[선형대수학] 6. 벡터공간

[선형대수학] 6. 벡터공간

수학 또는 물리시간에 벡터는 크기와 방향을 갖는 양이고 스칼라는 크기만을 갖는 양이라고 배웠을 것이다. 고등학교 기하와 벡터 과목에서 2차원 벡터를 $\vec{a}=(a_{1},\,a_{2})$, 3차원 벡터를 $\vec{a}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$으로 나타낸다. 다변수 미적분학 에서 2차원 벡터는 $\mathbb{R}^{2}$에서의 벡터, 3차원 벡터는 $\mathbb{R}^{3}$에서의 벡터라고 한다. 이를 좀 더 일반화해서 유클리드공간(Euclidean space) $\mathbb{R}^{n}$에서의 벡터를 $\vec{x}=(x_{1},\,...,\,x_{n})$으로 나타내고, 유클리드공간 상의 벡터 $\vec{x},\,\vec{y},\,\vec{z}$와 스칼라 $k,\,l\in\mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다. ($\vec{0}$은 영벡터이다.)

(1) $\vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}$

(2) $\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})=(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}$

(3) $\vec{x}+\vec{0}=\vec{x}=\vec{0}+\vec{x}$

(4) $\vec{x}+(-1)\vec{x}=\vec{0}$

(5) $k(\vec{x}+\vec{y})=k\vec{x}+k\vec{y}$

(6) $(k+l)\vec{x}=k\vec{x}+l\vec{x}$

(7) $k(l\vec{x})=(kl)\vec{x}$

(8) $1\vec{x}=\vec{x}$

여기서 다루게 될 벡터공간(vector space)은 앞에서 언급했던 유클리드 공간에서의 벡터들의 성질을 추상화(abstraction)하여 하나의 공리로 받아들인다.

집합 $V$의 임의의 원소 $u,\,v,\,w\in V$가 다음의 성질들을 만족하면, $V$를 (실)벡터공간((real) vector space)이라고 한다.

벡터합:

(1) $u+v=v+u$

(2) $u+(v+w)=(u+v)+w$

(3) $0\in V$이 존재해서 $u+0=0+u=u$ ($0$은 영벡터)

(4) $-u\in V$가 존재해서 $u+(-u)=(-u)+u=0$

스칼라곱: 스칼라 $k,\,l\in\mathbb{R}$에 대하여

(5) $k(u+v)=ku+kv$

(6) $(k+l)u=ku+lu$

(7) $k(lx)=(kl)x$

(8) $1u=u$

벡터공간 $V$의 원소를 벡터(vector)라고 한다. 참고: 벡터공간을 선형공간(linear space)라고도 한다.

다음은 벡터공간의 대표적인 예들이다.

1. 행렬 전체의 집합

2. 다항식 전체의 집합

3. 연속함수들의 집합

4. 미분가능한 함수들의 집합

5. $\displaystyle\left\{f(x):\,[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,|\,\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}<\infty\right\}$

벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 벡터합과 스칼라곱에 대해 닫혀있을 때, $W$를 $V$의 부분공간(subspace)이라고 한다.

즉, $u,\,v\in W$일 때, $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 $\alpha u+\beta v\in V$이면 $W$는 $V$의 부분공간이다. 부분공간이 영벡터만을 원소로 가지면 그 부분공간을 자명부분공간(trivial subspace)이라고 한다.

$V$를 벡터공간이라 하자. $\{u_{1},\,u_{2},\,...,\,u_{n}\}\subset V$라 하자. $v\in V$에 대하여 $v=a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}$를 $u_{1},\,...,\,u_{n}$들의 일차결합(선형결합, linear combination)이라 한다. 여기서 $a_{1},\,...,\,a_{n}$은 스칼라이다. $S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}\subset V$는 부분공간을 생성하고 그 생성된 부분공간을 $\text{span}S=\text{span}\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}=\{a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}\,|\,a_{i}\in\mathbb{R}\}$로 나타낸다. 이때 $\text{span}S$는 $S$를 포함하는 가장 작은 부분공간이다. 이는 $\text{span}S$가 $S$에 의해 생성된 부분공간임을 뜻한다.

$\mathbb{R}^{2}$에서 $S=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}$일 때, $\text{span}S=\left\{\begin{pmatrix}a_{1}\\0\end{pmatrix}\right\}$은 $x$축이고, $S=\left\{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\}$일 때, $\text{span}S=\left\{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}\right\}$은 직선 $y=x$이다. 즉, $\{(x,\,y)\,|\,y=x\}$

$S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}\subset V$에 대하여 $a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}=0$일 때, $a_{1}=\cdots=a_{n}=0$이면, $S$를 1차독립(선형독립, linearly independent)이라 하고 $a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}=0$일 때, 적당한 $a_{i}$가 존재해서 $a_{i}\neq0$이면, $S$를 1차종속(선형종속, linearly dependent)이라고 한다.

