u_{n}\)들의 일차결합(선형결합, linear combination)이라 한다. 여기서 \(a_{1},\,...,\,a_{n}\)은 스칼라이다. \(S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}\subset V\)는 부분공간을 생성하고 그 생성된 부분공간을 \(\text{span}S=\text{span}\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}=\{a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}\,|\,a_{i}\in\mathbb{R}\}\)로 나타낸다. 이때 \(\text{span}S\)는 \(S\)를 포함하는 가장 작은 부분공간이다. 이는 \(\text{span}S\)가 \(S\)에 의해 생성된 부분공간임을 뜻한다.

\(\mathbb{R}^{2}\)에서 \(S=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}\)일 때, \(\text{span}S=\left\{\begin{pmatrix}a_{1}\\0\end{pmatrix}\right\}\)은 \(x\)축이고, \(S=\left\{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\}\)일 때, \(\text{span}S=\left\{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}\right\}\)은 직선 \(y=x\)이다. 즉, \(\{(x,\,y)\,|\,y=x\}\)

\(S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}\subset V\)에 대하여 \(a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}=0\)일 때, \(a_{1}=\cdots=a_{n}=0\)이면, \(S\)를 1차독립(선형독립, linearly independent)이라 하고 \(a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}=0\)일 때, 적당한 \(a_{i}\)가 존재해서 \(a_{i}\neq0\)이면, \(S\)를 1차종속(선형종속, linearly dependent)이라고 한다.

\(S\subset V\)라 하자. \(\text{span}S=V\)이고 \(S\)가 1차독립이면, \(S\)를 \(V\)의 기저(base)라고 한다. 이때 \(S\)의 원소의 개수를 \(V\)의 차원이라 하고 이를 \(\dim V\)로 나타낸다.

\(S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}\)이 선형종속이면, 선형종속의 정의로부터 \(S\cup\{u_{n+1}\}\)도 선형종속이다.

\(S\)가 선형독립이고 \(u_{n+1}\notin\text{span}S\)이면, \(\{u_{1},\,...,\,u_{n+1}\}\)은 선형독립이다. 왜냐하면 \(a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}+a_{n+1}u_{n+1}=0,\,a_{n+1}\neq0\)이면 \(\displaystyle u_{n+1}=-\left(\frac{a_{1}}{a_{n+1}}a_{1}+\cdots+\frac{a_{n}}{a_{n+1}}u_{n}\right)\)이므로 \(u_{n+1}\in\text{span}S\)이고 이는 모순이다.

모든 벡터공간에는 기저가 항상 존재한다. 이에 대한 증명은 생략하겠다.

\(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(e_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix},\,e_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots\\0\end{pmatrix},\,...,\,e_{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\1\end{pmatrix}\)을 \(\mathbb{R}^{n}\)의 표준기저(standard bases)라고 한다.

주어진 벡터로 부분공간을 생성하는지는 다음의 방법을 이용하여 확인할 수 있다.

\(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\)으로 \(\mathbb{R}^{3}\)의 부분공간을 생성할 수 있다. 즉, \(c_{1}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c_{3}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)일 때 \(c_{1}=c_{2}=c_{3}=0\)이다. 다음의 방정식$$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$에서 \(\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\neq0\)이므로 따라서 \(c_{1}=c_{2}=c_{3}=0\)이다.

벡터의 개수가 차원을 넘어가면 종속이다. \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 벡터 \(\left\{\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-1\\6\\1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}\right\}\)은 종속이다. 왜냐하면 행렬 \(\begin{pmatrix}1&-2&-1&0\\4&2&6&3\\2&-1&1&3\end{pmatrix}\)의 기약 행사다리꼴은 \(\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)이므로 $$\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$을 만족하는 \(c_{1},\,c_{2},\,c_{3},\,c_{4}\)를 구하면 \(c_{3},\,c_{4}\)는 자유변수이므로 \(c_{3}=s,\,c_{4}=t\)라 하면 \(c_{1}=-s,\,c_{2}=-s\)이고 \(c_{1}=c_{2}=1,\,c_{3}=-1,\,c_{4}=0\)이라 하면 $$\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}+(-1)\begin{pmatrix}-1\\6\\1\end{pmatrix}+0\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$이다.

\(S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}\)이 일차독립이고 \(\dim V=n\)이면, \(S\)는 \(V\)의 한 기저이다.

증명: \(S\)가 \(V\)의 기저가 아니라고 하자. 그러면 \(u_{i}\in S\)가 존재해서 \(u_{i}\)는 \(S-\{u_{i}\}\)의 원소들의 선형결합이다. 그렇게 되면 \(\text{span}\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}=\text{span}(\{u_{1},\,...,\,u_{n}\-\{u_{i}\})\)이고 이는 모순이다.

\(V\)를 벡터공간, \(S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}\)을 \(V\)의 한 기저라 하자. 그러면 \(a_{1},\,...,\,a_{n}\)이 유일하게 존재해서 \(u=a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}\)이다. \(u=a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}\), \(u=b_{1}u_{1}+\cdots+b_{n}u_{n}\)라 하자. 그러면

$$0=(a_{1}-b_{1})u_{1}+\cdots+(a_{n}-b_{n})u_{n}$$이 되고 \(u_{1},\,...,\,u_{n}\)은 일차독립이므로 \(a_{i}=b_{i}\)이어야 한다. 이렇게 해서 \(a_{i}\)가 유일함을 보였다.

\(V\)를 벡터공간, \(W_{1},\,W_{2}\subset V\)라 하자. \(W_{1}+W_{2}=\{w_{1}+w_{2}\,|\,w_{1}\in W_{1},\,w_{2}\in W_{2}\}\)이고 \(W_{1}\cap W_{2}=\{0\}\)이면, \(V=W_{1}\oplus W_{2}\)로 나타내고 \(V\)를 \(W_{1},\,W_{2}\)의 직합(direct sum)이라 한다.

참고자료

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser

선형대수와 군, 이인석, 서울대학교출판문화원