$S\subset V$라 하자. $\text{span}S=V$이고 $S$가 1차독립이면, $S$를 $V$의 기저(base)라고 한다. 이때 $S$의 원소의 개수를 $V$의 차원이라 하고 이를 $\dim V$로 나타낸다.

$S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}$이 선형종속이면, 선형종속의 정의로부터 $S\cup\{u_{n+1}\}$도 선형종속이다.

$S$가 선형독립이고 $u_{n+1}\notin\text{span}S$이면, $\{u_{1},\,...,\,u_{n+1}\}$은 선형독립이다. 왜냐하면 $a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}+a_{n+1}u_{n+1}=0,\,a_{n+1}\neq0$이면 $\displaystyle u_{n+1}=-\left(\frac{a_{1}}{a_{n+1}}a_{1}+\cdots+\frac{a_{n}}{a_{n+1}}u_{n}\right)$이므로 $u_{n+1}\in\text{span}S$이고 이는 모순이다.

모든 벡터공간에는 기저가 항상 존재한다. 이에 대한 증명은 생략하겠다.

$\mathbb{R}^{n}$에서 $e_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix},\,e_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots\\0\end{pmatrix},\,...,\,e_{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\1\end{pmatrix}$을 $\mathbb{R}^{n}$의 표준기저(standard bases)라고 한다.

주어진 벡터로 부분공간을 생성하는지는 다음의 방법을 이용하여 확인할 수 있다.

$\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}$으로 $\mathbb{R}^{3}$의 부분공간을 생성할 수 있다. 즉, $c_{1}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c_{3}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$일 때 $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$이다. 다음의 방정식 $$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ 에서 $\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\neq0$이므로 따라서 $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$이다.

벡터의 개수가 차원을 넘어가면 종속이다. $\mathbb{R}^{3}$에서의 벡터 $\left\{\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-1\\6\\1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}\right\}$은 종속이다. 왜냐하면 행렬 $\begin{pmatrix}1&-2&-1&0\\4&2&6&3\\2&-1&1&3\end{pmatrix}$의 기약 행사다리꼴은 $\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$이므로 $$\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$ 을 만족하는 $c_{1},\,c_{2},\,c_{3},\,c_{4}$를 구하면 $c_{3},\,c_{4}$는 자유변수이므로 $c_{3}=s,\,c_{4}=t$라 하면 $c_{1}=-s,\,c_{2}=-s$이고 $c_{1}=c_{2}=1,\,c_{3}=-1,\,c_{4}=0$이라 하면 $$\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}+(-1)\begin{pmatrix}-1\\6\\1\end{pmatrix}+0\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ 이다.

$S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}$이 일차독립이고 $\dim V=n$이면, $S$는 $V$의 한 기저이다.

증명: $S$가 $V$의 기저가 아니라고 하자. 그러면 $u_{i}\in S$가 존재해서 $u_{i}$는 $S-\{u_{i}\}$의 원소들의 선형결합이다. 그렇게 되면 $\text{span}\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}=\text{span}(\{u_{1},\,...,\,u_{n}\-\{u_{i}\})$이고 이는 모순이다.

$V$를 벡터공간, $S=\{u_{1},\,...,\,u_{n}\}$을 $V$의 한 기저라 하자. 그러면 $a_{1},\,...,\,a_{n}$이 유일하게 존재해서 $u=a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}$이다. $u=a_{1}u_{1}+\cdots+a_{n}u_{n}$, $u=b_{1}u_{1}+\cdots+b_{n}u_{n}$라 하자. 그러면

$$0=(a_{1}-b_{1})u_{1}+\cdots+(a_{n}-b_{n})u_{n}$$ 이 되고 $u_{1},\,...,\,u_{n}$은 일차독립이므로 $a_{i}=b_{i}$이어야 한다. 이렇게 해서 $a_{i}$가 유일함을 보였다.

$V$를 벡터공간, $W_{1},\,W_{2}\subset V$라 하자. $W_{1}+W_{2}=\{w_{1}+w_{2}\,|\,w_{1}\in W_{1},\,w_{2}\in W_{2}\}$이고 $W_{1}\cap W_{2}=\{0\}$이면, $V=W_{1}\oplus W_{2}$로 나타내고 $V$를 $W_{1},\,W_{2}$의 직합(direct sum)이라 한다.

참고자료

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser

선형대수와 군, 이인석, 서울대학교출판문화원